初中数学《一次函数》主题单元教学设计以及思维导图.docx

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初中数学《一次函数》主题单元教学设计以及思维导图

一次函数

适用年级

八年级

所需时间

课内6课时

主题单元学习概述

生活中充满着许许多多变化的量，函数就是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数．本章是在七年级下学期探索了变量之间关系的基础上，继续通过对变量间关系的考察，让学生初步体会函数的概念，并进一步研究其中最为简单的一种函数——一次函数，通过解剖一次函数这一“麻雀”，使学生了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．本章在教材设计中改变了传统教材中先研究特殊的正比例函数，再研究一般的一次函数的教学顺序，将正比例函数纳入一次函数的研究中去，在学习一次函数的同时把正比例函数也完成了．在具体内容的呈现上，教科书力求为学生提供生动有趣的问题情境，提供观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中加深学生对数学知识的理解，发展学生的数学思维；在新知的导入上，既注重了与学生生活实际的联系，又注意了新旧知识的联系，在新旧知识的比较与联系中，促进了学生新的认知结构的建立与完善

主题单元规划思维导图（说明：

将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后，粘贴在这里）

主题单元学习目标

知识技能：

理解一次函数和正比例函数的概念；；掌握一次函数和正比例函数之间的关系．

能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数学应用能力．

经历一次函数的作图过程，能熟练地作出一次函数的图象．

使学生熟练地作出一次函数的图象，会求一次函数与坐标轴的交点坐标

会作出实际问题中的一次函数的图象．

能结合图象理解掌握一次函数y＝kx＋b的性质

过程与方法：

“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。

另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。

对于一次函数中系数与的作用，教学可通过一些具体函数图象的观察、比较，

情感态度与价值观：

1．通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次 函数、反比例函数的学习方法。

2．培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题．

      3．提高学生数形结合意识，培养数形结合的能力．

4．探索一次函数图象观察、分析等过程，提高学生数形结合意识，培养数形结合的能力．

对应课标

1．经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展

学生抽象思维能力；经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作交流中发展学生的

合作意识和能力．

2．经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．

3．初步理解函数的概念；理解一次函数极其图象的有关性质；初步体会方程和函数

的关系．

４．根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．

主题单元问题设计

1.函数的要素有哪些？

2.一次函数和正比例函数的联系是什么？

3.一次函数有什么性质？

4.一次函数的图像时什么？

5.怎样确定一次函数的表达式？

6.怎样应用一次函数的图像？

专题划分

专题1：

一次函数

专题2：

一次函数的图像

专题3：

一次函数图像的应用

专题一

一次函数的定义

所需课时

课内2课时+课外1课时

专题一概述

以摩天轮的高度和时间的关系图、堆放物体的总数和层数关系的表格、滑行距离和速

度的代数表达式三种形式呈现了三个生活化的场景，使学生明确“给定其中某一个变量的

值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性，从而归纳出函数的概念，同时也暗示了

函数的三种表示方式，对于函数的概念，只要学生能结合具体情境，体会到函数的概念即

可，不必作不必要的拓展和加深

专题学习目标

知识技能：

１．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数．

２．经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力．

过程与方法：

１．初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．

２．经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力．

情感态度与价值观：

能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数学应用能力．

专题问题设计

1．什么是自变量，什么是因变量？

2.x的一次式的一般形式是什么？

3．什么是正比例函数？

4.什么是一次函数？

5.正比例函数与一次函数的联系是什么？

所需教学材料和资源

信息化资源

几何画板课件

常规资源

作图工具（直尺，三角尺，量角器等）

教学支撑环境

学生每人一台计算机的网络教室或多媒体教室，几何画板软件

其他

纸笔等

学习活动设计

第一课时函数

环节一：

看看我们身边的例子：

1、小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款数M与从现在开始的月份数x之间的函数关系式

2、小红每天做5道数学课外练习，试写出小红所做题目的总数y和练习天数x之间的函数关系式

3、仓库内原有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式

4、容积为30m3的水池中已有水10m，现在以5m3/分钟的速度向水池注水，写出水池中水的容积y（m3）与注水时间x（分钟）之间的函数关系式

5、写出多边形的内角和S（度）与它的边数n的函数关系式，自变量n可取哪些数值？

问题1小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．

分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值，显然，显然，应该探究这两个量的变化规律．应该探求这两个变量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，可知s和t的函数关系式是．

说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．

问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式．

分析我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为y元，得到所求的函数关系式为：

．

问题3按下列问题引导学生思考：

（1）这些式子表示的是什么关系?

（2）这些函数中的自变量是什么?

函数是什么?

（3）在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?

（4）x的一次式的一般形式是什么?

表示的这两个函数有什么共同点?

