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最新高中数学必修知识点总结史上最全
精品文档知识点总结2高二数学必修
空间几何体第1章
一、空间几何体的结构围成多面体的各个多边形叫做多一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
1.多面体:
面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
这条2.旋转体:
我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。
定直线叫做旋转体的轴。
、柱、锥、台、球的结构特征3
)棱柱:
定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,1(由这些面所围成的几何体。
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
''''''EDBC?
ABCDEAAD或用对角线的端点字母,如五棱柱表示:
用各顶点字母,如五棱柱几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
2)棱锥(定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等'''''EDBP?
AC表示:
用各顶点字母,如五棱锥几何特征:
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
3)棱台:
定义:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分(分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等'''''ECDB?
PA表示:
用各顶点字母,如五棱台几何特征:
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点,)圆柱:
定义:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体(4几何特征:
①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
定义:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:
①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
定义:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:
①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
7()球体:
定义:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:
①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
二、空间几何体的三视图和直观图投影:
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影。
其中我1.们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面。
中心投影:
我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影。
2.3.平行投影:
我们把在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影。
(又分为正投影和斜投影)4空间几何体的三视图精品文档.
精品文档、俯;侧视图(从左向右)
(1)、定义三视图:
正视图(从前向后;即光线从几何体的前面向后面正投影)
视图(从上向下)
注:
正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
、三视图图形的位置:
(2)
俯
、三视图长、宽、高的关系:
“正侧长对齐、正俯高对齐、侧俯宽相等”(3)
三、空间几何体的直观图斜二测画法是一种特殊的平行投影1.斜二测画法:
对于平面多边形,我们常用斜二测画法画它们的直观图。
画法。
2.斜二测画法原则:
横不变,纵减半。
xyO。
画直观图时,把它们画轴,两轴相交于点轴和3.斜二测画法步骤:
①在已知图形中取互相垂直的45'y'?
x?
'O'y''Ox轴与,它们确定的平面表示水平面。
(或轴,两轴交于点135°)成对应的,且使
xy'y'x轴或轴的线段。
轴的线段,在直观图中分别画成平行于②已知图形中平行于轴或xy轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于③已知图形中平行于轴的线段,长度为原来的一半。
四、空间几何体的表面积与体积:
(2)
(1)、几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
所以,棱柱、棱锥的表面积:
各个面的面积之和。
体柱
?
rlS?
2圆柱侧面积
?
)r?
?
2lr?
(S圆柱表面积
ShS?
柱体P
体锥
?
rl?
S圆锥侧面积
?
r?
(rS?
?
l)圆柱表面积
1ShV?
锥体3
体台
?
?
lS?
rrl?
'侧面积
22?
)?
S?
?
(r'r?
rl?
r'l表面积
1hSV?
(S'?
'S?
S)3A
球体
2?
R=4S表面积
43?
R?
V3
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1平面含义:
平面是无限延展的
2平面的画法及表示
0
(1)平面的画法:
水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45,DC
倍长(如图)且横边画成邻边的2α等,也可以、平面β、γ等表示,如平面αα
(2)平面通常用希腊字母、βB
A用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表ABCD等。
示,如平面AC、平面三个公理:
3
:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内11()公理符号表示为精品文档.
精品文档L
A∈A
B∈αL=>Lα·L∈αA∈αB作用:
判断直线是否在平面内公理1)公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(2BA·α·C
,=>有且只有一个平面α、B、C三点不共线符号表示为:
A·
。
C∈αα、B∈α使A∈、2作用:
确定一个平面的依据。
公理
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:
P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈Lβ
公理3作用:
判定两个平面是否相交的依据
αPL·2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:
同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:
同一平面内,没有公共点;
异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:
设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上;
?
];两条异面直线所成的角θ∈(0,
②
2
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
精品文档.
精品文档αa∩α=Aa∥aα
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
∥βα=>ab
a∥b
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:
线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:
如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
精品文档.
