奥数培优六年级下.docx

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奥数培优六年级下

第1讲牛吃草问题.....................................

（1）

第2讲逻辑推理.......................................（15）

第3讲圆柱表面积.....................................（31）

第4讲圆柱体积.......................................（41）

第5讲圆锥体积.......................................（50）

第6讲按比例分配.....................................（60）

第7讲比和比例.......................................（72）

第8讲抽屉原理.......................................（85）

第9讲总复习

（一）..................................（96）

第10讲总复习

（二）..................................（106）

第1讲牛吃草问题

基本公式:

1）设定一头牛一天吃草量为“1”

2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

〖例题1〗一片草地，每天都匀速长出青草。

这片草地可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

解一：

假设每头牛每周吃青草1份，

青草的生长速度：

（23×9-27×6）÷（9-6）

=45÷3

=15（份）

草地原有的草的份数：

27×6-15×6

=162-90

=72（份）

每周生长的15份草可供15头牛去吃，那么剩下的21-15=6头牛吃72份草：

72÷（21-15）

=72÷6

=12（周）

答：

这片草地可供21头牛吃12周．

解二：

（1）假设一头牛每周吃一份草

则27头吃6周可吃:

27×6×1=162（份）

23头吃9周可吃：

23×9×1=207（份）

（2）组合类比

因为“牛吃的草量=原有草量+新增草量

所以162=原有草量+6周新增

207=原有草量+9周新增

（3）每周新增：

（207一162）/（9一6）

=45/3

=15（份）

（4）原有草量：

162一15×6

=162一90

=72（份）

（5）分牛，让一部分牛吃新增草量

则还剩21一15=6头牛

（6）可供21头牛吃：

72/（21一15）

=72/6

=12（周）

答：

可供21头牛吃12周

〖练习1〗

1.一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，23头牛9天把草吃尽。

如果有牛21头，几天能把草吃尽？

2.有一片牧草，草每天匀速的生长，这片牧草可供100头牛吃3周，可供50头牛吃8周，那么可供多少头牛吃两周？

3.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

〖例题2〗由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？

解：

假设1头牛1天吃的草的数量是1份

草每天的减少量：

（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份……原草量-5天的减少量原草量：

100+5×10=150或

15×6=90份……原草量-6天的减少量原草量：

90+6×10=150份

（150-10×10）÷10=5头

答：

可供5头牛吃10天？

总结：

想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。

〖练习2〗

1.有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天．假设草的每天生长速度不变．现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，问有羊多少只？

2.有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。

现在用水　吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。

现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

3.一水库存水量一定，河水均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

〖例题3〗一个牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。

这群牛原来有多少头？

解：

设每头牛每天的吃草量为1份。

每天新生的草量为：

（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，

原有的草量为（27-15）×6=72份。

如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量

72+15×8+2×4=200份。

所以这群牛原来有200÷8=25头

〖练习3〗

1.有一片匀速生长的牧草，可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天。

原来有若干头牛在草地上吃草，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问原来有牛多少头？

2.有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天，现在开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃光所有的草，问增加了几头牛？

3.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。

如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

〖例题4〗有三块草地，面积分别是5，15，24亩。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。

把每头牛每天吃的草看作1份。

因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份

所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份

因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份

所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份

所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份

第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份

新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃

80天，因此288÷80＝3.6头牛

所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。

解法一：

　　设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：

10*30/5=60；

每亩45天的总草量为：

28*45/15=84

那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=1.6

每亩原有草量为60-1.6*30=12，

那么24亩原有草量为12*24=288，

24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，

24亩80天共有草量3072+288=3360，

所以3360/80=42（头）

解法二：

根据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量（28×45-30×30）/（45-30）=24；

15亩原有草量：

28×45-24×45=180；

15亩80天所需牛180/80+24（头）

24亩需牛：

（180/80+24）*（24/15）=42头

〖练习4〗

1.有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。

每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

第三块草地可供19头牛吃多少天？

2.有三片草地，面积分别为4公顷，8公顷和10公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一片草地上的草可供24头牛吃6周，第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：

第三片草地上的草可供50头牛吃几天？

〖例题5〗经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。

假设地球新生成的资源增长速度是一样的。

那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活几亿人？

解：

设1亿人1年所消耗的资源为1份

那么地球上每年新生成的资源量为：

（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。

所以地球最多只能养活：

70÷1=70（亿人）

〖练习5〗

1.有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：

要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？

2.假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？

3.有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。

要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？

课内巩固

1.一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？

2.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？

3.一个水池，池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？

4.甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去．已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度.

