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一次函数
【兴趣是最好的导师】
一次函数
【问题情境】
问题:
某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系.
这个函数也可表示为:
y=-6x+15(x≥0)
这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?
它的图象又具备什么特征?
我们这节课将学习这些问题.
研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示?
它们又有什么共同特点?
1.有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(℃)有关,即C的值约是t的7倍与35的差.
2.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值.
3.某城市的市内电话的月收费额y(元)包括:
月租费22元,拨打电话x分的计时费(按0.01元/分收取).
4.把一个长10cm,宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变,矩形面积y(cm2)随x的值而变化.
它们的形式与y=-6x+15一样,函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.(关于x的一次整式)
一次函数的概念:
一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
练习:
1.下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?
(1)y=-8x.
(2)y=
.
(3)y=5x2+6.(3)y=-0.5x-1.
2.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动,其速度每秒增加2米.
(1)一个小球速度v随时间t变化的函数关系.它是一次函数吗?
(2)求第2.5秒时小球的速度.
3.汽车油箱中原有油50升,如果行驶中每小时用油5升,求油箱中的油量y(升)随行驶时间x(时)变化的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.y是x的一次函数吗?
例1、在同一坐标系中,画出函数y=-6x与y=-6x+3的图象.并比较两个函数图象,探究它们的联系及解释原因.
结论:
这两个函数的图象形状都是直线,并且平行,即倾斜程度相同;函数y=-6x的图象经过原点.函数y=-6x+3的图象与y轴交于点(0,3),它可以看作由直线y=-6x向上平移3个单位长度而得到.
比较两个函数解析式.联系它们图象的特征,不难看出自变量x的系数相同是它们图象平行的原因,而常数项不同正是造成图象与y轴交点的不同.
其实,一次函数y=kx+b的图象是一条经过()、()两点的直线,其中k决定直线倾斜程度,叫做斜率,b决定直线与y轴交点位置,叫做截距,直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移).
练习:
画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
例2、画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象.由它们联想:
一次函数解析式y=kx+b(k、b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?
规律:
当k>0时,直线y=kx+b由左至右上升;当k<0时,直线y=kx+b由左至右下降.
性质:
当k>0时,y随x增大而增大,图像必过一、三象限;
当k<0时,y随x增大而减小,图像必过二、四象限。
练习
1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______,与y轴交点坐标为_________,图象经过第________象限,y随x增大而_________.
2.分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限?
(1)k>0b>0
(2)k>0b<0
(3)k<0b>0(4)k<0b<0
【一次函数解析式的确定】
例1、已知一次函数图象过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式
结论:
像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.
练习:
1.已知一次函数y=3x-b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点()
A.(-1,1)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)
2.已知一次函数y=kx+2,当x=5时y的值为4,求k值.
3.已知直线y=kx+b经过点(9,0)和点(24,20),求k、b值.
4.生物学家研究表明,某种蛇的长度y(CM)是其尾长x(CM)的一次函数,当蛇的尾长为6CM时,蛇的长为45.5CM;当蛇的尾长为14CM时,蛇的长为105.5CM.当一条蛇的尾长为10CM时,这条蛇的长度是多少?
例2.若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9,求b的值.
练习:
1、若一次函数y=kx+2的图像与坐标轴围成的三角形的面积是6,求b的值.
2、点M(-2,k)在直线y=2x+1上,求点M到x轴的距离d为多少?
【一次函数的应用】
例1、A城有肥料200吨,B城有肥料300吨,现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元;从B城往C、D两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元.现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.怎样调运总运费最少?
若A城有肥料300吨,B城200吨,其他条件不变,又该怎样调运呢?
总结:
解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量间的关系,选取其中某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.这样就可以利用函数知识来解决了.
在解决实际问题过程中,要注意根据实际情况确定自变量取值范围.就像刚才那个变形题一样,如果自变量取值范围弄错了,很容易出现失误,得到错误的结论.
练习
从A、B两水库向甲、乙两地调水,其中甲地需水15万吨,乙地需水13万吨,A、B两水库各可调出水14万吨.从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲地60千米,到乙地45千米.设计一个调运方案使水的调运量(万吨·千米)最少.