精品文档直线α,⊥α互相垂直,记作L内的任意一条直线都垂直,如果直线L与平面α我们就说直线L与平面叫做垂足。
的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点PαL叫做平面α的垂线,平面叫做直线LL
pα
2、判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法:
二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章重点总结:
一、线面角、面面角:
?
相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个和一个平面、直线和平面所成角:
如图,一条直线PA1平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角。
B_
、二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二2Q_P_?
?
?
?
AB或面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
如右图二面角可记作二面角O_M_?
?
Q?
Pl?
?
PAB?
Q?
l?
N_【注意:
二面角是一个面面或二面角或二面角二面角L_?
?
?
?
?
?
ll,1800】的棱上任取一点。
在二面角为垂足,在,以点OO角,范围是?
?
β_A_
α_?
?
l叫做二面角的平面NOMOM则射线ON和构成的∠,和半平面和内分别作垂直于棱的射线ONOM角。
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互二、线、面平行垂直的八大定理:
※
精品文档.
精品文档
【文字语言】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面①(直线与平面平行的判定)?
线面平行)平行。
(线线平行?
?
?
ab?
a?
且,ab?
【符号语言】∥∥
【文字语言】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平②(平面与平面平行的判定)?
行。
(线面平行面面平行)?
?
?
?
?
?
?
a,ab?
Pa?
,b?
b∥∥∥【符号语言】,
引申:
推论:
如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,那么这两个平面平行。
③(直线与平面平行的性质)一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直?
线平行。
(线面平行线线平行)作用:
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。
(面面平行④(平面与平面平行的性质)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
?
线线平行)
⑤(直线与平面垂直的判定)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
⑥(平面与平面垂直的判定)一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
⑦(直线与平面垂直的性质)垂直于同一个平面的两条直线平行。
⑧(平面与平面垂直的性质)两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
注:
(等角定理)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
三、补充:
面面平行的性质定.线面平行的性质定理;Ⅲ.①证线线平行的方法:
Ⅰ.定义法;Ⅱ理;Ⅳ.平行公理
面面平行证线面平.定义法;Ⅲ.②证线面平行的方法:
Ⅰ.线面平行的判定定理;Ⅱ行.平面平行的传递性③证面面平行的方法:
Ⅰ.定义法;Ⅱ.面面平行的判定定理;Ⅲ④三垂线定理:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,O么它也和这条垂线垂直。
B⑤三垂线定理逆定理:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那α么它也和这条斜线的射影垂直。
射影长定理图从平面外一点向平面所引的斜线段、垂线段中,垂线段最短。
⑥射影长定理:
Ⅰ.POBOA?
OA?
OBPBPA?
PBPA?
;若若Ⅱ.如图(射影长定理图):
。
,则,则
OBOA?
PBPB?
PBPA?
PA?
PA,,则则(射影长定理图).如图:
若。
;若Ⅲ⑦最小角定理:
斜线和平面所成的角是这个斜线与平面内过斜足的所有直线所成角中的最小角。
(最小角定理图)222a?
bc?
?
cosAOAα
bc2⑧余弦定理:
222b?
ac?
?
Bcoscb
最小角定理图ac2222ca?
b?
B?
cosCCa
ab2第三章直线与方程一、直线的倾斜角与斜率?
ll叫轴作为基准,轴相交时,我们取倾斜角:
当直线1.与xxx向上方向之间所成的夹角轴正向与直线精品文档.
精品文档?
ll的取值0°。
则直线的倾斜角与x做直线的倾斜角。
当直线轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为
?
°≤<180°。
范围为0确定一条直线的条件:
直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。
2.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:
直线上的一个定点以及它的倾斜角。
3.,即(倾斜程度)4.坡度(倾斜程度):
日常生活中,我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”
升高量=坡度(比)前进量?
的正切值叫做这条直线的斜率,我们用斜率表示直线的倾斜程度。
斜率常用5.斜率:
一条直线的倾斜角
?
tan?
kk表示,即。
小写字母°的直线没有斜率。
注意:
倾斜角是90
y?
y?
?
?
?
12?
k)(x?
Px,Pyx,yx,的直线的斜率公式为6.经过两点21121212xx?