5.一个牧场，草每天均匀生长，每头牛每天吃的草量相同，9头牛12天可以把草吃完，8头牛16天可以把草吃完，如果开始只有4头牛吃，从第7天起增加了若干头牛，再经过6天吃完所有的草，增加了多少头牛？

6.一片草地上长满了均匀生长的牧草，可供24头牛吃6天，60只羊吃10天。

如果1头牛的吃草量等于3只羊的吃草量，那么16头牛与12只羊一起吃可以吃多少天？

综合运用

1.两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。

白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。

黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。

那么，井深多少米？

2.水库原有存水量一定，河水每天入库。

5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？

3.两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。

问该扶梯共有多少级？

4.禁毒图片展8点开门，但很早便有人排队等候入场。

从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。

如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8点5分就没有人排队。

第一个观众到达时距离8点还有多少分钟？

5.有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。

要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？

6.三块草地长满草，草每天匀速生长。

第一块草地33亩，可供22头牛吃54天，第二块草地28亩，可供17头牛吃84天，第三块草地40亩，可供多少头牛吃24天？

7.牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

问：

这片牧草可供25头牛吃多少天？

8.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块

草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？

9.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问：

该扶梯共有多少级？

10.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船中。

如果10人淘水，3小时可淘完；如果5人淘水，8小时可淘完。

如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

第2讲逻辑推理

利用数学知识解决生活中的问题，除了要进行计算外，更重要的是依据数学逻辑规律，以已知的结论为出发点，推出新的结论，这就是逻辑推理。

逻辑推理中，条件繁杂交错，解题时必须根据事情的逻辑关系，找准突破口，按照基本的逻辑规律，借助直接推理、计算、假设、列表、排除……方法，层层剖析，一步步向纵深发展，解决问题。

解决逻辑推理问题的基本过程是：

先从某一个条件出发，利用其他条件进行推理，直到推出结论为止。

或者先做出一种假设，从这种假设出发，推出自相矛盾的结论，说明这一假设是不成立的，因此，与假设相反的情况是正确的。

在推理过程中，要充分利用每一个条件，抓住关键穷追到底，进行层层推理，直到得出正确结论。

解答逻辑推理问题的方法：

（1）直接推理法。

（2）假设推理法，又称间接推理法。

如果提目中所涉及的情况只有有限种，我们可以先假设一个前提正确，以此为起点，根据题中条件和客观事实进行推理和判断。

如果推理没出矛盾，符合题意，说明假设正确。

如果推力导致矛盾，说明假设的前提不正确，必须重新提出一个假设，直至得到符合要求的结论为止。

这就是假设推理法或叫假设淘汰法。

（3）列表画图法。

（4）列举筛选法。

为了解决问题的方便，把问题分类归纳成既不重复，又不遗漏的有限种情况，然后将每种情况一一列举出来，并逐个进行检验，淘汰假解，最终达到解决整个问题的目的。

除了上述四种常用的推理方法，还有如递推法、反推法、构造法、矛盾分析法、概率判断法等。

〖例题1〗张、王、李三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工，已知：

（1）张不在甲厂；

（2）王不在乙厂；（3）在甲厂的不是钳工；（4）在乙厂的是车工；（5）王不是电工，这三个人分别在哪个厂？

干什么工作？

【分析与解】此题可用直接法解答，即直接从特殊条件出发，再结合其他条件往下推，直到推出结论为止。

　　由条件（5）可知，王不是电工，那么王必是车工或钳工；由条件

（2）可知，王不在乙厂，那么王必在甲厂或丙厂；又由条件（4）可知，在乙厂的是车工，所以王只能是钳工；又因为甲厂的不是钳工，则王必是丙厂的钳工；张不在甲厂，必在乙厂或丙厂，而王在丙厂，则张必在乙厂，是乙厂的车工，剩下的李是甲厂的电工。

