高考数学二轮复习 考前回扣10 概率与统计讲学案.docx
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高考数学二轮复习考前回扣10概率与统计讲学案
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2020高考数学二轮复习考前回扣10概率与统计讲学案
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【20xx年度】精编高考数学二轮复习考前回扣10概率与统计讲学案
1.牢记概念与公式
(1)概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式
P(A)=;
②互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)=P(A)+P(B);
③对立事件的概率计算公式
P()=1-P(A);
④几何概型的概率计算公式
P(A)=.
(2)抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.
①从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,则每个个体被抽到的概率都为;
②分层抽样实际上就是按比例抽样,即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量.
(3)统计中四个数据特征
①众数:
在样本数据中,出现次数最多的那个数据;
②中位数:
在样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数;
③平均数:
样本数据的算术平均数,
即=(x1+x2+…xn);
④方差与标准差
方差:
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
标准差:
s=.
(4)八组公式
①离散型随机变量的分布列的两个性质
(ⅰ)pi≥0(i=1,2,…,n);(ⅱ)p1+p2+…+pn=1.
②期望公式
E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.
③期望的性质
(ⅰ)E(aX+b)=aE(X)+b;
(ⅱ)若X~B(n,p),则E(X)=np;
(ⅲ)若X服从两点分布,则E(X)=p.
④方差公式
D(X)=[x1-E(X)]2·p1+[x2-E(X)]2·p2+…+[xn-E(X)]2·pn,标准差为.
⑤方差的性质
(ⅰ)D(aX+b)=a2D(X);
(ⅱ)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);
(ⅲ)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
⑥独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)=P(A)P(B).
⑦独立重复试验的概率计算公式
Pn(k)=Cpk(1-p)n-k.
⑧条件概率公式
P(B|A)=.
2.活用定理与结论
(1)直方图的三个结论
①小长方形的面积=组距×=频率;
②各小长方形的面积之和等于1;
③小长方形的高=,所有小长方形高的和为.
(2)线性回归方程=x+一定过样本点的中心(,).
(3)利用随机变量K2=来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K2的观测值k越大,说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.
(4)如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:
①P(μ-σ 1.应用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和. 2.正确区别互斥事件与对立事件的关系: 对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3.混淆频率分布条形图和频率分布直方图,误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率,导致样本数据的频率求错. 4.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别 (1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生. (2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB). 5.易忘判定随机变量是否服从二项分布,盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误. 1.某学校有男学生400名,女学生600名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名,女学生60名进行调查,则这种抽样方法是( ) A.抽签法B.随机数法 C.系统抽样法D.分层抽样法 答案 D 解析 总体由男生和女生组成,比例为400∶600=2∶3,所抽取的比例也是2∶3,故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,采用的抽样方法是分层抽样法,故选D. 2.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数,中位数的估计值为( ) A.62,62.5B.65,62 C.65,63.5D.65,65 答案 D 解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数;求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数.最高的矩形为第三个矩形,所以时速的众数为65;前两个矩形的面积为(0.01+0.02)×10=0.3,由于0.5-0.3=0.2,则×10=5,所以中位数为60+5=65.故选D. 3.同时投掷两枚硬币一次,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有1个正面朝上”,“都是反面朝上” B.“至少有1个正面朝上”,“至少有1个反面朝上” C.“恰有1个正面朝上”,“恰有2个正面朝上” D.“至少有1个反面朝上”,“都是反面朝上” 答案 C 解析 同时投掷两枚硬币一次,在A中,“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生,且“至少有1个正面朝上”不发生时,“都是反面朝上”一定发生,故A中两个事件是对立事件;在B中,当两枚硬币恰好一枚正面朝上,一枚反面朝上时,“至少有1个正面朝上”,“至少有1个反面朝上”能同时发生,故B中两个事件不是互斥事件;在C中,“恰有1个正面朝上”,“恰有2个正面朝上”不能同时发生,且其中一个不发生时,另一个有可能发生也有可能不发生,故C中的两个事件是互斥而不对立的两个事件;在D中,当两枚硬币同时反面朝上时,“至少有1个反面朝上”,“都是反面朝上”能同时发生,故D中两个事件不是互斥事件.故选C. 4.采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试,,则所选5名学生的学号可能是( ) A.1,2,3,4,5B.5,26,27,38,49 C.2,4,6,8,10D.5,15,25,35,45 答案 D 解析 采用系统抽样的方法时,即将总体分成均衡的若干部分,分段的间隔要求相等,间隔一般为总体的个数除以样本容量,据此即可得到答案.