高中数学奥赛学案几何变换.docx
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高中数学奥赛学案几何变换
几何变换
一、平移变换
1. 定义设
是一条给定的有向线段,T是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点
变到
,使得
,则T叫做沿有向线段
的平移变换。
记为
,图形
。
2. 主要性质在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为三角形,圆变为圆。
两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。
二、轴对称变换
1. 定义设
是一条给定的直线,
是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点
变到
,使得
与
关于直线
对称,则
叫做以
为对称轴的轴对称变换。
记为
,图形
。
2. 主要性质在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、旋转变换
1. 定义设
是一个定角,O是一个定点,R是平面上的一个变换,它把点O仍变到O(不动点),而把平面图形F上任一点
变到
,使得
,且
,则R叫做绕中心O,旋转角为
的旋转变换。
记为
,图形
。
其中
时,表示
的始边
到终边
的旋转方向为顺时针方向;
时,为逆时针方向。
2.主要性质在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。
四、位似变换
1. 定义设O是一个定点,H是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点
变到
,使得
,则H叫做以O为位似中心,
为位似比的位似变换。
记为
,图形
。
其中
时,
在射线
上,此时的位似变换叫做外位似;
时,
在射线
的反向延长线上,此时的位似变换叫做内位似。
2. 主要性质在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应线段的比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。
例题讲解
1.P是平行四边形
内一点,且
。
求证:
2.“风平三角形”中,
,求证:
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- 高中数学 奥赛学案 几何 变换