【综合训练】
1.已知一个正比例函数的图象经过点(-2,4),则这个正比例函数的表达式是
2.已知一次函数y=kx+5的图象经过点(-1,2),则k=.
3.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的符号是()
(A)k>0,b>0(B)k>0,b<0(C)k<0,b>0(D)k<0,b<0
4.直线y=kx+b在坐标系中的位置如图,则()
A、
B、
C、
D、
5.将直线
向上平移两个单位,所得的直线是( )
A.
B.
C.
D.
6.若把一次函数y=2x-3,向上平移3个单位长度,得到图象解析式是()
(A)y=2x(B)y=2x-6 (C)y=5x-3(D)y=-x-3
7.下面函数图象不经过第二象限的为()
(A)y=3x+2 (B)y=3x-2(C)y=-3x+2(D)y=-3x-2
8.过第三象限的直线是()
A、y=-3x+4B、y=-3xC、y=-3x-3D、y=-3x+7
9.已知一次函数y=3x-b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点()
A.(-1,1)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)
10.如图,直线
经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是( )
A.
B.
C.
D.
11.函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限,那么m的取值范是()
A、
B、
C、
D、
12.函数y=k(x–k)(k<0)的图象不经过()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
13.若一个函数
中,
随
的增大而增大,且
则它的图象大致是()
(A)(B)(C)(D)
14.直线y=4x-6与x轴交点坐标为_______,与y轴交点坐标为_________,图象经过第________象限,y随x增大而_________.
15.已知一次函数y=kx-k+4的图象与y轴的交点坐标是(0,-2),那么这个一次函数的表达式是______________。
16.已知一次函数
函数
的值随
值的增大而增大,则
的取值范围是.
17.已知一次函数y=2x+4的图像经过点(m,8),则m=________。
18.若一次函数y=kx+b的图像经过(-2,-1)和点(1,2),则这个函数的图像不经过象限
19.若函数y=mx-(4m-4)的图象过原点,则m=_______,此时函数是______函数.
20.若函数y=mx-(4m-4)的图象经过(1,3)点,则m=____,此时函数是函数.
21.点M(-2,k)在直线y=2x+1上,求点M到x轴的距离d=
22.已知y-2与x成正比,且当x=1时,y=-6
(1)求y与x之间的函数关系式
(2)若点(a,2)在这个函数图象上,求a
23.在某地,人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函数关系。
下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表:
蟋蟀叫次数
…
84
98
119
…
温度(℃)
…
15
17
20
…
(1)根据表中数据确定该一次函数的关系式;
(2)如果蟋蟀1分钟叫了63次,那么该地当时的温度大约为多少摄氏度?
24.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)试求降价前y与x之间的关系式
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?
课后作业
一次函数和数据组卷练习
一.选择题(共5小题)
1.(2015•丹寨县一模)函数
中自变量x的取值范围是( )
A.
x≤2
B.
x=3
C.
x<2且x≠3
D.
x≤2且x≠3
2.(2015•余姚市模拟)函数y=
中,自变量x的取值范围是( )
A.
x>﹣1
B.
x>﹣1且x≠1
C.
x≥一1
D.
x≥﹣1且x≠1
3.(2015•黄冈中学自主招生)平面直角坐标系中,如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点,那么函数
的图象上整点的个数是( )
A.
2个
B.
4个
C.
6个
D.
8个
4.(2015•广东模拟)一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港,行驶过程随时间变化的图象如图所示,下列结论错误的是( )
A.
轮船的速度为20千米/小时
B.
快艇的速度为
千米/小时
C.
轮船比快艇先出发2小时
D.
快艇比轮船早到2小时
5.(2015•深圳模拟)一个面积等于3的三角形被平行于一边的直线截成一个小三角形和梯形,若小三角形和梯形的面积分别是y和x,则y关于x的函数图象大致是下图中的( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(共2小题)
6.(2015•邗江区二模)在函数y=
中,自变量x的取值范围是 .