采用系统抽样间隔为=10,只有D答案中的编号间隔为10.故选D. 5.道路交通法规定: 行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行,绿灯行,红灯停,遇到黄灯时,如已超过停车线须继续行进,某十字路口的交通信号灯设置时间是: 绿灯48秒,红灯47秒,黄灯5秒,小张是个特别守法的人,只有遇到绿灯才通过,则他路过该路口不等待的概率为( ) A.0.95B.0.05 C.0.47D.0.48 答案 D 解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为=0.48. 6.A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A,B两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.B. C.D. 答案 A 解析 在圆上其他位置任取一点B,设圆的半径为R,则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR,其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为·2πR,则弦AB的长度大于等于半径长度的概率P==.故选A. 7.有5张卡片,上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张,那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,2张卡片上的数字之积为偶数有7种,故所求概率P=. 8.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮事件D=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,所以P(D)=P(ABC∪AB∪AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=××+××+××=,故选B. 9.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表 收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得线性回归方程=x+,其中=0.76,=-.据此估计,该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( ) A.11.4万元B.11.8万元 C.12.0万元D.12.2万元 答案 B 解析 由题意知,==10, ==8, ∴=8-0.76×10=0.4, ∴当x=15时,=0.76×15+0.4=11.8(万元). 10.设X~N(1,σ2),其正态分布密度曲线(随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=95.44%)如图所示,且P(X≥3)=0.0228,那么向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( ) A.6038B.6587 C.7028D.7539 答案 B 解析 由题意知,P(0 11.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________. 答案 解析 由题意知,所给图中两阴影部分面积相等, 由ex=e,得x=1,故阴影部分面积为 S=2ʃ(e-ex)dx=2(ex-ex)| =2[e-e-(0-1)]=2. 又该正方形面积为e2,故由几何概型的概率公式可得所求概率为. 12.样本容量为1000的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[6,14)内的频数为________. 答案 680 解析 根据给定的频率分布直方图可知,4×(0.02+0.08+x+0.03+0.03)=1⇒x=0.09,则在[6,14)之间的频率为4×(0.08+0.09)=0.68,所以在[6,14)之间的频数为1000×0.68=680. 13.已知x,y的取值如表所示. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图分析,y与x线性相关,且=0.95x+,则=________. 答案 2.6 解析 根据表中数据得=2,=4.5,又由线性回归方程知,其斜率为0.95,∴截距=4.5-0.95×2=2.6. 14.某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动,具体规则如下: 每人最多可射击3次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0),射击次数为η,若η的期望E(η)>,则p的取值范围是________. 答案 解析 由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1-p)p, P(η=3)=(1-p)2,则E(η)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,解得p>或p<, 又p∈(0,1),所以p∈. 15.某工厂36名工人的年龄数据如下表. 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 (1)按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算 (1)中样本的平均值和方差s2; (3)求这36名工人中年龄在(-s,+s)内的人数所占的百分比. 解 (1)根据系统抽样的方法,抽取容量为9的样本,应分为9组,每组4人. 由题意可知,抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由 (1), 得==40, s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=. (3)由 (2),得=40,s=, ∴-s=36,+s=43, 由表可知,这36名工人中年龄在(-s,+s)内的共有23人, 所占的百分比为×100%≈63.89%. 16.某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下: 两名选手比赛时,每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为,且各局比赛胜负互不影响. (1)求比赛进行4局结束,且乙比甲多得2分的概率; (2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和期望. 解 (1)由题意知,乙每局获胜的概率皆为1-=. 比赛进行4局结束,且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局,3,4局连胜,则P=C····=. (2)由题意知,ξ的取值为2,4,6, 则P(ξ=2)=2+2=, P(ξ=4)=C···2+C···2=, P(ξ=6)=2=, 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 2 4 6 P 则E(ξ)=2×+4×+6×=.
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