所以，张是乙厂的车工，王是丙厂的钳工，李是甲厂的电工。

〖练习1〗

1.A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一场，并且只赛一场，规定胜者得2分，负者得0分。

现在知道比赛结果是：

A和B并列第一名；C是第三名，D和E并列第四名，求C得多少分？

2.将1、2、3、4、5、6、7、8八个数分成两组，每组4个数，并且两组数之和相等。

从A组拿一个到B组后，B组五个数之和将是A组剩下三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和是A组五个数之和的

。

这八个数如何分成两组？

3.某大学宿舍里A、B、C、D、E、F、G七位同学，其中两位来自哈尔滨，两位来自天津，两位来自海南，一位来自广州，还知道：

（1）D、E来自同一地方

（2）B、G、F不是北方人

　　（3）C没去过哈尔滨

那么A来自什么地方？

〖例题2〗星期一早晨，王老师走进教室，发现教室的坏桌凳都修了。

传达室人员告诉他：

这是班里住校学生中的一个学生做的好事。

于是王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校生找来了解。

（1）许兵说：

桌凳不是我修的。

（2）李平说：

桌凳是张明修的。

　　（3）刘成说：

桌凳是李平修的。

　　（4）张明说：

我没有修过桌凳。

后经了解，四个人中只有一个人说的是真话，请问桌凳是谁修的？

【分析与解】根据“两个互相否定的思想不能同真”可知，条件

（2）和（4）不能同真，必有一假。

假设条件

（2）是真话，则条件（4）为假话，即张明修过桌凳。

又根据题目条件“四人中只有一人说真话”可知，条件

（1）和（3）为假话，则由条件

（1）为假话可推出，桌凳是许兵修的。

这样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中只有一个人做好事相矛盾。

所以前面的假设不成立。

因此条件

（2）是假话，条件（4）是真话，则条件

（1）和（3）为假话。

所以桌凳是许兵修的。

〖练习2〗

1.五一小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名同学的成绩作了如下估计。

（1）丙得第一，乙得第二　

（2）丙得第二，丁得第三　（3）甲得第二，丁得第四比赛结果一公布，果然是这些同学获得前四名。

但以上三种估计，恰好都估计对了一半，错了一半。

你知道他们的名次各是第几名吗？

2.在一次乒乓球比赛前，甲、乙、丙、丁四位选手预测各自的名次。

　甲说：

我绝不会得到最后。

　乙说：

我不能得第一，也不会得最后。

　丙说：

我肯定得第一。

　丁说：

那我是最后一名！

　比赛揭晓后知道，四个人没有并列名次，而且只有一名选手预测错误，请问是谁预测错了。

3.王涛、李明、江兵三人在一起谈话，他们当中一位是校长，一位是教师，一位是学生家长。

现在只知道：

（1）江兵比家长年龄大

（2）王涛和老师不同岁

　　（3）老师比李明年龄小

　　你能确定谁是校长、谁是老师、谁是家长吗？

〖例题3〗下图是同一个标有1、2、3、4、5、6的小正方体的三种不同的摆法。

求三个正方体朝左的一面的数字之积是多少？

（1）　

（2）　（3）

【分析与解】我们可用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所需的结果。

　　先判断图

（1）中3对面的数字。

从三个正方体上看得见的数字可以知道：

3对面的数字不是1、2、4、6。

因此，图

（1）中朝左一面的数字是5。

　　由图

（1）可知，2的对面不是1、3，由图

（2）知，2的对面不是4，因此，2的对面一定是6，则1的对面是4。

所以，图

（1）、

（2）、（3）中的朝左一面的数字分别是5、1、4，则它们的积为：

5×1×4＝20

〖练习3〗

1.甲、乙、丙、丁坐在同一排的1～4号座位上，小红看着他们说：

“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁，甲的座号比丙大。

”问坐在一号座位上的是谁？

2.下图是标有1、2、3、4、5、6的三个正方体是同一个正方体的三种不同摆法。

