北师大版初三上数学课后答案.docx
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北师大版初三上数学课后答案
北师大版九年级上册数学
第4页练习答案
解:
因为在菱形中,±于点O,所以∠90°.
在△中,√(^2^2)=√(5^2-4^2)=3().
因为在菱形中,对角线,互相平分,所以26.
1.11.证明:
∵四边形是菱形,∴,∴∠∠180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠2∠B,∴∠2∠180°,∴∠60°.∵,
∴△是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形).
2.解:
∵四边形是菱形,∴,∴±1/21/2×8=4,1/21/2×6=3.在△中,由勾股定理,得√(²²)=√(4²+3²)=5.∴菱形的周长为44×5=20.
3.证明:
∵四边形是菱形,∴±,,∴△是等腰三角形,∴是等腰△低边上的高,中线,也是∠的平分线,∴平分∠.
同理可证平分∠平分∠和∠.
4.解:
有4个等腰三角形和4个直角三角形.
第7页练习答案
解,所画菱形如图1-1-32所示,使对角线6,4.
1.21.证明:
在□中,,∴∠∠(两直线平行,内错角相等).
∵是的垂直平分线,∴.在△和△中,
∴△≌△(),∴.∵,
∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∵±,∴四边形是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
2.证明:
∵四边形是菱形,∴±.又∵点,分别是的中点,
∴1/21/21/21/2,∴,
∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
∵⊥,即⊥,∴平行四边形是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
3.解:
四边形′E是菱形.
证明如下:
由题意得,△C′≌△.所以∠C′∠^'^'E.又因为,所以∠C′∠,所以∠∠,所以(等角对等边),所以′′D,所以四边形′E是菱形(四边相等的四边形是菱形).
第9页练习答案
1.解:
(1)如图1-1-33所示.∵四边形是菱形,∴1/4×40=10().
∵对角线10,∴,∴△是等边三角形,∴∠∠∠60°.
∵,∴∠∠180°,∴∠180°-∠180°-60°=120°,∴∠∠120°,∠∠60°.
(2)如图1-1-34所示,连接,交于点O,∴1/21/2×10=5().
在△中,∠90°,由勾股定理,得√(^2^2)=√(〖10〗^2-5^2)=5√3(),
∴22×5√3=10√3(),∴这个菱形另一条对角线的长为10√3.
2.证明:
在△中,∠90°,∠60°,
∴∠90°-∠90°-60°=30°.
∵是的垂直平分线,∴,∴∠∠30°(等边对等角).
∴∠∠∠90°-30°=60°.
在△中,∠∠∠180°,∴∠180°-∠∠180°-60°-60°=60°.
∴△是等边三角形,∴.在△中,∠90°,
∴∠90°-∠90°-30°=60°.∴∠∠60°(对顶角相等).
∵,∴,
∴△是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
∴,∴,∴四边形是菱形(四边相等的四边形是菱形).
1.31.证明:
(1)∵四边形是菱形,
∴,∠∠C.
∵,∴,即.
在△和中,
.
(2)∵△≌△,∴,∴∠∠(等边对等角).
2.已知:
如图1-1-35所示,四边形是菱形,和是对角线.
求证:
S菱形1/2∙.证明:
∵四边形是菱形,∴⊥.∴S△△△△1/2.
∴S菱形4×1/2∙1/2×2∙21/2∙.
3.解:
在菱形中,⊥,∴∠90°,1/21/2×16=8,1/21/2×12=6.
在△中,由勾股定理,得√(^2^2)=√(8^2+6^2)=10.
∵S菱形1/2∙1/2×16×12=96,
又∵⊥,∴S菱形∙,
∴96∙,即96=109.6.
∴菱形的高为9.6.
4.证明:
∵点分别是,的中点,∴是△的中位线,是△的中位线,∴1/21/2,
∴,∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
又∵是△的中位线,∴1/2.
又∵,∴,∴平行四边形是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
5.略
第13页练习答案
解:
在矩形中,4,28.因为∠90°,所以在△中,由勾股定理,得√(^2^2)=√(8^2-6^2)=2√7.
所以与的长分别为8与2√7.
1.4
1.解:
如图1-2-33所示,设这个矩形为,两条对角线相交于点O,3.在△中,∠∠45°,于是∠90°,√(^2^2)=3√2,同理3√2,所以3√23√2
所以这个矩形的各边长都是3√2.
