第五章 气象信息的时空分布.docx
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第五章气象信息的时空分布
第五章气象信息的时空分布
(电子版:
盛艳霞OCR,编辑张学文2007.12-2008.04)
1、气象信息的时空分布
2、马尔科夫链的熵
3、马尔科夫链的信息弥散
4、平稳序列的熵
5、平稳序列的信息弥散
6、预告时效与预告质量的关系问题
7、预告限度问题
第五章气象信息的时空分布
我们知道测得的气温数据含有当地当时大气温度状况的信息.那么它是否也含有l公里之外某地的气温信息?
是否也含有t小时之后(或之前)的气温的信息?
这个信息随空间和时间是如何变化的?
这就是气象信息的时空分布问题。
气象信息的时空分布给了我们一幅动态的图景,它刻划了气象信息的内在结构。
是我们寻找预告因子,研究预告限度问题的基本依据。
这显然是气象信息分析中的重大课题。
这一章中对此作初步分析。
1、气象信息的时空分布
以前我们对气象要素作信息分析时基本上没有涉及时间和空间的问题。
所谓某预告因子含有某预告对象的信息时对此二者在时间上和距离上有多大的间隔没有追究。
也可以说是比较孤立的研究它们。
现在我们要进一步问这个信息随着两者在时间和空间的差落有什么变化,即追究气象信息时空变化的内在结构。
以下我们先对部分计算结果作些分析,以后再从理认上作分析。
下面举的全部连续变量的例子中对信息的计算都用了联合概率分布密度为正态分布这个经常用的假设。
这样利用(1.19),(1.20)式或附录中的表可以很快从相关系数算出信息来。
图5.1乌鲁木齐个等压面是气温和位势高度信息在时间上的分布(1月,单位:
比特)
图5.1和5.2是地居中纬度地区的乌鲁木齐的七个标
准等压面上的气温和位势高度(距平)的信息在时间上的分布图。
这里分析的是1月份和7月份。
用了4年的资料共计算了时间间隔从当天到第14天。
这个计算与以后的计算一样也都认为它们是具有各态历经性质的平稳随机过程。
在图中我们省略了时间间隔为零的信息值。
这主要因为依据第一章介绍,一个变量关于它自己的信息即为其熵值。
这个熵已经在第二章中给出约为3-6比特之间。
它比起时间间隔为1天,2天……,14天之后的信息大得太多。
为制图之便,故第一个点(零点)全部没有绘进去。
图上的信息值的含义就是当日的气温(位势高度)含有多少关于1天,2天,……,14天之后气温(位势高度)的信息。
从图上可以看到相隔1天之后,关于自己的信息已经小于1比特。
2天之后仅100毫巴高度的信息达到0.45比特。
冬季其他变量含的信息都在0.4比特以下。
时间间隔再拉长,都迅速下降而趋于零。
图5.2乌鲁木齐个等压面是气温和位势高度信息在时间上的分布(7月,单位:
比特)
在冬季各标准等压面位势高度的自含信息分布图上反映出700毫巴以下信息随时间衰减的比较快,而更高的一些层次上信息衰减的要慢一些。
而在高层上,寿命长一些的大尺度系统占的成分大一些。
这也说明高层系统比低层的要易于预告一些。
在夏季,位势高度的自含信息在时间上的分布与冬季情况有较大差别。
在对流层中部(700毫巴、500毫巴)于6,11天附近各有一个峰值。
后者一直延伸到100毫巴的平流层下部。
另外300毫巴以上自含信息随时间衰减的比冬季要快的多也是它的一个特点。
冬夏季对流层中气温自含信息的时间分布特征基本上是一致的,不过夏季衰减的略快一些。
另外夏季850毫巴以下似也有6和12天左右的两个峰值。
是否位势高度在700和500毫巴上的两个峰为低层气温的峰值所造成的?
