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水上行走机器人腿部静力学分析概要
2010年10月第36卷第10期
北京航空航天大学学报
JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics
October 2010Vol.36 No.10
收稿日期:
2009⁃08⁃27
基金项目:
国家自然科学基金资助项目(60875062
作者简介:
王淑慧(1983-,女,河南卫辉人,博士生,ellenwong@.
水上行走机器人腿部静力学分析
王淑慧
(北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100191
吴立成
(中央民族大学信息工程学院,北京100081
摘 要:
水上行走机器人仿生水黾,利用腿部产生的表面张力在液体表面站立和行走.通过静力学分析可计算机器人载重能力,并给出腿部形状设计准则.建立了水上行走机器人支撑腿的静力学模型,分析了表面张力最大值条件即水面打破条件,提出了腿部支撑力及其最大允许入水深度的计算方法.采用该方法,使用Matlab计算得到了几种不同材料的表面张力与接触角关系曲线,计算了几种材料支撑腿的支撑力及其允许入水深度的最大值,并通过与实验数据相比较,验证了计算方法和结果的正确性.
关 键 词:
水上行走机器人;表面张力;静力学中图分类号:
TP242
文献标识码:
A 文章编号:
1001⁃5965(201010⁃1176⁃04
Staticsanalysisonthelegofwaterstriderrobot
WangShuhui(SchoolofAutomationScienceandElectricalEngineering,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100191,China
WuLicheng
(CollegeofInformationEngineering,CentralUniversityforNationalities,Beijing100081,China
Abstract:
Asabionicrobotofthewaterstrider,waterstriderrobotstaysafloatandstrideonwatersur⁃
facereliesonsurfacetensionprovidedbythelegs.Staticsanalysiscouldbeusedtocalculatetherobot’sloadcapacityandthentodefinethecriterionsfordesigningthesupportingleg.Astaticmodelofthesupportinglegwasbuiltfirstandthesurface⁃breakingcondition,namelytheconditionforgettingmaximumsurfacetension,
wasanalyzed.Thenthemethodsforcalculatingthesupportingforceandthemaximumalloweddepththatthelegpushesthewaterwereproposedrespectively.Utilizingtheproposedmodelandmethods,thecurvesbe⁃tweensurfacetensionandcontactangleofseveralkindsofmaterialswerefiguredbyusingoftheMatlabpro⁃gram.Thesupportingforceandthemaximumalloweddepthofthelegwithseveralkindsofmaterialswerecal⁃culated.Thevalidityoftheproposedmodelsandmethodswereverifiedbycomparingthecalculationwithsomeexperimentalvalues.
Keywords:
waterstriderrobot;surfacetension;statics
文献[1]最早介绍了WaterStrider机器人有6条腿,均由Φ0.2mm规格的不锈钢丝制成,其结构简陋,运动能力有限,但作为全世界第1个能够在水面站立和移动的机器人备受关注,其相关理论研究和实验结果在‘Nature“上发表并配发了评论文章[2].文献[3]WaterWalker机器人腿部由8条2英寸长涂有防水塑料的钢丝构成.文献
[4]提出新的电机驱动水面漂浮机器人原型,为提高支撑能力,有12条支撑腿.文献[5]WaterDancer和本文的WaterDancerⅡ,腿部均由Φ0.2mm规格的不锈钢丝制成,其中WaterDancerⅡ采用双电机驱动,自带能源和控制器,可通过红外信号实现遥控转向和调速.
水上行走机器人主要依靠表面张力在水面上
站立和行走,详细分析腿部的受力情况对机器人的设计非常必要.建立水上行走机器人腿部的静态模型,分析计算腿部支撑力大小以及支撑力与接触角关系曲线,对于机器人支撑腿设计以及载重能力分析至关重要.文献[6]只给出了支撑力与接触角关系曲线仿真结果,没有计算支撑力大小.文献[7]只给出计算支撑力大小的实验结果,缺乏必要的理论计算,设计所需要的计算方法和数据都没有阐述.本文建立了水上行走机器人支撑腿的数学模型,根据Young⁃Laplace方程建立了接触面的控制方程,分析了表面张力最大值条件即水面打破条件.提出了腿部支撑力及其最大允许入水深度的计算方法,并进行了仿真分析.
1 支撑腿的数学模型
为分析计算机器人支撑腿与水面接触产生的表面张力,计算机器人的支撑力大小,建立了支撑腿及其与水面接触情况的数学模型.
1.1 问题描述
水上行走机器人为仿生水黾,其支撑腿一般为不锈钢或碳纤维材料的圆截面细丝,与水面接触部分呈直线形状.因此假设支撑腿是刚性的细长圆柱体,与水的接触角θc,不失一般性取单位长度进行分析.支撑腿与水面接触,并将水面下压一定深度,圆柱体中心轴保持水平,由于腿的长度远大于腿的截面直径,可假设圆柱体两端没有复杂的边缘效应,则可以简化为二维求解,如图1.
z=0水面;S1z=0以下,物体与水接触面之上的面积;S2z=0以下,空气与水接触面之上的面积;x0三相接触点的横坐标;z0腿部从水面下降的深度;r圆柱体半径;R1接触面某点的曲率半径;θ接触面某点的倾斜角;θ0三相接触点的θ值;ϕ物体下降角度;γ水的表面张力;p静态水压.