2.解:
如图1-2-34所示,
设这个矩形两条对角线相交于点O,∠60°,15,∴1/27.5,1/27.5,∴,
∴△是等边三角形,∴7.5.
3.解:
四边形是菱形.
证明如下:
在△中,∠90°,D为的中点,∴1/21/2,
∴.∵,∴四边形是平行四边形.
又∵,∴平行四边形是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
4.已知:
如图1-2-35所示,
在△中,为边上的中线,1/2.
求证:
△是直角三角形.
证明:
如图1-2-35所示,延长到D,使,连接.
∵,∴四边形是矩形.∴∠90°.
∴△是直角三角形.
第16页练习答案
证明:
∵四边形是平行四边形,∴.
∵M是的中点,∴.又∵,∴△≌△(),
∴∠∠D.又∵,∴∠∠180°,∴∠∠90°.
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
1.51.解:
(1)四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
(2)当△是直角三角形,即∠90°时,四边形是矩形.
2.解:
四边形是矩形.证明如下:
如图1-2-36所示.
∵,∴∠2=∠4.∵平分∠,∴∠1=∠4,∴∠1=∠2,∴(等角对等边).同理可证,∴.∵O是的中点,∴,
∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
又∵平分∠,∴∠3=1/2∠.∵平分∠,∴∠1=1/2∠.
∵∠∠180°,∴2∠3+2∠1=180°,∴∠3+∠1=90°,即∠90°.
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
3.解:
做法如下:
如图1-2-37所示,
(1)连接;
(2)过两点分别作;
(3)同法作,与交于四个点E,,则矩形即为所求,且S矩形2S菱形.
第18页练习答案
证明:
∵四边形是由两个全等的等边三角形和组成,
∴,∴四边形和组成,∴,
∴四边形是菱形.∵分别是和的中点,∴1/21/2,∴.∵,
∴四边形是平行四边形.
∴∠1/2∠1/2×60°=30°,∠60°,∴∠∠∠30°+60°=90.
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
1.61.解:
在矩形中,4,∠90°,∠30°,∴1/21/2×4=2.在△中,由勾股定理,得√(^2^2)=√(4^2-2^2)=2√3.
∴S矩形∙2√3×2=4√3.
2.解:
在矩形中,∠90°,即∠∠90°.
∵∠3∠,∴∠3∠90°,∠22.5°.
∴∠3∠3×22.5°=67.5°.∵⊥,∴∠90°,∴∠∠90°,即22.5°+∠90°,∴∠67.5°.
∵1/21/2,∴,∴∠∠67.5°.
∵∠∠∠,∴∠∠∠67.5°-22.5°=45°.
3.证明:
∵D是的中点,∴.
∵四边形是平行四边形,∴(平行四边形的性质).∴.
∵,∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的平行四边形是矩形).
∵,∴,∴平行四边形是矩形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
※4.解:
将矩形纸片折叠,使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.
折痕为,则垂直平分,连接交于点O,在矩形中,∠90°,8,设,则,(8).
在△中,由勾股定理,得²²²²=6²+(8)²,解得25/2,即25/4.
在△中,由勾股定理,得√(^2^2)=√(6^2+8^2)=10.
∴1/21/2×10=5.
∵⊥,∴∠90°.在△中,由勾股定理,得²²²√(^2^2)=√((25/4)^2-5^2)=15/4,∴折痕22×15/4=15/2.
※5.解:
如图1-2-39所示,
连接矩形3×4=12.在△中,√(²²)=√(3²+4²)=5.又因为1/21/2,
所以5/2.所以S△△△1/21/2∙1/2()=1/2×5/2()=5/4().又因为S△1/4S矩形1/4×12=3,所以5/4()=3,解得12/5.
第21页练习答案
1.解:
以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个,以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个,所以共有八个等腰直角三角形.
2.:
△≌△,△≌△,△≌△.
以△≌为例加以证明:
∵四边形是正方形,
∴,∠∠.∵,∴△≌().
1.71.解:
设正方形的边长为为想x,则x²²=2²,解得√2,即正方形的边长为√2.
2.解:
∵四边形是正方形,∴∠∠90°,.
∵△是等边三角形,∴,∠∠60°.
∴∠30°.
∴,
∴∠(180°-∠)/2=(180°-30°)/2=75°.
3.证明:
如图1-3-24所示,
∵四边形是正方形,
∴,∠∠90°,.
∵,
∴
∴△≌△.
∴,∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°,
即⊥.