上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为的形式，其中k、b是常数，k≠0．

特别地，当时，一次函数（常数k≠0）也叫做正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．

例题：

给出几个解析式

例1下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？

⑴面积为10cm2的三角形的底a（cm）与这边上的高h（cm）；

⑵长为8（cm）的平行四边形的周长L（cm）与宽b（cm）；

⑶食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；

⑷汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．

（提高）例2已知函数，若它是正比例函数，求k的值；若它是一次函数，求k的值．

例3已知y与成正比例，当时，．

⑴写出y与x之间的函数关系式；⑵y与x之间是什么函数关系；

⑶求x=2.5时，y的值．

专题二

一次函数的图像

所需课时

课内2课时

专题二概述

学生通过亲手画正比例函数的图象，获得正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线，并利用在同一坐标系中，画多个正比例函数图象得到正比例函数图象与x轴正方向所成锐角的大小与k的关系，有图象得到了一次函数的增减性，并且由图象还涉及到两直线的平行与相交，为高中的解析几何打下基础．

本专题的重点是熟练的作出一次函数的图象；本专题的难点是探索一次函数的作图过程．

学生的主要学习成果包括：

理解并掌握一次函数的作图过程，进一步掌握数形结合的思想方法，思想的运用．

专题学习目标

知识技能：

1.使学生熟练地作出一次函数的图象，会求一次函数与坐标轴的交点坐标；

2．会作出实际问题中的一次函数的图象．

过程与方法：

从学生已经认知的正比例函数和一次函数的概念出发，得出其定义式，以及两者特殊与一般的关系。

然后展示课本和作业中出现的正比例函数和一次函数的图象，让学生感知一次函数的图象是一条直线，并作出猜想。

情感态度与价值观：

培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题。

专题问题设计

1.取怎样的两点画函数y=0.5x，y=－0.5x的图象合适呢？

2.怎样取合适的两点画一次函数y=kx+b的图象呢？

3.一次函数的图象是什么形状呢?

4．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过哪一点的一条直线?

5．画一次函数图象时．只要取几点?

6．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象．并说出它们有什么关系。

7.两个一次函数图象，当k一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?

当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?

所需教学材料和资源

信息化资源

刻度尺，多媒体课件

常规资源

作图工具（直尺，三角尺等）

教学支撑环境

学生每人一台计算机的网络教室或多媒体教室，几何画板软件

其他

坐标纸，笔等

学习活动设计

1、知识设疑：

其一、什么叫一次函数、正比例函数？

它们有何关系？

其二、如何画现函数的图象？

探索1：

请同学们根据画图象的步骤：

列表、描点、连线，

在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．

14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。

自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。

⑴；⑵；⑶；⑷．

18、建立自然保护区是保护生物多样性的有效方法，我国的九寨沟、长白山、四川卧龙等地都建立了自然保护区，自然保护区为物种的生存、繁衍提供了良好的场所。

（写在一个表中）同学们观察并互相讨论，并回答：

你所画

答：

我们在水中可发现变形虫、鼓藻、草履虫、船形硅藻等。

出的图象是什么形状的吗？

5、垃圾的回收利用有哪些好处？

归纳1：

观察上面四个函数的图象，发现它们

都是直线．一次函数（k≠0）的图象是一

答：

燃烧的蜡烛变得越来越短，发光发热并伴有气体生成。

条直线，这条直线通常又称为直线（k≠0）．

特别地，正比例函数（k≠0）是经过原点（0，0）的一条直线．

答：

水分和氧气是使铁容易生锈的原因。

加问：

经过几点可以确定一条直线?

答：

两点．问题l：

以上四个一次函数图象是什么形状呢?

只要取两点。

教师指出，今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可．

结论那么今后画一次函数图象时只要取两点，过两点画一条直线就可以了．（教师再用过两点的方法画图象，注意启发对两个点的选择）（马上做一个练习，列表法一般是6个点以上，改一下下面的二个题中的b⑶与．

