人教版七年级数学上册 有理数 知识点归纳含例题.docx
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人教版七年级数学上册 有理数 知识点归纳含例题.docx
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人教版七年级数学上册有理数知识点归纳含例题
1.1正数和负数
比0大的数叫做正数,比0小的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界点。
在正数前面加上符号“-”的数就是负数。
例1、3.2、0.4、25%、
等都是正数;-3.2、-0.4、-25%、-
等都是负数。
正数前面可以加上符号“+”,也可以省略这个符号。
但负数前面的符号“-”不能省略。
例2、13可以写成+13,+13也可以省略“+”号,写成13。
但是-13不能省略“-”号写作13。
0和正数统称为非负数,0和负数统称为非正数。
正数和负数可以分别用来表示相反意义的量。
例3、存入100元记为+100,则取出200元记为-200。
例4、向北走50米记为+50,则向南走70米记为-70。
0不仅可以表示“没有”,还可以表示其它意思。
例5、0是正数和负数的分界。
例6、0℃不代表没有温度,相反,0℃是一个确定的温度。
1.2有理数
正整数、0、负整数统称为整数,即:
整数
正分数、负分数统称为分数,即:
分数
整数和分数统称为有理数。
有理数的分类:
按定义分类按性质分类
有理数
有理数
与小学不同,在初中,如果一个小数能化成分数,那么这个小数也是分数。
例1、因为
,
,
,所以0.2、1.5、
都是分数。
例2、无限不循环小数,如π、1.010010001…等都不是分数。
引入负数之后,奇数和偶数的范围扩大了。
例3、不仅1、3、5、7……是奇数,而且-1、-3、-5、-7……也是奇数。
例4、不仅0、2、4、6、8……是偶数,而且-2、-4、-6、-8……也是偶数。
用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
它满足以下要求:
①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点。
②通常规定直线上从原点向右为正方向,从原点向左为负方向。
在一些特殊情况下,也可以规定直线上从原点向上为正方向,从原点向下为负方向。
例如:
温度计。
③选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,……;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,……
数轴的三要素是:
原点、正方向、单位长度。
数轴上,原点右边的数是正数,原点左边的数是负数。
数轴上,右边的数比左边的数大。
所有有理数都可以用数轴上的点来表示,包括分数或小数也可以用数轴上的点表示。
例5、从原点向右3.5个单位长度的点表示小数3.5。
例6、从原点向左
个单位长度的点表示分数-
。
一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。
只有符号不同的两个数互为相反数。
例7、3和-3互为相反数,a和-a互为相反数。
正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。
在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数。
如果一个数前面已经有“-”号,要求它的相反数,则要添上括号。
例8、-(-6)表示-6的相反数,-(-6)=6。
一个算式里有几个数相加或相减,要求它的相反数,则要把整个算式括起来,再添上“-”号。
例9、3a+b的相反数是-(3a+b)。
例10、4x-6y的相反数是-(4x-6y)。
-(+a)=-a,-(-a)=a,-0=0
在一个数前面加上符号“-”的数不一定是负数。
例11、a可以表示任意数,如果在它前面加上符号“-”,则变成了-a,但-a不一定是负数。
因为当a=0时,则有-0=0,0不是负数。
所以-a不一定是负数。
相反数的几何意义:
在数轴上,到原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数。
这两个数分别在原点的两侧,并且关于原点对称。
如果a是一个正数,那么在数轴上与原点的距离为a的点有两个,它们分别在原点的两侧,关于原点对称,表示为a和-a。
例12、到原点距离为5的点分别表示为5和-5。
一个数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫做它的绝对值,记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。
用字母a表示如下:
①当a>0,|a|=a。
②当a=0,|a|=0。
③当a<0,|a|=-a。
任何一个有理数的绝对值都是非负数,所以说绝对值具有非负性,即|a|≥0。
例13、|3|=3,|-3|=3,|0|=0。
比较有理数大小的方法:
①看数轴,数轴上右边的数比左边的数大。
②比较两个负数时,绝对值大的反而小。
例14、比较-5和-7的大小。
|-5|=5,|-7|=7
因为7>5
所以-7<-5
已知一个数的绝对值,求这个数,可能有两种情况。
例15、已知|a|=5,则a=±5。
绝对值的化简:
①当a≥0,|a|=a
②当a≤0,|a|=-a
1.3有理数的加减法
有理数加法法则:
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
例1、计算(-3)+(-5)
分析:
两数的符号都是“-”号,所以得数的符号是“-”号。
-3的绝对值是3,-5的绝对值是5。
3+5=8
所以(-3)+(-5)=-8。
②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例2、计算(-3)+5
分析:
-3的绝对值是3,5的绝对值是5。
5>3