※4.解:
过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线,即可将正方形分成大小,形状完全相同的四部分.答案不唯一,如图1-3-25所以方法仅供参考.
第24页练习答案答案:
满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下:
(1)对角线垂直的矩形是正方形.
(2)已知:
如图1-3-7
(1)多事,四边形是矩形,是对角线,且⊥.求证:
四边形是正方形.
证明:
∵四边形是矩形,∴平分.
又∵⊥,∴是的垂直平分线.
∴.∴四边形是正方形.
(4)有一个角是直角的菱形是正方形.
已知,如图1-3-7(4)所示,四边形是菱形,∠90°.
求证:
四边形是正方形.
证明:
∵四边形是菱形,∴四边形是平行四边形.
又∵∠90°,∴四边形是矩形.
又,∴矩形是正方形.
1.81.答案:
对角线相等的菱形是正方形.
已知:
如图1-3-7(3)所示,四边形是菱形,是对角线,且.
求证:
四边形是正方形.
证明:
∵四边形是菱形,∴.
又∵,∴△≌△().∴∠∠.
又∵,∴∠∠180°.∴∠∠90°.
∴四边形是正方形.
2.证明:
∵四边形是正方形,
∴,
∴∠∠.
在△和=∠中,
∴△≌△(),
∴,∠∠.
∵∠∠180°,∠∠180°,
∴∠∠(等角的补角相等).
∴(内错角相等,两直线平行).
∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∵,
∴∠∠.
在△和中,
∴△≌△().
∴,
∴四边形是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
3.解:
四边形是正方形.
在正方形中,,∠∠∠∠90°.
因为,所以,
即.
所以△≌△≌△≌△(),所以∠.所以四边形是菱形.
因为∠∠90°,
所以∠∠90°,
所以∠90°,所以菱形是正方形.
4.解:
重叠部分的面积等于正方形面积的1/4.
证明如下:
重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分为面积为正方形面积的1/4,即S△△△△1/4S正方形.
重叠部分为四边形是,如图1-3-26所示.设′与相交于点′与相交于点F.
∵四边形是正方形,
∴,∠∠45°,⊥.
又∵∠90°-∠,∠90°-∠,
∴∠∠,
∴△≌△.
∴S△△△△,
∴S△四边形.
又∵S△1/4S正方形.
∴S四边形1/4S正方形.
第一章复习题
1.解:
设该菱形为菱形,两对角线交于点O,则△为直角三角形,直角边长分别为2和4,则有勾股定理,得√(^2^2)=√(2^2+4^2)=2√5(),
即林习惯的边长为2√5.
2.解:
由√2/2,可知^2^2^2,则∠90°.
因为,所以互相垂直平分且相等,
故四边形必是正方形.
3.解:
不一定是菱形,因为也可能是矩形.
4.已知:
如图1-4-20所示,菱形中,对角线相交于点60,周长为200.求
(1)的长;
(2)菱形的面积.
解:
(1)因为菱形四边相等,对角线互相垂直平分,所以1/4×200=50(),
⊥且1/21/2×60=30(),.在△中,√(²²)=√(50²-30²)=40().
所以280.
(2)S菱形1/2∙1/2×60×80=2400(^2).
5.已知:
如图1-4-21所示,在四边形,对角线⊥分别为边的中点.
求证:
四边形为正方形.
证明:
∵分别为的中点,
∴四边形为平行四边形.
∵,∴.
∴□为菱形.
∵⊥,∴⊥.
∴∠90°.
∴菱形是正方形.
6.解∵,∴∠∠.由四边形是正方形.得,
∴∠∠∠.
又∠∠∠45°,
∴∠1/2∠1/2×45°=22.5°.
7.解:
(1)是正方形,因为对角线相等的菱形必为正方形.
(2)是正方形,因为这个四边形的对角线相等,四条边也相等.
8.证明:
如图1-4-22所示,
∵平分∠,∴∠1=∠2.
∵,∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.∴.
∵,
∴四边形是平行四边形.
又,∴□是菱形.
9.证明:
如图1-4-23所示,
∵⊥为△的中线,
∴1/2.
同理1/2,∴.
10.已知:
四边形是正方形,对角线.求正方形的周长和面积.解:
正方形中,,∠90°.在△中,²²²,2²²,所以√2/2l.所以正方形的周长=44×√2/22√2四边形^2=(√2/2l)^2=1/2l^2.
11.证明:
∵,
∴四边形是平行四边形.