12
?
lll,lk?
k,kk对于两条不重合的直线∥7.,其斜率分别为,有21212211lll和l重合l与lk?
k?
注意:
若直线∥或可能重合时,我们得到21212121;反之,如果它们的斜率之积等于-18.如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于1?
?
?
l?
lkk-1,那么它们互相垂直,即2112,另一个不存在中一个为或k,k0?
?
ll?
kk?
19.两条直线垂直的条件:
221112二、直线的方程(5个))(x?
?
y?
yxk直线的点斜式方程(简称点斜式):
1.00
lll的方程就是x,这是直线【当直线轴平行或重合,与的倾斜角为k=00°时,tan0°=0,即yy?
?
0,或y?
y】00注意:
直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形,所以在求直线的方程时,应先讨论直线有无斜率。
?
?
?
?
ab,00,all轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距。
我们把直线截距:
我们把直线轴交点与xy与l在y轴上的截距。
的纵坐标b叫做直线注意:
截距不是距离,截距是数。
bkx?
y?
2.直线的斜截式方程(简称斜截式):
注意:
直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。
xx?
y?
y11?
:
3.直线的两点式方程(简称两点式)xx?
yy?
12210注意:
①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为的直线。
精品文档.
精品文档?
?
?
?
yPxx,yP,,PPPPxxx?
xy?
y?
中有没有两点式方程。
平当时,直线时,②若直线或212112*********2PPy?
x?
xy0?
0?
y?
y?
xx轴,时,,或直线平行于直线方程为;当行于x轴,直线方程为,x2121111yy?
。
或1
yx?
?
0a?
0,b?
?
1?
:
4.直线的截距式方程(简称截距式)ba轴)或过原点的直线。
注意:
直线的截距式方程不适用于平行于x轴(或y?
?
?
?
y,xy,xPPPPPP,,且线段的坐标分别为的中点线段,的中点坐标公式:
若点2211211122?
?
y,x,则的坐标为
x?
x21x?
2My?
y21?
y25.直线的一般式方程(简称一般式):
A(k?
),k=-0)0(其中A,B不同时为0Ax?
By?
C?
B0C?
?
By?
Ax中,6..在方程A?
0,C?
0时,方程表示的直线平行于x轴;①当
B?
0,C?
0时,方程表示的直线平行于y轴;②当
A?
0,B?
0,C?
0时,方程表示的直线与x③当轴重合;
A?
0,B?
0,C?
0时,方程表示的直线与④当y轴重合。
l:
Ax?
By?
C?
01111,则已知直线7..0?
By?
Cl:
Ax?
2222?
?
0C?
A或AC?
?
BC?
?
ABAB?
0且-BC0llll∥①∥的充要条件是:
211212*********1
lll?
l?
AA?
BB?
0②的充要条件是:
⊥21211221三、直线的交点坐标与距离公式
?
ll相交,且有唯一交点;1.①若方程组有唯一解与21?
ll;∥②若方程组无解21?
ll重合。
③若方程⑴与方程⑵可化成同一个方程与21精品文档.
精品文档?
?
?
?
0?
Ax?
By?
C?
AxBy?
C?
引申:
2.当表示直线束。
变化时,方程211212?
?
?
0Ax?
By?
CAx?
By?
C?
?
0?
?
CAx?
ByCAx?
By?
?
0表示过直线3.方程交与直线1212122112120?
Ax?
By?
C点的任意一条直线,但它不能表示这条直线。
2220Ax?
By?
C?
l:
Ax?
By?
C?
0l:
为的直展延【常用结论】:
4.过线方与程可设交点22121112?
?
?
?
?
?
0C?
0x?
B?
C?
yyAx?
B?
?
lAx?
ByC?
C?
Al?
xA?
By(不表示或(不表示))121211222221110?
C?
Ax?
By)?
CBy?
?
m?
0,(mAx5.与直线平行的直线方程可设为0?
Ay?
m?
C?
0Bx?
Ax?
By与直线垂直的直线方程可设为6.
22?
?
?
?
?
?
?
?
yy?
?