从静力学方程看可能如此。
冬季100毫巴气温曲线的另一特点是它似乎随着时间拉长并不趋于零。
估计这可能是1月份平流层已处于升温阶段造成的。
图5.3另外目前月平均气温含有各地气温信息(比特)的地理分布
以上是分析信息在时间上的分布。
现在再以地面气温为例,分析一下信息在地理上是如何分布的。
为此我们利用第二章的表2.10中新疆各站月气温的相关系数依正态假设算得不同测站之间互相含有多少信息。
并利用它研究此信息与距离是什么关系。
图5.3就是其中的乌鲁木齐1月平均气温含有各地气温的信息的地理分布。
它明显地随着乌鲁木齐相距的距离加大而速迅减少。
在原点乌鲁木齐,这一信息即为月气温熵。
由于天山山脉对天气系统的阻挡作用,位于天山北坡的乌鲁木齐的气温含有天山以南地区的气温信息就很少,一般都在0.5比特之下。
所以信息的等值线就呈现为东西长南北短的弥散椭圆形。
如果地表完全均匀,则有可能使信息在任一方向的衰减有相同的特性,此时等值线即为一组同心圆,而呈现出所谓各向同性的特点。
图5.4a阿勒太7月平均气温含有各地气温信息(比特)的地理分布
为表示出不同原点气温信息在地理上的弥散情况,在图5.4中分别绘出7月份北疆北部的阿尔泰、天山北麓的乌鲁木齐和塔里木盆地南缘和田三个点的月气温在新疆地区的弥散情况。
它们也都反映出山脉对信息弥散的阻挡作用。
图5.4b乌鲁木齐7月平均气温含有各地气温信息(比特)的地理分布
图5.4c和田7月平均气温含有各地气温信息(比特)的地理分布
在前面分析的各要素的信息在时间上的分布都是时间愈近信息愈多,在地理上也是距离愈近信息愈多。
但天气图上的实践又使我们知道通常上游地区今天的环流状况对两叁天后的下游地区天气才有影响。
这就是说甲地今天的环流状况含有两叁天后乙地的天气信息最丰富。
情况是否直的如此?
我们以7月份45°N的纬圈上不同经度的500毫巴每日20时的(北京时)位势高度为例,算一下它含有关于乌鲁木齐日平均气温的信息是如何分布的(乌鲁木齐约位于44°N,88°E处)我们以5年的逐日资料算得各相关系数,也以正态假设进而求出信息量最后绘成图5.5
图5.5不同经度上500毫巴高度含有关于乌鲁木齐气温信息的时间分布(单位:
10-2比特)
在图上信息的等值线呈舌状从左下方的乌鲁木齐当日的原点向右上方向倾斜地伸出去。
它表明在咸海以西地区的500毫巴高度所含的关于乌鲁木齐日气温的信息以7天以后为最丰富(绝对值是不大,但确实有一个峰值)即咸海以西的高度与7天后乌鲁木齐的气温关系最密切。
这个信息最大值随着地理位置的东移而逐步提前,并且绝对值也随之加大。
图上的舌轴则表明了信息在时空上弥散最慢的方向。
这些结果与天气图上的实践经验是完全吻合的。
当我们建立统计预告方程时用到上游地区的资料时到底用多远的地区、多久以前的资料为最好?
显然有了这种分析资料后,选在舌轴上的时空关系为最好。
前面研究的是一个预告因子的现状所提供的信息在时空上的分布。
但是在单站气象预告中用本站资料作预告时我们不仅考虑今天的气压、气温等等要素的状况,要研究它们一共含有关于明天、后天……的某预告对象多少信息。
即全部的气温、气压历史资料共提供多少关于未来的信息。
这个信息又是在时空上如何分布的?
我们对历史掌握的愈多,是否对未来也了解愈多?
这之中定量的信息关系如何?
在用天气图作预告时,我们掌握着几乎各层等压面上的大量资料。
这时预告中所研究的问题就不仅是本站的资料可以提供多少信息,而是各层天气图上的资料一共提供了多少关于未来天气的信息。
这种信息的时空分布也就决定了对多么远的距离之外,多么长的时间之后的气象状况可以了解到什么精度。
这类问题的研究已经包括了典型的单站天气预告问题和天气图方法的预告问题了。
前者是要回答已知全部历史状况时求将来的信息时空分布;后者是已知全部地理区域的状况求将来的信息时空分布。
这比孤立的仅研究一时一地状况提供的信息问题又深入了一大步。
下面介绍的随机过程的熵和信息的理论就为这种研究提供了工具。
2、马尔科夫链的熵
设一马尔科夫链,它可能处的状态有E1,E2,…En共n个。
从状态Ei经一步转移到状态Ej的条件概率转移阵[pij]即为(4.24)式。
现分析一下,当已知现在处于Ei状态经一步转移后结局的不确定性的大小。
现以Hi
(1)表示这个条件熵,而有
(5.1)
现状为E1,E2,…,En时都可以类似地算得相应的条件熵。
故对i为不同值时的Hi
(1)作加权平均即得已知现状时的一般的条件熵H
(1)
(5.2)
H
(1)就是已知一个序列的现状的条件下经一步转移它的结局的不确定性。