∵四边形是矩形,∴.
∵1/21/2,∴
∴四边形是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
12.证明:
∵四边形是矩形,
∴.
∵,
又∵,
∴,即,即,
∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
∵,
∴,∴四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
13.证明:
在△中,∠90°,平分∠,
∴∠1/2∠45°.
∵⊥,∴∠90°.
在△中,∠90°-∠90°-45°=45°,
∴∠∠,∴.
∵⊥,∴∠90°.
∴∠∠∠90°.
∴四边形是矩形(有个三角是直角的四边形是矩形).
∵,∴四边形是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
14.解:
由4t,,
∵四边形是矩形,
∴(20).
∴(20).
当四边形是矩形时,则有,
∴204t,解得4
∴当t为4时,三角形是矩形.
15解:
△是等腰三角形,理由如下:
∵四边形是矩形,
∴,∴∠∠.
∵∠∠,
∵∠∠,∴.
∴△是等腰三角形.
16.解由题意知,矩形≌矩形,
∴,
∴△≌△,
∴∠∠.
∵∠∠90°,
∴∠∠90°,
即∠90°.
∵,∴△是等腰直角三角形.
∴∠45°.
17.解不一定,因为还可能是菱形,若要判断这块纱巾是否为正方形,还需要检验对角线是否相等.
18.证明:
∵四边形是平行四边形,
∴.
∴∠∠180°.
∵平分∠,平分∠,
∴∠1/2∠,∠1/2∠.
∴∠∠90°.
∴∠90°.
同理可证∠90°,∠90°.
∴四边形是矩形.
19.解:
略.提示:
如图1-4-24所示图形仅供参考.
第32页练习答案
1.解:
设直角三角形的三边长分别为1,n,1(n>1,且n为整数,)则
(1)²²=
(1)².
2.解:
∵(32)²=4(3)²,
∴9x²+124-4x²+2436=0,
∴5x²+3632=0.其中二次项系数为5,一次项系数为36,常数项为-32.(答案不唯一)
3.解:
设竹竿长为x尺,
则门框宽为(4)尺,高为
(2)尺.由勾股定理,得(4)²+
(2)^2²,即x²-1220=0.
2.11.解:
(1)设这个正方形的边长是,根据题意,得(5)
(2)=54,即x²+744=0.
设这三个连续整数依次为x,1,2,根据题意,得x
(1)
(2)+
(1)
(2)=242,即x²+280=0.
2.
(答案不唯一)
根据题意,得x(8)=15.
整理,得x²-815=0.列表:
由表格知5.(当3时,也满足方程,但不符合实际,故舍去)
答:
可用16m长的绳子围城一个15m²的矩形,其次为5m,宽为3m.
3.解:
根据题意,得10+2.55t2=5,即2t²2=0.列表:
所以1 所以1.2 答: 他完成规定动作的事假最多不超过1.3s. 第34页练习答案 解: 设这五个连续整数第一个数为x,则另外四个数分别为1,2,3,4.根据题意, 得 (1)²+ (2)²²=(3)²+(4)². 整理,得x²-820=0.列表: ∴2或10. 因此这五个连续整数依次为-2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14. 2.21.解: 设苗圃的宽为,则长为 (2)m. 根据题意,得x (2)=120,即x²+2120=0.列表: 由表格知10.(当12时,也满足方程,但不符合实际情况,故舍去) 答: 苗圃的宽为10m,长为12m. 2.解: 能.设矩形的长为,则宽为(8)m. 第37页练习答案 (1)1=5+√7,2=5-√7. (2)1=7+√57,2=7-√57. (3)1=(√13-3)/2,2(√3+3)/2. (4)1=3+√11,2=3-√11. 2.31.解: (1)移项,得x²+1225. 配方,得x²+126²25+36,(6)²=11, 即6=√11或6√11.∴1=√11-6,2√11-6. (2)配方,得x²+42²=10+2², (2)²=14, 即2=√14或x2√14. ∴1=√14-2,2√14-2. (3)配方,得x²-6(-3)²=11+(-3)²,(3)²=20, 即3=2√5或32√5. ∴1=2√5+3,22√5+3. (4)化简,得x²-919, 配方,得x²-9(-9/2)^219+(-9/2)^2,(9/2)^2=5/4, 即9/2=√5/2或9/2√5/2, ∴1=(9+√5)/2,2=(9-√5)/2. 2.