?
|PPx?
x|yxx,Py,,P间的距离公式为:
7.两点122121212121
?
?
?
?
22y0,0P,xOyx?
|OP|?
的距离公式为:
8.原点与任一点
|CBy?
|Ax?
?
?
00?
dy,xP0?
?
CAx?
By的距离公式为:
点到直线9.00022B?
A
|?
C|d0?
?
CByAx?
?
C?
0Ax?
B间的距离为:
10.两条平行直线与2?
圆与方程第四章4.1.1圆的标准方程222r?
?
(y?
b))(x?
a的圆的方程1、圆的标准方程:
圆心为A(a,b),半径为r
222)x,yM(r)?
?
(x?
a)(y?
b2、点与圆的关系的判断方法:
00222r)?
)b?
(y?
(xa
(1),点在圆外>00222r)by)(x?
a?
?
(
(2),点在圆上=00222r)b?
?
(y(x?
a),点在圆内)(3<004.1.2圆的一般方程
1DE?
?
2222?
?
0?
FEy?
x?
y?
Dx?
?
4?
EFD为半径长,圆心为,半径为、圆的一般方程:
1?
?
222?
?
的圆xy0的系数相同,不等于y2x2①
(1)2、圆的一般方程的特点:
和.②没有这样的二次项.、D圆的一般方程中有三个特定的系数
(2)EF、,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.精品文档.
精品文档
、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心(3)坐标与半径大小,几何特征较明显。
圆与圆的位置关系4.2.1
、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.1
ED22到直线,圆设直线:
:
,圆的半径为,圆心0F?
Ey?
Dxx?
?
y?
0byax?
?
c?
Clr),(?
?
22的距离为,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
d
相离;1)当时,直线与圆(Clrd?
相切;)当时,直线与圆(2Clr?
d
时,直线与圆相交;直线、圆的位置关系)当(3Clrd?
注意:
1.直线与圆的位置关系
)(?
0?
?
?
d?
R直线与圆相交,有两个公共点方程组有两组不同实数解)0(?
?
?
Rd?
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方程组有唯一实数解直线与圆相切,只有一个公共点
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0(?
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R?
d直线与圆相离,没有公共点方程组无实数解
2.求两圆公共弦所在直线方程的方法:
将两圆方程相减。
2222?
0Ey?
F)?
(xF?
yx?
Ey?
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Dxx?
yD?
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?
求经过两圆交点的圆系方程:
3.211122
圆与圆的位置关系4.2.2
两圆的位置关系.,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
设两圆的连心线长为l
相离;与圆时,圆
(1)当CCr?
lr?
2121)当(2外切;时,圆与圆CCrl?
r?
2121与圆时,圆(3)当相交;CCr|?
r|r?
lr?
?
212121精品文档.
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与圆内切;时,圆(4)当CC|rrl?
|?
2121与圆)当(5内含;时,圆CC|l?
r|r?
21214.2.3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:
建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;z
第二步:
通过代数运算,解决代数问题;第三步:
将代数运算结果“翻译”成几何结论.D'C'三、空间直角坐标系A'yB'OO'OABCD'A?
'BC'为原点,分别以射线如图1.是单位正方体。
以CA'OAOA,OC,OD',OC,OD的长为单位长,的方向为正方向,以线段Bx轴。
这是我们说建立了一个空间直角坐标轴、建立三条数轴:
xz轴、yOxyz轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,系z轴、,其中点O叫做坐标原点,x轴、yyOzxOyzOx分别称平面、平面。
平面、数轴:
一个点与一个实数一一对应2.
z平面直角坐标系:
一个点与一个有序实数对一一对应。
空间直角坐标系:
一个点与一个有序实数组一一对应。
轴的平面,轴和zM分别作垂直于x轴、yM3.如图,设点位空间的一个定点,过点R轴上的坐z在x轴、y轴和Q和R.设点P,Q和Rz依次交x轴、y轴和轴于点P,My?
?
oz,xy,。
M就对应唯一确定的有序实数组y标分别是x,和z,那么点PM'?
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z,
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