这个值常简称为马尔科夫链的熵。
至此我们并没有利用马尔科夫性质,而仅是说这是一个状态为有限个(n个)的序列而已。
有时人们并不问此序列是否有马尔科夫性质,而统称它们为马尔科夫链的熵。
现在研究此马尔科夫链的r+1个截口上取值的复合熵的问题。
依(1.39)式r+1个随机变量的复合熵为
由于这个r+1个截口是一个挨着一个取的,对马尔科夫链来说其条件概率应有
(4.22)
这就是(4.22)式。
有了这些条件概率的关系就使(1.39)式中的条件熵的计算大为简化而成下面的(5.3)式
而我们在前面求得的
即为前一个状态已知时下一个变量取值的条件熵。
故
(5.4)
代入得
(5.5)
另外当然也可以把
看成两个变量X1和
的复合熵,即依(1.33)式有
(1.33)将之与(5.5)合并,可得
(5.6)
此式左侧为已知现状X1时r个其后X的复合熵。
如把它称为r个马尔科夫链的熵
,则有
(5.7)
即已知现状后r个马尔科夫链的复合熵在数值上与r个马尔科夫链的熵
之和是相等的。
在第一章曾求得对于r个彼此独立的随机变量的复合熵为各变量的熵值之和[即(1.38)式]。
现在对于马尔科夫链,可以说得到了形式上相似的公式。
只不过前者是无条件熵,而现在为条件熵而已。
(5.7)式大大简化了对具有马尔科夫性质的这种随机过程的熵值的计算。
3、马尔科夫链的信息弥散
由于马尔科夫链的熵
是已知现状时序列的下一个状态的熵,所以已知现状求其含有下一个状态的信息量I
(1)时则依信息定义为
(5.8)
式中H为无条件熵,它依各状态E1,E2,…,En的出现概率从(1.10)式直接求得。
同前面的作法令pij(k)代表一个马尔科夫链从Ei状态经k步转移到Ei状态的概率,则已知现状时它提供的关于k步后的状态的信息I(k)为
(5.9)
而pij(k)是矩阵[pij(k)]的元素。
对矩阵[pij(k)]可以依(4.31)式从一阶转移阵自乘k次而得。
所以只要有了一阶转移阵即可求得现状含有多少关于k步以后的信息。
对于具有各态历经性质的马尔科夫链来说,当k趋于无穷时有极限定理,即
(4.33)
这样在现状已知时它提供的关于未来无穷多步后的I(∞)信息为
(5.10)
这表明马尔科夫链的现状提供的关于它未来状态的信息随着时间步长加大而下降,最后信息衰减为零。
这样一个马尔科夫链的信息弥散完全可以从它的一阶转移阵计算出来。
下面就以曾用过的乌鲁木齐4月份逐日降水的有无这个马尔科夫链为例,具体计算一下信息弥散。
首先根据第四章给的有无降水概率p(有)、p(无)分别为0.26和0.74依(1.10)式可以算得降水有无熵H为
H=-0.26log0.26-0.74log0.74=0.827比特
依转概率的表4.2(一阶的)即可算马尔科夫链的熵
=-p(有)p(有│有)logp(有│有)
-p(有)p(无│有)logp(无│有)-p(无)p(有│无)logp(有│无)
-p(无)p(无│无)logp(无│无)
=-(0.26)(0.41)log(0.41)-(0.26)(0.59)log(0.59)
-(0.74)(0.21)log(0.21)-(0.74)(0.79)log(0.79)
=0.801比特
这样已知今天的降水有无以后,它提供关于明天的降水状况的信息I
(1)为
I
(1)=H-
=0.827-0.801=0.026比特
这个信息量不大。
如把一阶阵一再自乘,再仿前计算即可求得当日雨晴提供的关于后天,大后天……的雨情信息量I
(2),I(3)……。
现将前5个I值列于表5.1中,表中I(0)即已知现状时对现状熵的减少程度,它就是自含信息,故I(0)=H。
从表中看到这个信息随时间衰减是非常快的。
表5.1降水有无信息随相隔日数的衰减(单位:
比特)
到第二天即从0.827降为0.026,再过一天即减为0.001。
第三天以后在现有精度下已经测不到信息。
即可以认为I(3)已经衰减为零。
它对应于
的极限情况。
表5.1降水有无信息熵随相隔日数的衰减(单位:
比特)
I(0)
I
(1)
I
(2)
I(3)
I(4)
I(5)
0.827
0.026
0.001
0.000
0.000
0.000
对于作为连续变量的马尔科夫过程我们没有专门讨论。
不过在时间序列的自回归的分析中已经指出一阶自回归方程模拟的就是马尔科夫过程。
而这时它的自相关函数是呈指数衰减的。
利用这一点可以导得一般的马尔科夫过程的信息弥散公式。
设研究的马尔科夫过程在每个截口的取值遵守正态分布,如前述它可以用一阶自回归方程来连系前后关系。