解: 设道路的宽为,根据题意,得(35)(26)=850. 整理,得x²-61(-61/2)²60+(-61/2)². ∴(61/2)^2=(3481)/4.开平方,得61/2=±59/2. 解得1=1,2=60(不合题意,舍去). 答: 道路的宽应为1m. 3.解: 设增加69人后,增加的行数,列数都是x,则(8)(12)=69+8×12. 整理,得x²+2069. 配方.得x²+2010²=69+10². ∴(10)²=169. 开平方,得10=±13. 解得1=3,223(不合题意,舍去) 答: 增加的行数,列数都是3. 第39页练习答案 解 (1)移项,得3x²-92.两边同除以3,得x²-32/3. 配方,得(3/2)²=19/12.开平方,得3/2=±√57/6. ∴1=(9+√57)/6,2=(9-√57)/6. (2)移项,得2x²-76.两边同除以2,得x²-7/23. 配方,得(7/4)²=1/16.开平方,得7/4=±1/4. ∴1=2,2=3/2. (3)移项,得4x²-83.两边同除以4,得x²-23/4. 配方,得 (1)²=7/4.开平方,得1=±√7/2. ∴1=(2+√7)/2,2=(2-√7)/2. 2.41. (1)1=1,2=1/6. (2)1=3,26/5. (3)1=4,213/4. (4)1=(-1+√21)/5,2=(-1-√21)/5. 2.解: 设共有x只猴子,根据题意,得(1/8x)²+12.解得x1=16,2=48. 答: 共有16只或48只猴子. 3. 解: 如图2-2-4所示,过点Q作⊥,垂足为H. 设经过时,点P和点Q的距离是10. 则2,3. ∵四边形是矩形,∴∠∠90°. ∵∠90°, ∴四边形是矩形, ∴2t,6, ∴16-32(16-5t). 在△中,∠90°,由勾股定理,得²²². 当10时,10²=(16-5t)²+6².∴(16-5t)²=64, 解得1=8/5,2=24/5, 经检验: 1=8/5s, 2=24/5s时都符合题意,所以当1=8/5s和2=24/5s时,点P和点Q的距离是10. 第43页练习答案 1.解: (1)原方程变形为2x²-75=0,这里2,7,5, ∵b²-4(-7)^2-4×2×5=9>0, ∴原方程变形为4x²-43=0, 这里4,4,3,∵b²32<0, ∴原方程没有实数根. (3)原方程变形为4y²-2.40.36=0, 这里4,2,.4,0.36, ∵b²-4(-2.4)²-4×4×0.36=5.76-5.76=0, ∴原方程有两个相等的实数根. 2.解: (1)∵2,9,8, ∴b²-4(-9)²-4×2×8=17>0,∴(9+√17)/4, 即1=(9+√17)/4,2=(9-√17)/4. (2)∵9,6,1,∴b²-436-4×9×1=0, ∴(-6±0)/181/3,即121/2. (3)∵16,8,3,∴b²-464-4×16×(-3)=256, ∴(-8±√256)/32=(-8±16)/32,即1=1/4,23/4. (4)原方程化为x²-35=0. ∵1,3,5,∴b²-4(-3)²-4×1×511<0, ∴原方程没有实数根. 3.解: 设中间的一条边长为n,则另两条边长分别为2和2. 由勾股定理,得n²+ (2)²= (2)², 解得1=8,2=0(不合题意,舍去). ∴这个三角形的三条边分别为6,8,10. 2.51.解: (1)原方程变形为5x²7=0, 这里5,1,7,因为b²-41²-4×5×(-7)=141>0, 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)这里25,20,4.因为b²-420²-4×25×4=0, 所以原方程有两个相等的实数根. (3)原方程变形为4x²+31=0, 这里4,3,1,因为b²-43²-4×4×17<0, 2.解: (1)∵2,4,1, ∴b²-416-4×2×(-1)=24>0, ∴(±√(b^2-4))/2(4±2√6)/4, ∴1=(2+√6)/2,2=(2-√6)/2. (2)52=3x²变形为3x²-52=0. ∵3,5,2, ∴b²-425-4×3×(-2)=49>0, ∴(±√(b²-4))/2(5±7)/6, ∴1=2,21/3. (3) (2)(35)=1变形为3x²-119=0. ∵3,11,9, ∴b²-4121-108=13>0, ∴(±√(b^2-4))/2(11±√13)/6. ∴1=(11+√13)/6,2=(11-√13)/6.
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