七年级平行线的判定 最新版带答案.docx
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七年级平行线的判定最新版带答案
平行线的判定
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中,两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说:
“来吧,你也该工作了。
可是我有点担心,你走完三千两百万次以后,恐怕会吃不消的。
”
“天哪!
三千两百万次。
”小钟吃惊不已,“要我做这么大的事?
办不到,办不到!
”另一支旧钟说:
“别听他胡说八道,不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。
”
“天下哪有这么简单的事情?
”小钟将信将疑,“如果这样,我就试试吧。
”小钟很轻松地每秒滴答摆一下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千两百万次。
成功就是这样,把简单的事做到极致,就能成功。
1.如图,已知B,E分别是线段AC,DF上的点,AF交BD于G,交EC于H,∠1=∠2,∠D=∠C,求证:
DF∥AC.
2.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC.判断DE、BF是否平行,并说明理由.
3.如图,已知AD平分∠BAC,且AD⊥BC于D,点E、A、C在同一直线上,∠DAC=∠EFA,延长EF交BC于G,说明为什么EG⊥BC.
4.如图,已知B、C、D三点在同一条直线上,∠B=∠1,2=∠E,根据这些条件你能判断AC∥ED吗?
请说明你的理由.
1.如图,①、②、③的图形中能肯定∠1>∠2的序号是 _________ .
2.如图所示,与∠C构成同旁内角的有 _________ 个.
3.如图,在直线DE与∠O的两边相交,则∠O的同位角是 _________ ,∠8的内错角是 _________ ,∠1的同旁内角是 _________ .
4.观察图中角的位置关系,∠1和∠2是 _________ 角,∠3和∠1是 _________ 角,∠1和∠4是 _________ 角,∠3和∠4是 _________ 角,∠3和∠5是 _________ 角.
5.如图填空.
(1)若ED,BC被AB所截,则∠1与 _________ 是同位角.
(2)若ED,BC被AF所截,则∠3与 _________ 是内错角.
(3)∠1与∠3是AB和AF被 _________ 所截构成的 _________ 角.
(4)∠2与∠4是 _________ 和 _________ 被BC所截构成的 _________ 角.
6.一个四边形的四个内角一共能形成 _________ 对同旁内角.
7.如图所示,同位角一共有 _________ 对,内错角一共有 _________ 对,同
旁内角一共有有 _________ 对.
8.8条直线两两相交,且任3条直线不交于同一点,则共可形成
_________ 对内错角.
9.下列说法:
①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;②相等的角是对顶角;③同角的余角相等;④互补的两个角一定有一个为钝角,另一个角为锐角.⑤已知∠AOB=80°,∠BOC=20°,那么∠AOC=60°.其中正确的有 _________ (填序号)
10.下列说法正确的有(填序号):
_________ .
①同位角相等;
②一条直线有无数条平行线;
③在同一平面内,两条不相交的线段是平行线;
④在同一平面内,如果a∥b,b∥c,则a∥c;
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
11.如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是 _________ .
12.已知a,b,c为平面内三条不同直线,若a⊥b,c⊥b,则a与c的位置关系是 _________ .
13.如图所示,用直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为 _________ .
14.如图所示,当 _________ 时,有CE∥AB成立.(只需要写出一个条件即可)
15.如图,∠1=∠2,要判断AB∥DF,需要增加条件 _________ .
16.两条平行直线被第三条直线所截,则:
①一对同位角的角平分线互相平行;
②一对内错角的角平分线互相平行;
③一对同旁内角的角平分线互相平行;
④一对同旁内角的角平分线互相垂直.
其中正确的结论是 _________ .(注:
请把你认为所有正确的结论的序号都填上)
17.如图是一条街道的两个拐角,∠ABC与∠BCD均为140°,则街道AB与CD的关系是 _________ ,这是因为 _________ .
18.如图所示的方格纸中,每小方格的边长都为1cm.请在方格纸上画图并回答问题.
已知点A.
(1)在点A的正东方向取一点B,使A、B两点间的距离为4cm;
(2)过点A画直线AB的垂线;
(3)在点A的正北方向取一点C,使AC=AB;
(4)以点A为端点,画A点的北偏东45°方向的射线交BC于D点;
(5)过点D画直线AB的平行线交AC于点E;
(6)在线段AB上取一点F,使得AF=3FB,并画射线EF.