图1 支撑腿模型示意图
物体置于液面且未打破液面时,同时受到液体的表面张力和浮力的作用[8].令Fb和Fs分别为浮力和表面张力产生的支撑力,则物体获得的支撑力为
F=Fb+Fs(1 Fb可以由积分得到,即p在圆柱体和水的接触面上的积分.Fs为γ的垂直分量,可简称为表面张力支撑力.文献[8]证明了Fb和Fs分别等于z=0以下,物体和空气与水的接触面以上部分水的重量,也就是说,Fb和Fs分别与S1和S2成正比,即Fb=∫ϕ0pcosϕ㊃rdϕ=ρgS1= ρg(-2z0rsinϕ+r2ϕ-r2sinϕcosϕ(2
Fs=2γsinθ0=ρgS2(3式中,ρ为水的密度;g为重力加速度.
由Young⁃Laplace方程[9],空气和水的接触面上的某一点处p可表示为
p=γ(1/R1+1/R2(4式中,R2为接触面在该点处的曲率半径.由于腿部与水面接触部分的长度远大于腿的截面直径,腿是直的圆柱体,可知R2=∞,则式(4可以简化为
ρgh(x=-γ1R
1
=-γ
d2
dx2h(x
1+ddxh(x
(
[]232
(5式中,z=h(x为空气和水接触面的曲线方程,由于z<0,方程中出现-”号,其边界条件为
dh
dxx=x0=tanθ0(6
h(∞=0(7式中,x0为水㊁空气和圆柱体的三相交界点的x坐标值,因此有如下关系:
x0=rsinϕ(8
ϕ=π+θ0-θc(9式中,θc为腿部材料与水的接触角.
若已知ϕ值,则由式(8和式(9求出x0和θ0,可由式(3得到Fs.再由式(5~式(7解出h(x,求出z0=h(x0,由式(2可得Fb.因此给定ϕ值,即可计算出F.下文通过对水面打破条件的分析,讨论ϕ值的计算问题.
1.2 最大表面张力支撑力
由图1可见,当腿部压入水面越来越深,即圆柱体沿z方向不断下降时,固液气三相交界点沿着腿部表面不断上移.当腿部两边的固液气三相交界点相遇在腿部顶端(即ϕ=180°时,两边液面相遇,腿部被水淹没,即水面被打破.随着腿部压入水面越深,腿部作用于液体表面的压力越大.当这一压力达到极限,即支撑力取得最大值时,即使腿部两边的液面还未相遇,水面也可能被直接刺破,此时ϕ达到某个临界值.水面打破时ϕ的取值与θc有关,可如图2进行分析.
随着支撑腿从平静水面压入深度的增加,θ0
7711
第10期 王淑慧等:
水上行走机器人腿部静力学分析
从零不断增大,ϕ角亦然.对于θc<90°的材料如图
2a所示,当θ0=θc时,由式(9知ϕ=180°,物体两边液面相遇,水面处于打破前极限状态.θc=90°的材料如图2b所示,当θ0=θc=90°时,由式(9
可知ϕ=180°,物体两边液面相遇,水面处于打破前极限状态.而θc>90°的材料,当θ0=90°时,由式(3可知表面张力支撑力取得最大值,由式(9可知此时ϕ=270°-θc.由于水上行走机器人的腿部为细丝,自身重量和浮力都很小,支撑力主要就是表面张力支撑力[10].因此认为此时F也取得最大值,水面处于打破前的极限状态.
a θc<90°
b θc=90°c θc>90°
图2 水面打破前极限位置示意图
根据上述对水面打破条件的分析,可以定义水面打破时的ϕ值为
ϕmax=
180° θc<90°270°-θc
θc≥{
90°
(10
即ϕ可以在0到ϕmax之间取值.代入式(9可知,对于θc<90°的材料,θ0只能在0到θc之间取值.而对于θc≥90°的材料,可以有θ0=90°.由式(3可求得支撑腿能获得的最大表面张力支撑力为 Fs,max=
2γsinθc θc<90°,θ0=θc
2γ
θc≥90°,θ0={
90°
(11
根据式(11,若已知腿部材料和长度,即可计算出机器人能获得的Fs,max.因此该式可用于机器人支撑能力的估算,并作为支撑腿材料和长度等参数的设计依据.该式也说明,对于θc≥90°的材料,单位长度能获得的Fs,max均为2γ,与θc的具体值无关.
水上行走机器人为仿生水黾,减少水面运动阻力,要求驱动腿在划水时也不能打破水面.为设计驱动腿,还需要分析计算驱动腿不打破水面的最大吃水深度.