答：

①可以节约能源；②减少对环境的污染；③降低成本。

）

缺点：

不仅消耗大量电能，留下残余物，如果控制不好，还会产生有毒物质，造成二次污染。

探索2：

1、月球是地球的卫星，月球围绕着地球运动，运动的方向是逆时针方向。

观察上面所画的四个一次函数的图象，比较下列各一对次函数的图象有什么共同点，有什么不同点？

19、细胞也是生物最基本的功能单位，生物的呼吸、消化、排泄、生长、发育、繁殖、遗传等生命活动都是通过细胞进行的。

⑴与；⑵与；

⑶与．

你能否从中发现一些规律？

对于直线（k≠0），常数k和b的取值对于其位置各有什么影响？

归纳2：

（几何画板课件）1、两个一次函数，当k一样，b不一样时，如⑴与⑵，有共同点：

直线平行，平移关系！

！

都是由直线（k≠0）向上或向下移动得到；不同点：

它们与y轴的交点不同；2、而当两个一次函数，b一样，k不一

样时，如⑶，有共同点：

它们与y轴交于同一点（0，b）；不同点：

直线不平行．

综上所述，对于直线与直线而言：

⑴当、时，两直线平行；

⑵当、时，两直线相交于点（0，b）．

例1在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象：

（学生在书上面画，然后叫学生交流一下）

⑴与；⑵与．

加问：

⑴你取的是哪几个点，互相交流，看谁取的点比较简便？

⑵上面每组中的两条直线有什么关系？

通过比较，老师点拨，得出一次函数图象的画法：

一般情况下，画一次函数的图象要取与x轴、y轴的交点比较简便．特别地，画正比例的图象只要过原点（0，0）和（1，k）最为简便．

例2（可再举一个例子）说出直线与；与的相同之处．

例3直线，分别是由直线经过怎样的移动得到的？

平移方法：

只要k相同，直线就平行，一次函数（k≠0）是由正比例函数的图象（k≠0）经过向上或向下平移个单位得到的．时，直线向上移；时，直线向下移．

专题三

一次函数的图像的应用

所需课时

课内2课时

专题三概述

本专题是通过一次函数的图象解决实际问题，培养学生良好的识图能力，从而让学生进一步体

会函数与方程、数与形的关系，建立良好的知识联系

本专题的重点是理解一次函数（含正比例函数）的性质．难点是在数形上结合进行学习一次函数的性质

本专题的探索内容较多，对函数性质的探索，要注意图象的直观作用，关键在于说学生理解以下两语句的含义及其对应关系：

“函数值随自变量的增大而增大（减小）”、“函数的图象从左向右上升（下降）”。

对于一次函数中系数与的作用，教学可通过一些具体函数图象的观察、比较，让学生自我探索。

学生的主要学习成果包括：

注意渗透数形结合思想．

专题学习目标

知识技能：

1．使学生理解待定系数法。

2.能用待定系数法术一次函数的解析式．

3.过程与方法：

探索用待定系数法确定一次函数表达式需要的几个条件。

情感态度与价值观：

1．待定系数法是一种应用广泛的数学方法，在教学中要突出这种方法所蕴含的数学思想。

2．未知和已知、变量和常量的相互转化。

专题问题设计

1．确定一次函数的表达式需要几个条件?

2.确定正比例函数的表达式需要几个条件?

所需教学材料和资源

信息化资源

几何画板课件

常规资源

作图工具（直尺，三角尺，量角器等）

教学支撑环境

学生每人一台计算机的网络教室或多媒体教室，几何画板软件

学习活动设计

1．画出一次函数y＝x＋1的图象y＝-2＋3x是否这样?

画出函数y＝－x＋2和y＝－x－1的图象。

2．观察，分析函数y＝x＋l图象的变化规律．

师生共同观察分析，当一个点在直线上从左向右移动（自变量x从小到大）时,它的位置也在逐渐从低到高变化（函数y的值也从小到大）

问题2中的函数y＝y＝-2＋3x是否这样?

这就是说，函数值y随自变量x增大而_______

在同一直角坐标系中画出函数y＝3x－2的图象（如图中的虚线）是否也有这种现象．进—步引导学生观察、分析得出与上面相同的结论．让我们从以上图象分析他们之间的关系，看看是否存在着相似的地方与不同的地方：

第一组的y＝x＋1的图象y＝-2＋3x

（1）是两条不同的直线，但他们都经过第一、三象限；

（2）第一条直线还过第四象限，第二条直线还过第二象限；

（3）两条直线都呈现出一种上升的趋势。

由些，我们（猜想）有：

3、画出函数y＝－x＋2和y＝－x－1的图象。

学生动手画出以上一次函数图象，教师指导并纠正学生可能出现的错误画法．同时，教师在黑板面出这两个一次函数的图象．

4、观察、分析函数y＝－x＋2和y＝－x－1图象的变化规律．

问题l：

仿照以上研究方法，研究它们是否也有相应的性质，有什么不同?

你能否发现什么规律?

让学生分组讨论．发表意见，教师评析并归纳为：

当一个点在直线上从左到右（自变量x从小到大）时它的位置也在逐渐从高到低变化（函数y的值也从大到小）．其规律是函数值随自变量x的增大而减小．

再联想问题1中的函数y＝570－95t，是否也有这样的规律，发表你的看法．

让学生讨论回答，问题1中的函数y＝570－95t也有与上面得出的同样规律。

根据以上研究的结果，你能表述一次函数y＝kx＋b的性质吗?

让学生归纳、概括、表述如下性质:

1．当k>0时,y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

2．当k<0时,y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．

这些性质在P40问题1和P41问题2中，反映怎样的实际意义?

让学生思考后回答．（在完成了一次项系数（）为正数的图象，再去研究系数为负数的情况，进行比较正比例函数有与一次函数相同的性质

）

三、做一做

画出函数y＝－2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：

1．这个函数中，随着x的增大y将增大还是减小?

它的图象从左到右怎样变化?

2．当x取何值时，y＝0？

3.当x取何值时,y>0?

2、已知函数．⑴作出它的图象；⑵标出图象与x轴、y轴的交点坐标；⑶由图象观察，当≤x≤4时，函数值y的变化范围．

4、去年夏天，全国大部分地区发生严重干旱．市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，；当时，．

⑴画出函数的图象；⑵观察图象，利用函数

解析式，说明自来水公司采取的收费标准．

解⑴函数的图象如图所示；

⑵自来水公司的收费标准是：

当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元．

提高1若直线与直线平行，且与y轴交点的纵坐标为，求直线的表达式．

提高2求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积．

评价要点

1．什么叫做待定系数法?

2．用待定系数法求正比例函数表达式需要几个条件?

3．用待定系数法确定一次函数表达式需要几个条件?