(7)写出图中∠ACD的一个同位角:
_________ ;点B到直线AC的距离 _________ ;用数字1在图上标出∠CDE的对顶角.
19.如图所示,指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的,并说出它们是什么角?
∠1和∠2;∠2和∠6;∠6和∠A;∠3和∠5;∠3和∠4;∠4和∠7.
20.如图所示,①∠C与∠D是同位角;②∠A与∠D是内错角;③∠CFB与∠A,∠D都是同位角;④∠D与∠CAB是同位角.你认为哪些判断是对的,哪些是错误的.
21.如图所示,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,图中内错角有多少对?
22.如图所示,同位角一共有 _________ 对,分别是 _________ _________ ;内错角一共有 _________ 对,分别是 _________ ;同旁内角一共有 _________ 对,分别是 _________ . _________ .
23.已知:
如图,∠A=∠F,∠C=∠D.求证:
BD∥CE.
24.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证:
CF∥AB;
(2)求∠DFC的度数.
25.将一副三角尺按如图方式叠在一起,保持三角尺ACD不动,将三角尺BCE的CE边与CA边重合,然后绕点C按顺时针或逆时针.方向任意转动一个角度,当∠ACE(∠ACE<180°)等于多少度时,这两块三角尺各有一条边互相平行,写出∠ACE角度所有可能的值,并画图.
26.已知:
E是AB、CD外一点,∠D=∠B+∠E,求证:
AB∥CD.
27.已知:
如图,AB∥CD,∠ABE=∠DCF,请说明∠E=∠F的理由.
28.如图,已知∠BED=∠B+∠D,求证:
AB∥CD.
29.四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线,
(1)分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系;
(2)选择其中一个图形,证明你得出的结论.
30.如图,某湖上风景区有两个观望点A,C和两个度假村B,D.度假村D在C正西方向,度假村B在C的南偏东30°方向,度假村B到两个观望点的距离都等于2km.
(1)在图中标出A,B,C,D的位置,并求道路CD与CB的夹角;
(2)如果度假村D到C是直公路,长为1km,D到A是环湖路,度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程.求出环湖路的长;
(3)根据题目中的条件,能够判定DC∥AB吗?
若能,请写出判断过程;若不能,请你加上一个条件,判定DC∥AB.
平行线的判定答案
典题探究
1.证明:
∵∠1=∠2,∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠2=∠3,
∴BD∥EC,
∴∠DBC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补);
又∵∠D=∠C,
∵∠DBC+∠D=180°,
∴DF∥AC(同旁内角互补,两直线平行).
2.解:
ED∥BF;证明如下:
∵四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC,
∴∠ADC+∠ABC=2∠ADE+2∠ABF=180°,
∴∠ADE+∠ABF=90°,
又∵∠A=90°,∠ADE+∠AED=90°,
∴∠AED=∠ABF,
∴ED∥BF(同位角相等,两直线平行)
3.解:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵∠DAC=∠EFA,
∴∠BAD=∠DAC=∠EFA,
∴EG∥AD,
∵AD⊥BC,
∴EG⊥BC.
4.解:
∵∠B=∠1,2=∠E,
∴∠BCA=180°﹣∠B﹣∠2,
∠BDE=180°﹣∠E﹣∠1,
∴∠BCA=∠BDE,
∴AC∥ED.
演练方阵
1.解:
①中∠1与∠2为对顶角,∴∠1=∠2;
②中不知道直线的位置关系,无法判断∠1与∠2的大小;
③中根据三角形任意一个外角大于与之不相邻的任意一内角,∴∠1>∠2.
故答案为③.
2.解:
AC与EB、DC相截,与∠C构成同旁内角的有∠EBC;
AC与BD、DC相截,与∠C构成同旁内角的有∠DBC;
DC与BD、BC相截,与∠C构成同旁内角的有∠BDC;共3个.故填3.
3.解:
∠O与∠2在被截线OB和ED的同一方,在截线OA的同侧,∠O与∠5在被截线OA和ED的同一方,在截线OB的同侧,故∠O的同位角是∠2和∠5;
∠8与∠2在被截线OA和OB之间,分别在截线DE的两侧,故∠8与∠2是内错角;
∠1与∠8在被截线OA和OB之间,在截线DE的同旁,故∠1与∠8是同旁内角,∠1与∠O在被截线DE和OB之间,在截线OA的同旁,故∠1与∠O是同旁内角.