所以得数的符号是“+”号,“+”号可以省略。
5-3=2
所以(-3)+5=2。
③互为相反数的两个数相加得0。
例3、(-6)+6=0
④一个数与0相加,仍得这个数。
例4、6+0=6,-10+0=-10。
计算有理数的加减法时,要先定符号,再算绝对值。
小学所学的加法运算定律对有理数仍然适用。
加法运算定律:
①加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变。
字母表示:
a+b=b+a
②加法结合律:
三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后面两个数相加,和不变。
字母表示:
a+b+c=a+(b+c)
③如果一个算式中只有加法运算,则加数的顺序可以任意交换。
有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
字母表示:
a-b=a+(-b)
运用有理数减法法则,可以把减法转化为加法,之后就可以用有理数加法法则来计算。
例5、5-8-7
=5+(-8)+(-7)
=(-3)+(-7)
=-10
拆括号法则:
①a+(-b)=a-b
②a-(-b)=a+b
例6、10+(-8)-(-7)
=10-8+7
=2+7
=9
1.4有理数的乘除法
有理数乘法法则:
①正数乘正数,积为正数。
②正数乘负数,积为负数。
③负数乘正数,积为负数。
④负数乘负数,积为正数。
总的来说就是一句话:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
例1、计算3×(-5)
分析:
3和-5异号
所以结果为负数
绝对值相乘:
3×5=15
所以3×(-5)=-15
例2、计算(-4)×(-6)
分析:
-4和-6同号
所以结果为正数
绝对值相乘:
4×6=24
所以(-4)×(-6)=24
计算有理数的加减法和乘法都要先定符号,再确定积的绝对值。
任何数与0相乘,都得0。
要得到一个数的相反数,只要将它乘-1。
乘积是1的两个数互为倒数。
小学所学的乘法运算定律对有理数的乘法仍然适用。
用字母表示乘数时,“×”号可以写为“·”或省略。
例3、a×b可以写为a·b或ab。
乘法运算定律:
①乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
字母表示:
ab=ba
②乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
字母表示:
abc=a(bc)
③如果一个算式中只有乘法运算,那么乘数的位置可以任意交换,积仍然相等。
④乘法分配律:
一个数与两个数的积相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把所得的积相加。
字母表示:
a(b+c)=ab+ac
几个不是0的数相乘,负因数的个数是奇数时,积是负数;负因数的个数是偶数时,积是正数。
简称:
奇负偶正。
几个数相乘,如果至少有一个乘数为0,那么积就为0。
例4、(-723)×(-959)×(-
)×0=0
有理数除法法则:
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
字母表示:
0不能为除数。
从有理数除法法则可以看出:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
运用有理数除法法则,可以除法问题可以转化为乘法问题来解决。
分数可以理解为分子除以分母。
例5、化简:
有理数的混合运算法则:
①如果没有括号,那么按从左往右的顺序来计算,先乘除,后加减。
②如果右括号,那么就要先算括号里面的。
计算有理数的混合运算时,往往要先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求结果。
1.5有理数的乘方
n个相同的因数a相乘,即
,记作
,读作:
a的n次方。
可以读作a的二次方,也可以读作a的平方。
可以读作a的三次方,也可以读作a的立方。
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在
中,a叫做底数,n叫做指数,当
看作a的n次方的结果时,也可以读作:
a的n次幂。
例1、在
中,底数是3,指数是5,
读作“三的五次方”或“3的五次幂”。
一个数可以看作这个数本身的一次方。
指数1通常省略不写。
例2、
,
。
与
是不一样的。
读作:
负a的n次方;
读作:
a的n次方的相反数。
例3、
例4、
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
简称:
奇负偶正。
例5、
,
。
正数的任何次幂都是正数。
0的任何正整数次幂都是0。
有理数的混合运算的顺序:
①先乘方,再乘除,最后加减。
②同级运算,按从左到右的顺序进行。
③如果有括号,那么就要先算括号里面的,按小括号、中括号、大括号依次进行。
把一个数表示成
的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整数),这种记数法叫做科学记数法。
一个能表示原来物体或事件实际数量的数,叫做准确数。
与准确数相近的数,叫做近似数。
例6、“今天全班50人都有出勤”,这里的数字50就是准确数。
例7、“我们学校初一大概有250人”,这里的250就是近似数。
求近似数,一般要用四舍五入法。
四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
精确到0.1,也叫精确到十分位;
精确到0.01,也叫精确到百分位;
精确到0.001,也叫精确到千分位;
……
以此类推
例8、5.372精确到十分位是5.4。
例9、6.738精确到0.01是6.74。
从一个数左边第一个不为0的数字起,到末位数字为止,这些数字都是有效数字。
例10、0.0312004有6个有效数字,分别是:
3、1、2、0、0、4。
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