函数奇偶性经典讲义---新.doc
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奇偶性部分
Ⅰ复习提问
(一)奇偶函数的定义
奇函数
偶函数
代数定义
恒成立
恒成立
几何定义
图像关于原点对称且
图像关于y轴对称
备注
定义域关于原点对称是判断奇偶函数的前提,函数奇偶性是函数的整体性质。
(二)、函数按奇偶分类:
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数(非奇非偶)
(三)、奇偶函数的性质:
1、奇函数的反函数也是奇函数
2、奇偶函数的加减:
;奇偶函数的乘除:
同偶异奇
3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
4、定义在R上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和
(四)、函数奇偶性的做题方法与步骤。
第一步,判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步,求出的表达式;第三步,
比较的关系
Ⅱ题型与方法归纳
题型与方法
一、判定奇偶性
例1:
判断下列函数的奇偶性
1)2)3)
4)5)
解:
1)的定义域为R,所以原函数为偶函数。
2)的定义域为即,关于原点对称
,所以原函数为奇函数。
3)的定义域为即,关于原点对称,又即
,所以原函数既是奇函数又是偶函数。
4)的定义域为即,定义域不关于原点对称,所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。
5)分段函数的定义域为关于原点对称,
当时,,
当时,,
综上所述,在上总有所以原函数为奇函数。
注意:
在判断分段函数的奇偶性时,要对x在各个区间上分别讨论,应注意由x的取值范围确定应用相应的函数表达式。
练习1:
判断下列函数的奇偶性
1)2)3)
4)5)
二、利用奇偶性求函数解析式:
例2:
设是R上是奇函数,且当时,求在R上的解析式
解:
当时有,设,则,从而有
,是R上是奇函数,
所以,因此所求函数的解析式为
注意:
在求函数的解析式时,当球自变量在不同的区间上是不同表达式时,要用分段函数是形式表示出来。
练习2:
已知为奇函数,当时,,求的表达式。
练习3、已知为奇函数,为偶函数,且,求函数的表达式。
例3:
设函数是定义域R上的偶函数,且图像关于对称,已知时,
求时的表达式。
解:
图像关于对称,,
=
所以时的表达式为=
练习3:
已知函数为奇函数,当时,,求的表达式。
例4:
已知函数且,求的值
解:
令,则
为奇函数,
练习4:
已知函数且,求的值。
例5:
定义在R上的偶函数在区间上单调递增,且有
求的取值范围。
解:
,,且为偶函数,且在区间单调递增,在区间上为减函数,
所以a的取值范围是。
点评:
利用函数的奇偶性及单调性,将函数值之间的大小关系转换为自变量的大小关系,从而应用不等式有关知识求解.
练习5:
定义在上的奇函数为减函数,且,求实数a的取值范围。
练习6:
定义在上的偶函数,当时,为减函数,若成立,求m的取值范围。
三、抽象函数奇偶性的判断
解题方法与步骤:
(1)设/令
(2)求值(3)判断
对任意的,均有,是判断函数奇偶性。
解:
设y=-1,则。
令x=y=-1,,令x=y=1,,
所以,
练习1、已知且,判断函数的奇偶性。
练习2、,,判断函数的奇偶性。
趁热打铁
1、判断下列函数的奇偶性.
(1);
(2);(3);(4)
2、设函数定义在上,证明:
(1)为偶函数;
(2)为奇函数.
3、若函数在区间上是奇函数,则a=()
A.-3或1B.3或-1C.1D.-3
4、已知函数,则它是()
A奇函数B偶函数C即是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数
5.,判断的奇偶性。
温故知新
1.判断下列函数的奇偶性
(5)(6)
2.已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则().
A.B.
C.D.
3.已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为()
A. B. C. D.
4.函数的定义域为R,若与都是奇函数,则()
(A)是偶函数(B)是奇函数
(C)(D)是奇函数
5、已知函数.
(1)求证:
不论为何实数总是为增函数;
(2)确定的值,使为奇函数;
(3)当为奇函数时,求的值域。
6、函数是定义域为R的偶函数,且对任意的,均有成立。
当时,
(1)当时,求的表达式;
(2)若的最大值为,解关于x的不等式。
例1.判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
例1判断函数(x)=3x2,x的奇偶性。
判断函数 的奇偶性。
判断函数的奇偶性。
判断函数 的奇偶性。
判断函数
例2.已知
(1)判断f(x)的奇偶性。
(2)证明f(x)>0.
1.已知奇偶性求值
例.
(1)已知是奇函数,则
(2)若是奇函数,则a=________.
(3)已知函数是偶函数,则a=________
1.判断下列函数的奇偶性:
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)
2.若是偶函数,则的递减区间是
3.已知,且,则等于()
4.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,求的解析式.
5.设为偶函数,是奇函数,且,求、的解析式.
6.函数是奇函数,且当时是增函数,若,求不等式的解集.
7.定义在上的偶函数,当时,为增函数,若成立,求的取值范围.
8.已知函数为偶函数,其定义域是,求的值域
9.已知函数是定义在上的奇函数,且
(1)确定函数的解析式;
(2)用定义证明在上是增函数(3)解不等式.
高考题练习
10.(07广东文3)若函数,则函数在其定义域上是().
A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数
11.(10安徽理4)若是上周期为的奇函数,且满足,则( ).
A. B. C. D.
12.(10广东文3)若函数与的定义域均为,则( ).
A.与均为偶函数 B.为奇函数,为偶函数
C.与均为奇函数 D.为偶函数,为奇函数
13.(07山东理4)设,则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为()
A., B., C., D.,,
14.(08安徽理11)若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有()
A. B.
C. D.
15.(08湖北文6)已知在R上是奇函数,且
()
A.-2B.2C.-98D.98
16.(10山东文5)设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),则( ).
A.B.C.D.
17.(08重庆理6)若定义在R上的函数f(x)满足:
对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是()
(A)f(x)为奇函数 (B)f(x)为偶函数
(C)f(x)+1为奇函数 (D)f(x)+1为偶函数
18.(上海文9)若函数(常数)是偶函数,且它的值域为,则该函数的解析式.
函数的图象关于()对称
A.x轴B.直线y=xC.原点D.y轴
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