故∠O的同位角是∠2和∠5;∠8的内错角是∠2;∠1的同旁内角是∠8和∠O.
4.解:
∵∠1+∠2=180°,
∴∠1和∠2是邻补角,
∠3和∠1是对顶角,∠1和∠4是同位角,∠3和∠4是内错角,∠3和∠5是同旁内角;
故答案为:
邻补,对顶,同位,内错,同旁内角互补.
5.解:
(1)如图:
若ED,BC被AB所截,则∠1与∠2是同位角,
(2)若ED,BC被AF所截,则∠3与∠4是内错角,
(3)∠1与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角,
(4)∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角.
故答案为∠2;∠4;ED,内错;AB,AF,同位.
6.解:
如图,
∴∠A和∠B是同旁内角,∠A和∠D是同旁内角,
∠B和∠C是同旁内角,∠C和∠D是同旁内角;
故答案为:
4.
7.解:
同位角一共有6对,分别是∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9;内错角一共有4对,分别是∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9;同旁内角一共有4对,分别是∠1和∠6,∠1和∠9,∠4和∠7,∠6和∠9.
故答案为:
6,4,4.
8.解:
∵任意三条直线两两相交可组成6对内错角,
8条直线可分成56组,
故共有56×6=336(对)
故答案为:
336.
9.解:
①两直线平行,内错角相等;故本选项错误;
②有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角;故本选项错误;
③根据余角的性质:
等角的余角相等;故本选项正确;
④互补的两角和等于180°,两个角可能都等于90°;故本选项错误;
⑤如图:
∠AOB=80°,∠BOC=20°,那么,∠AOC=100°;故本选项错误;
故答案为:
③.
10.解:
①应是两直线平行,同位角相等,故本小题错误;
②一条直线有无数条平行线,正确;
③因为线段有端点,所以有长短,不相交也不一定平行,故在同一平面内,两条不相交的线段不一定是平行线,故本小题错误;
④在同一平面内,如果a∥b,b∥c,则a∥c,符合平行公理,正确;
⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行,故本小题错误,
故答案为:
②④.
11.解:
两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是内错角.
故答案为:
内错角.
12.解:
∵a⊥b,c⊥b,
∴a∥c,
故答案为:
平行.
13.解:
根据题意,∠1与∠2是三角尺的同一个角,
所以∠1=∠2,
所以,AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
故答案为:
平行.
14.解:
假设CE∥AB,则∠1=∠2.
故答案为:
∠1=∠2.
15.解:
若∠ABD=∠FDB,则AB∥DF.
∵∠1=∠2,
∴当∠CBD=∠EDB时,有∠ABD=∠FDB;或当BC∥DE时可推出∠ABD=∠FDB.
故填∠CBD=∠EDB或BC∥DE.
16.解:
①两直线平行,同位角相等,其角平分线分得的角也相等.根据同位角相等,两直线平行可判断角平分线平行;
②两直线平行,内错角相等,其角平分线分得的角也相等.根据内错角相等,两直线平行可判断角平分线平行;
③显然不对;
④两直线平行,同旁内角互补,其角平分线分得的不同的两角互余,从而推出两条角平分线相交成90°角,即互相垂直.
故正确的结论是①②④.
17.解:
平行.
理由:
∵∠ABC=∠BCD=140°,
∴AB∥CD.(内错角相等,两直线平行)
故答案为:
平行,内错角相等,两直线平行
18.解:
(1)
(2)(3)(4)(5)(6)如图:
(7)由图可知:
∠ACD的一个同位角是∠AEF,点B到直线AC的距离是4cm,∠CDE的对顶角如图.
19.解:
∠1和∠2是直线ED和直线BD被直线AB所截所产生的同位角;
∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线BD所截所产生的内错角;
∠6和∠A是直线AB和直线BD被直线AC所截所产生的同位角;
∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线EC所截所产生的同旁内角;
∠3和∠4是直线ED和直线BC黑直线EC所截产生的内错角;
∠4和∠7是直线BE和直线BC被直线EC所截产生的同旁内角.