求三个正方体朝左的那一面的数字和是多少？

3

（1）

（2）（3）

3.某班44人，从A、B、C、D、E五位侯选人中选举班长。

A得票23张，B的选票占第二位，C、D得票相同，E的选票最少，只得了4票，那么B得选票多少张？

〖例题4〗六年级有四个班，每个班都有正、副班长各1名。

平时召开年级班长会议时，各班都只有1人参加。

参加第一次会议的是小马、小刘、小张、小林；参加第二次会议的是小宋、小刘、小朱、小马；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张。

小徐因有病，三次都没有参加，你知道他们之中，哪两个是同班的吗？

【分析与解】此题中参加会议的人员每次都在更换，头绪众多，条件纷陈，确实一时难以寻找到解决问题的突破口。

因此，我们可将所有条件列在一张表格内，借助表格进行分析、推理。

姓名

会议次数

小张

小马

小林

小刘

小朱

小宋

小陈

小徐

第一次

√

√

√

√

第二次

√

√

√

√

第三次

√

√

√

√

由图可以看出，小徐三次都没参加，而小马三次都参加了会议，说明他们两人是同一班的；小张第一、第三次都参加了会议，而小朱只参加了第二次会议，说明他们是同一班的；小刘参加了第一、第二次会议，而小陈只参加了第三次会议，说明他们是同班的。

所以：

小马和小徐；小张和小朱；小刘和小陈；小林和小宋分别是同班的。

〖练习4〗

1.已知张新、李敏、王强三位同学分别在北京、苏州、南京的大学学习化学、地理、物理。

又知：

（1）张新不在北京学习

（2）李敏不在苏州学习

　　（3）在北京学习的同学不学物理

　　（4）在苏州学习的同学是学化学的

　　（5）李敏不学地理

请你判断一下，三位同学各在什么城市学什么？

2.李芳、陈楠和孙海是小学教师，在语文、数学、思品、社会、音乐和美术六门课中，每人各教两门，现在已知：

（1）思品老师和数学老师是邻居

（2）陈楠最年轻

　　（3）李芳老师常和社会还有数学老师谈心

　　（4）社会老师比语文老师大

　　（5）陈楠、音乐老师和语文老师常在一起看足球赛

　　试分析，李芳、陈楠、孙海三位老师每人教哪两门课。

3.某市举行家庭普法知识竞赛，有5个家庭进入决赛（每家2名成员），决赛时进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参加赛。

第一项参赛的吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王，另外刘某因故四次均未参赛。

你知道他们谁和谁是一家吗？

〖例题5〗名来自不同国家的学生一起聚会，请根据他们各自的情况安排在圆桌旁坐下，使相邻的学生都能交谈：

　　A：

中国学生会讲英语

　　B：

法国学生会讲日语

　　C：

日本学生会讲汉语

　　D：

英国学生会讲俄语

　　E：

美国学生会讲俄语

　　F：

俄国学生会讲法语

【分析与解】如果用一个点代表一个学生（如上图），在两点间划一条线段表示两个学生能互相交谈，这样就能够得到一个示意图。

根据图上的箭头就可安排六名学生座位如右图。

　　【专家点评】构图示意法是解决数学竞赛问题的重要方

法，其中常用一笔画解决一些有趣的循环设计问题。

〖练习5〗

1.小华和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛，每两人要比赛一盘。

到现在为止，小华已经比赛了四盘，甲赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘，求丙赛了几盘？

2.某小学举行了一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼的5名学生的成绩作出如下评估：

　　A说：

第二名是D，第三名是B

　　B说：

第二名是C，第四名是E

　　C说：

第一名是E，第五名是A

　　D说：

第三名是C，第四名是A

　　E说：

第二名是B，第五名是D

这五位同学每人都说对了一半。

请分析这五位同学的名次。

3.某次考试考完后，甲、乙、丙、丁四位同学猜测他们的考试成绩。

　　甲说：

我肯定考的最好

　　乙说：

我不会是最差的

　　丙说：

我