2 界面方程及最大入水深度求解
理论上对式(5积分即可求得方程z=h(x.但为求解方便,本文根据其反函数形式x=f(z来求解,即由式(5有
ρgz=-γ
1
R1
=-γd2
dz2
f(z1+d
dz
f(z[
]{}
2
32
(12
对式(12从0到z积分,可以得到
ρgz
2
2γ
=1-df(zdz
1+df(z
d(
z
2
=1-cosθ(13
定义a=2γ/ρg,则有
z=-a1-cosθ(14 在固液气三相交界点处即为
z0=-a1-cosθ0
(15
化简式(13可得df(zdz=z2-a2
z2a2-z2,再积分一
次即可求得空气和水接触面的曲线方程为
x=
a2
arcosh2aæ
èçöø÷-z-2a2-z2+c(16
式中,c为积分常数.利用边界条件式(8和式(15,可解得c为
c=rsinϕ-a2
arcosh2a-zæèçöø÷0+2a
1-z2
02a
2
(17
将式(9代入式(15可得腿部压入水面的深度z0和ϕ之间的关系式为
z0=-a1-cos(ϕ+θc-π
(18
因此给定z0或已知ϕ,即可由式(16~式(18求得气液界面方程,并可由式(2求得Fb.由式(10可知ϕ的取值范围为[0,ϕmax],因此腿部不打破水面的最大入水深度可由式(18求得为
z0,max=
-a1-cosθcθc<90°-a
θc≥{
90°
(19
式(19进一步说明:
对于θc≥90°的材料,z0,max也与θc的具体值无关.
3 仿真计算与分析
本文仿真均取水在常温20℃时的参数:
γ=
0.072N/m,g=9.81m/s2,ρ=9.98×102kg/m3.设腿部为直径0.2mm的无限长圆截面直线形状.
3.1 气液界面求解仿真
针对不同接触角的材料,计算得到水面即将打破,即ϕ接近ϕmax时的气液界面曲线如图3.由图3可知,对于θc>90°的材料,水面打破前空气
8711北京航空航天大学学报
2010年
与水之间的接触面几乎是一样的.仿真验证了本文气液界面方程求解方法及相关分析的有效性
.
图3 不同材料在即将打破水面时的气液界面曲线
3.2 支撑力与允许入水深度计算
若机器人支撑腿采用直径D为0.2mm的不
锈钢丝,不具有疏水性,θc约为60°.为增加Fs,可通过喷漆㊁涂蜡等方法使其成为θc超过90°的防水钢丝.分别对这两种腿部材料计算,各参数值如表1(L为腿长度.
仿真表明采用本文模型和算法,可估算机器人支撑力和腿部最大允许入水深度等参数,作为机器人设计的依据.由表1的计算结果可见,水上行走机器人采用疏水性材料制作腿部,将可以大大提高支撑能力和驱动腿的允许吃水深度.
表1 水上行走机器人钢丝腿部支撑力(L=10mm
腿部材料θc/(°D/mm
z0,max/mm
Fs/
(m㊃NFb/
(m㊃NF/
(m㊃N不锈钢丝600.2-2.701.180.091.27防水钢丝
≈120
0.2
-3.861.44
0.04
1.48
以文献[6]采用的具有良好疏水性的Teflon材料为例,θc为112°,D为0.33mm.Fs越过最大值(θ0>90°时,计算结果见表2.由表2可见,若腿部在取得Fs,max之后继续增加入水深度,Fs,Fb和F都不增反降.这意味着腿部将因支撑力小于
载荷而打破水面下沉,验证了1.2节的假设.
表2 Teflon材料支撑腿ϕ>ϕmax时的支撑力(L=10mm
θc/(°ϕ/(°Fs/(m㊃NFb/(m㊃NF/(m㊃Nz0/mm90
158
1.44
0.06
1.5
3.86
90.1158.11.43990.05621.4963.867921601.4390.0531.4923.995 本文WalkDancerⅡ机器人如图4所示.
图4 WalkDancerⅡ机器人
机器人设计为10条7cm长不锈钢丝支撑腿,由表1数据可计算得F约为70m㊃N,则有效
载荷约为7g.实验中机器人站立和行走状况良好,可见本文计算方法和计算结果的正确性.
4 结 论
本文根据Young⁃Laplace方程对水上行走机器人进行了静力学分析,建立了腿部与水的接触面控制方程,分析了表面张力最大值条件即水面打破条件,提出了腿部支撑力及其最大允许入水深度的计算方法.使用Matlab编程仿真计算了几
种不同材料的表面张力与接触角关系曲线,并对水面打破条件进行了数值验证.计算了几种材料支撑腿的支撑力及其允许入水深度的最大值,并通过与实验数据相比较,验证了本文计算方法和结果的正确性.本文方法和结果可用于指导水上行走机器人腿部设计.
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(编 辑:
刘登敏
9
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水上行走机器人腿部静力学分析
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