20.解:
①∠C与∠D是内错角,故原说法错误;
②∠A与∠D不是内错角,故原说法错误;
③∠CFB与∠A,∠D都是同位角,故原说法正确;
④∠D与∠CAB不是同位角,故原说法错误.
21.解:
图中的内错角有:
∠ABC与∠BCD,∠EBC与∠BCF,∠ABC与∠BCF,∠EBC与∠BCD.共4对.
22.解:
同位角一共有6对,分别是∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9;内错角一共有4对,分别是∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9;同旁内角一共有4对,分别是∠1和∠6,∠1和∠9,∠4和∠7,∠6和∠9.
故答案为:
6,∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9;4,∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9;4,∠1和∠6,∠1和∠9,∠4和∠7,∠6和∠9
23.证明:
∵∠A=∠F,
∴AC∥DF,
∴∠C=∠FEC,
∵∠C=∠D,
∴∠D=∠FEC,
∴BD∥CE.
24.
(1)证明:
∵CF平分∠DCE,
∴∠1=∠2=
∠DCE,
∵∠DCE=90°,
∴∠1=45°,
∵∠3=45°,
∴∠1=∠3,
∴AB∥CF(内错角相等,两直线平行);
(2)∵∠D=30°,∠1=45°,
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°.
25.解:
①当∠ACE=45°时,EB∥AC,
∵∠E=45°,∠ACE=45°,
∴EB∥AC.
②同理,当∠ACE=30°时,AD∥BC.
26.证明:
∵∠D=∠B+∠E(已知),
∠BFD=∠B+∠E(三角形的一个外角等于与它不相留邻的两个内角的和),
∴∠D=∠BFD(等式的性质).
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
27.解:
∵AB∥CD(已知),
∴∠ABC=∠BCD(两直线平行内错角相等),
∵∠ABE=∠DCF(已知),
∴∠EBC=∠FCB,
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行),
∴∠E=∠F(两直线平行内错角相等).
28.证明:
延长BE交CD于F.
∵∠BED是△DEF的外角,
∴∠BED=∠D+∠EFD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和),
又∠BED=∠B+∠D,
∴∠B=∠EFD(等量代换),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
29.解:
(1)图1中AE∥FC;
图2中AE∥FC;
图3中AE⊥FC.
(2)选择图1证明.如图:
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣(∠B+∠D)=360°﹣180°=180°,
又∵AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线,
∴∠1+∠3=
∠BAD+
∠BCD=
(∠BAD+∠BCD)=
×180°=90°.
又∵∠B=90°,
∴∠1+∠5=90°,
∴∠3=∠5,
∴AE∥FC;
选择图2证明,如图,
∵∠B=∠D=90°,
∴∠BAD+∠BCD=360°﹣2×90°=180°,
∴
∠BAD+
∠BCD=90°,
∴∠GAD=∠BCD,
∵AE是∠GAD的角平分线,
∴∠1=
∠GAD=
∠BCD,
同理可得:
∠2=
∠BAD,
∴∠1+
∠BAD=90°,
延长CD交AE于点P,∠ADC=90°,
∴∠1+∠P=90°,
∴∠P=
∠BAD,
即∠P=∠2,
∴AE∥FC(同位角相等,两直线平行);
选择图3证明.如图:
∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°,
又∵∠B=∠D=90°,
∴∠BAD+∠DCB=180°,
∵∠DCB+∠BCE=180°,
∴∠BAD=∠BCE,
∵AE、AF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线,
∴∠1=
∠BAD,∠2=
∠BCE,
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,∠1+∠B+∠4=180°,∠2+∠CMA+∠3=180°,
∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3,
∴∠CMA=∠B=90°,
∴AE⊥CF.
30.解:
(1)如图所示,过C作CM⊥CD交AB与M,则∠DCM=90°,∠MCB=30°,
∴CD与CB的夹角为90°+30°=120°;
(2)环湖路的长=AB+BC﹣CD=3km;
(3)不能判定DC∥AB.
加上的条件可以是:
CA平分∠DCB.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵CA平分∠DCB,
∴∠DCA=∠ACB,
∴∠DCA=∠CAB,
∴DC∥AB.
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