7.(2015•雅安校级一模)函数y=
中,自变量x的取值范围是 .
三.解答题(共23小题)
8.(2014秋•会宁县期末)学生的平时作业、期中考试、期末考试三项成绩分别按2:
3:
5的比例计入学期总评成绩.小明、小亮、小红的平时作业、期中考试、期末考试的数学成绩如下表,计算这学期谁的数学总评成绩最高?
平时成绩
期中成绩
期末成绩
小明
96
94
90
小亮
90
96
93
小红
90
90
96
9.(2014•南昌县模拟)某农村初中2013年、2014年分别选拔了7名同学参加县级“综合体能”竞赛,学校想了解今年(2014年)7位同学实力,于是在3月1日进行一次与去年项目、评分方法完全一样的测试.两年成绩如下表:
2013年
58
65
70
70
70
75
82
2014年
50
55
70
75
78
80
82
(1)请根据表中数据补全条形统计图;
(2)分别求出两年7位同学成绩的中位数和平均成绩;
(3)经计算2014的7位同学成绩的方差S2=136.9,那么哪年的7位同学的成绩较为整齐?
通过计算说明;
(4)除上述问题
(2),(3)外,根据题中情境由你提出一个问题,并给予解答.
方差计算公式:
.
10.(2013春•海珠区期末)为了了解某小区居民的用水情况,随机抽查了该小区10户家庭的月用水量,结果如下:
月用水量(吨)
6
7
8
9
10
户数
2
1
4
2
1
(1)求这10个数据的平均数、中位数、众数.
(2)如果该小区有100户家庭,根据上面的计算结果,估计该小区居民每月共用水多少吨?
11.(2013秋•诸城市校级月考)为了从甲、乙两名射击选手中选出一人参加射击比赛,辅导员对它们的实际水平进行了测试,每人射击10次,成绩如下:
甲:
9,9,10,8,6,10,10,8,10,8,
乙:
10,8,7,10,10,10,10,8,7,8
你如何帮助辅导员作出决策?
12.(2012•贺州)如图是我市交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况.(单位:
千米/时)
(1)计算这些车的平均速度.
(2)大多数车以哪一个速度行驶?
(3)中间的车速是多少?
13.(2013秋•东台市期末)在我市开展的“‘新华杯’中学双语课外阅读”活动中,某中学为了解八年级400名学生读书情况,随机调查了八年级50名学生读书的册数.统计数据如下表所示:
册数
0
1
2
3
4
人数
2
10
15
17
6
(1)求这50个样本数据的众数和中位数;
(2)根据样本数据,估计该校八年级400名学生在本次活动中读书多于2册的人数.
14.(2014春•思明区校级期末)某校在“爱护地球,绿化祖图”的创建活动中,组织学生开展植树造林活动.为了解全校学生的植树情况,学校随机抽查了100名学生的植树情况,将调查数据整理如下表:
植树数量(单位:
棵)
4
5
6
8
10
人数
30
22
25
15
8
则这100名同学平均每人植树 棵;若该校共有1000名学生,请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是 棵.这组数据的中位数是 ,众数是 .
15.(2015•未央区二模)小东从A地出发以某一速度向B地走去,同时小明从B地出发以另一速度向A地而行,如图所示,图中的线段y1,y2分别表示小东、小明离B地的距离(千米)与所用时间(小时)的关系.
(1)试用文字说明:
交点P所表示的实际意义.
(2)试求出A,B两地之间的距离.
16.(2015•宜春模拟)A、B两城间的公路长为450千米,甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城,甲车到达B城1小时后沿原路返回.如图是它们离A城的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象.
(1)求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)乙车行驶6小时与返回的甲车相遇,求乙车的行驶速度.
17.(2015•赤峰模拟)小亮和小刚进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发xmin后距出发点的距离为ym.图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系,其中A点在x轴上,M点坐标为(2,0).
(1)A点所表示的实际意义是 ;
= ;
(2)求出AB所在直线的函数关系式;
(3)如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇?
