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测量专业已知两点求方位角
测量专业已知两点求方位角
计算坐标与坐标方位角的基本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标,控制
点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。
下面介绍计算坐标与坐标
方位角的基本公式,这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。
一、坐标正算和坐标反算公式
1.坐标正算
根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标,这种计算在测量中称为坐标正算。
如图5—5所示,已知A点的坐标为xa、%,A到B的边长和坐标方位角分别为Sab和〉AB,则待定点B的坐标为
Xb二Xa*Xab
yB二yA%
(5—1)
式中Sab
水平边长;
式中・%b
、匚yAB
-一坐标增量。
由图5—
5可知
“Xab=Sabcosab
=yAB=SABsinab
(5—2)
AB坐标方位角
将式(5-2)代入式(5-1),则有
Xb=Xa
COS:
AB
yB=yASABsin:
AB
(5—3)
当A点的坐标Xa、Ya和边长Sab及其坐标方位角■'ab为已知时,就可以用上述公式计算出待定点B的坐标。
式(5—2)是计算坐标增
量的基本公式,式(5—3)是计算坐标的基本公式,称为坐标正算公式。
从图5—5可以看出■■:
Xab是边长Sab在X轴上的投影长度,^Yab是边长Sab在Y轴上的投影长度,边长是有向线段,是在实地由A量到B得到的正值。
而公式中的坐标方位角可以从0。
至到360°变化,根据三角函数定义,坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种
情况,其正负符号取决于坐标方位角所在的象限,如图5—6所示。
从式(5—2)知,由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负,其符号归纳成表5—3。
N
图5-5坐标计算
标增量符号
表5—3坐标增量符号表
坐标方位
所在象限
坐标增量的正负号
角
ZX
(°)
0〜90
I
+
+
90〜180
II
一
+
180〜
皿
一
一
270
IV
+
一
270〜
360
例1已知A点坐标XA=100.00m,yA=300.10m;边长
SAB=100m,方位角:
AB=330°。
求B点的坐标Xb、yB。
解:
根据公式(5—3)有
Xb—XaSabCOS-ab=100100cos330—186.1m
Y^YaSabsin:
ab=300.1100sin330=249.6m
2、坐标反算
由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长,这种计算称为坐标反算
由式(5—1)有
△Xab=Xb-Xa
『AB*B-yA
(5—4)
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。
在图5—5中.-:
xab表示由A点到达B点的纵坐标之差称纵坐标增量;厶yAB表示由A点到B点的横坐标之差称横坐标增量。
坐标增量也有正负两种情况,它们决定于起点和终点坐标值的大小。
在图5—5中如果A点到B点的坐标已知,需要计算AB边的坐
标方位角:
'AB和边长时Sab,
则有
tan:
ab
yB-yA“yABXb-Xa「'Xab
}(5
'Xab'一yAB
SAB__—
COSGabSInaab
—5)
或
公式(5—5)称为坐标反算公式。
应当指出,使用公式(5—5)中第一式计算的角是象限角R,应根据/x、/y的正负号,确定所在象限,再将象限角换算为方位角。
因此公式(5—5)中的第一式还可表示为:
Rab二arctan竺土二arcta竺
XB-XA心Xab
例2.已知xA=300m,
yA=500m,xB=500m,yB=300m,求A、
B二点连线的坐标方位角
二ab和边长Sab。
解:
由公式(5-5)有
300—500
=arctanarctan(—1)
500—300
因为*ab为正、勺AB为负,直线AB位于第四象限。
所以
Rab=NW45
根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得:
:
ab=360-45-315
AB边长为:
ryr\ir\r\
Sab=.(Xb-Xa)(yB-yA)=(500-300)(300-500)二282.8m
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式,应用十分广泛。
在测量计算时,由于公式中各元素的数字较多,测量规范对数字
取位及计算成果作了规定。
例如图根控制点要求边长计算取至毫米;
角度计算取至秒;坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角的推算公式
由公式(5-2)知,计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角
两个要素,其中边长是
在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的,坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。
下面介绍坐标方位角的推算公式。
如图5-7所示,箭头所指的方向为“前进”方向,位于前进方向左侧的观测角称为左观测角,简称左角;位于前进方向右侧的角称为右观测角,简称右角。
1.观测左角时的坐标方位角计算公式
在图5—7与5—8中,已知AB边的方位角为:
-ab,[左为左观测角,需要求得BC边的方位角:
-bc。
[左是外业观测得到的水平角,从图上可以看出已知方位角ab与左观测角2之和有两种情况:
即大于180°或小于180。
。
图5—7中为大于180°的情况,图5—8中为小于180。
的情况。
从图5—7可知,BC边的坐标方位角为
』BC=〉AB-左-180
从图5—8可知,BC边的坐标方位角为
综上所述两式则有
:
前后左-180
(5—6)
式(5-6)是按照边的前进方向,根据后一条边的已知方位角计
算前一条边方位角的基本公式。
公式说明:
导线前一条边的坐标方位
角等于后一条边的坐标方位角加上左观测角,其和大于180°时应减
去180°,小于180°时应加上180°。
2.观测右角时的坐标方位角计算公式
从图5-7或图5-8可以看出
'左=360一1右
将该式代入式(5-6),得
:
前=(:
后-右-180)360
当方位角大于360°时,应减去360°,方向不变。
所以上式变为
:
前「后」右-180
(5—7)
上式说明:
导线中,前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标
方位角减去右观测角,其差大于180°时应减去180°,小于180°时应加上180
使用式(5-6)与(5-7)时,还应注意相应两条边的前进方向必须
致,计算结果大于360°时,则应减去360°,方向不变。
例3图5-9为一条支导线,已知A点的坐标方位角ba=101
28导线A点的左观测角「左=108°32',M点的右观测角[右
=75
试推算坐标方位角:
AM、〉MN
图5—9支导线
解:
由式(5-6)得
:
AM厂BA「左一180
则有:
-AM“0128'10832'-180=30
由式(5-7)得
-:
:
MN=〉AM-'右180
则有:
mn=30•-75:
180=135
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