18.(2015•夏津县一模)某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
甲
乙
进价(元/部)
4000
2500
售价(元/部)
4300
3000
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后获毛利润共2.1万元(毛利润=(售价﹣进价)×销售量)
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量,已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?
并求出最大毛利润.
19.(2015•高邮市模拟)某物流公司有20条输入传送带,20条输出传送带.某日,控制室的电脑显示,每条输入传送带每小时进库的货物流量如图a,每条输出传送带每小时出库的货物流量如图b,而该日仓库中原有货物8吨,在0时至4时,仓库中货物存量变化情况如图c.
(1)根据图象,在0时至2时工作的输入传送带和输出传送带的条数分别为 ;
A.8条和8条B.14条和12条C.12条和14条D.10条和8条
(2)如图c,求当2≤x≤4时,y与x的函数关系式;
(3)若4时后恰好只有4条输入传送带和4条输出传送带在工作(至货物全部输出完毕为止),请在图c中把相应的图象补充完整.
20.(2015•温州模拟)某校八年级举行“生活中的数学”数学小论文比赛活动,购买A、B两种笔记本作为奖品,这两种笔记本的单价分别是12元和8元,根据比赛设奖情况,需要购买两种笔记本共30本,若学校决定购买本次笔记本所需资金不能超过280元,设买A种笔记本x本.
(1)根据题意完成以下表格(用含x的代数式表示)
笔记本型号
A
B
数量(本)
x
价格(元/本)
12
8
售价(元)
12x
(2)那么最多能购买A笔记本多少本?
(3)若购买B笔记本的数量要小于A笔记本的数量的3倍,则购买这两种笔记本各多少本时,费用最少,最少的费用是多少元?
21.(2015•武侯区模拟)如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(﹣3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的函数关系式;
(2)连接BM,动点P从点A出发,沿折线A﹣B﹣C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围).
22.(2015春•莒县期中)已知一次函数图象经过点(3,5),(﹣4,﹣9)两点.
(1)求一次函数解析式.
(2)求图象和坐标轴交点坐标.
(3)求图象和坐标轴围成三角形面积.
(4)点(a,2)在图象上,求a的值.
23.(2014•钦州)某地出租车计费方法如图,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象解答下列问题:
(1)该地出租车的起步价是 元;
(2)当x>2时,求y与x之间的函数关系式;
(3)若某乘客有一次乘出租车的里程为18km,则这位乘客需付出租车车费多少元?
24.(2014•昆明)某校运动会需购买A,B两种奖品,若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需60元;若购买A种奖品5件和B种奖品3件,共需95元.
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元?
(2)学校计划购买A、B两种奖品共100件,购买费用不超过1150元,且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍,设购买A种奖品m件,购买费用为W元,写出W(元)与m(件)之间的函数关系式.求出自变量m的取值范围,并确定最少费用W的值.
25.(2014•泉州)某学校开展“青少年科技创新比赛”活动,“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A,B两处出发,沿轨道到达C处,B在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,设t(分)后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1,d2,则d1,d2与t的函数关系如图,试根据图象解决下列问题:
(1)填空:
乙的速度v2= 米/分;
(2)写出d1与t的函数关系式:
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰,试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰?
26.(2014•河南)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及
(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
27.(2014•烟台)山地自行车越来越受到中学生的喜爱,各种品牌相继投放市场,某车行经营的A型车去年销售总额为5万元,今年每辆销售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A型车每辆售价多少元?
(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
A,B两种型号车的进货和销售价格如下表:
A型车
B型车
进货价格(元)
1100
1400
销售价格(元)
今年的销售价格
2000
28.(2014•南京)从甲地到乙地,先是一段平路,然后是一段上坡路,小明骑车从甲地出发,到达乙地后立即原路返回甲地,途中休息了一段时间,假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进.已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km,下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km.设小明出发xh后,到达离甲地ykm的地方,图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系.
(1)小明骑车在平路上的速度为 km/h;他途中休息了 h;
(2)求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式;
(3)如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h,那么该地点离甲地多远?
29.(2014•高青县模拟)直线y=
x+2
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