马尔科夫过程X(t)的方差Dx与白噪声的方差Da的关系遵守(4.73)式,即
(4.73)
在一阶自回归方程中
故上述方程简化成
(5.11)
仿上一章的作法记
则有
(5.12)
由于X遵守正态分布,所以依(1.20)可以将X的无条件熵写
(5.13)
从一阶回归方程知,当前一时刻X值已知的条件下现时刻X的条件方差即为Da。
而X与a是线性关系。
所以a也是遵守正态分布的。
这样X的条件熵亦应为
(5.14)
以无条件熵H减去条件熵即得已知前一时刻X值时所带来的关于现时X的信息I
(1),即
(5.15)
如果这里自回归方程不是一个时间步长,而是r个步长,则将原来
的变成
。
即可[见(4.77)]。
所以已知现状,它提供的τ时间步长后的信息相应为
(5.16)
这就是马尔科夫过程的信息弥散公式。
当T加大时I将下降。
在T趋于无穷时信息I(t)就趋于零。
这与马尔科夫链的情况是一致的。
当τ→0时I的值趋于无穷大。
对此可以理解为t很小很小时我们几乎可以得到全部观测所得的信息。
当观测手段非常高明时可以从观测中得一全部观测所得的信息。
这当然是理论的结果。
实际上,由于观测不可能无限的准确,所以τ→0的信息值I即与观测对象的熵相等。
信息弥散公式(5.16)表明τ加大I迅速减少。
我们以I和logτ为坐标绘出了(5.16)式的曲线。
从图上可以看到令在τ<T时才能提供较大一些的信息。
τ=T时I=0.1比特。
图5.6马尔科夫过程的信息弥散
对于马尔科夫过程来说,我们不仅看到全部历史知识提供的关于t时刻后的信息与仅仅已知现状时提供的关于t时刻时后的信息相等,而且看到提供的信息是时间间隔t的下降函数。
正因为如此我们才使用弥散一词来描叙之。
这等于说我们关于未来的知识只会随时间的拉长而愈加模糊。
这与气象上为某些人承认的所谓韵律规律是大不相同的。
后者根据现状作不出明天或后天的预告来,但据说竟会对相隔很多天(如半年)之后的天气提供信息。
这种奇怪的信息时间分布本身就使我们对其是否真有这种规律存在大为怀疑。
4、平稳序列的熵
前面求得r个马尔科夫链的复合熵为马尔科夫链熵值的r倍,从而大大简化了复合熵的计算。
对于前后联系比马尔科夫链更紧密一些的随机过程是否也能得到类似的结果?
我们说对于具有各态历经性质的平稳序列也可以得到类似的结果。
现考虑有连贯的n个点组成的一个平稳序列xt,xt+1,…xt+n-1。
每个x的取值是彼此有影响的。
如以p(xt,xt+1,…,xt+n-1)代表n个取值的复合熵概率,依(1.23)式n个点组成的序列的复合熵Hn应为
(5.17)
如果它是平稳的序列,那么这个序列取某n个值的概率就与时间无关。
即复合熵概率不随时间变化。
现再用pn代表序列的前n个值已知时刻序列第n+1个值的条件概率,那么依概率乘法定理有
(5.18)
对p0显然应理解为不了解过去状况下的序列取值的概率,即它是无条件概率。
为了求已知n个x值的条件下,下一个x的条件熵gn,依条件熵公式(1.32)应有
(5.19)
显然g0即为无条件熵。
依(1.35)式,无条件熵不小于条件熵,所以我们有
g0≥g1
g1是仅知过去一个值时下一个序列值的条件熵。
由于条件熵还具有如下性质(此等式的建立,见[4]中的附录)
(5.20)
即条件熵H(X|Y)不小于另一个条件——Z也已知时的条件熵。
这样用于我们现今的场合有
g0≥g1≥g2≥…gn
又由于条件熵不小于零[(1.34)式]故有
g0≥g1≥g2≥…gn≥0(5.21)
这样当n加大时gn愈来愈小,但它又≥0,故必然趋于一个极限H,即
(5.22)
这里H的含义即为:
已知序列的全部过去值时下一个序列值的熵它与马尔科夫链的熵相类似的叫做平稳序列的熵。
这个含义从直观上也容易理解。
如考虑今天的气温则有一个无条件熵g0。
但如昨天气温已知时再问今天的气温熵,则有条件熵g1,它显然不大于g0。
如已知n天以来的气温再求下一天的气温熵gn则熵值又要减少一些。
比及对全部过去气温都已知时再求下一天的气温熵,则这就是这里的H——平稳序列的熵了。
利用(1.39)式于现今的场合直接可得
以n除上式,并令
则等号右侧将趋于H故有
(5.23)
Hn是n个序列值的复合熵,Hn/n即为平均每个序列值的熵而
就是n充分大时平均每个序列值的熵。
所以H也称为熵率。
H即是熵率,也是已知全部历史时一个序列值的熵,所以对r个序列值在已知全部历史值的条件下的复合熵H(r)也有与马尔科夫链类似的等式
H(r)-rH(5.24)
气象上的序列很多,如能处理或平稳序列后,我们再用上式计算序列的熵值。
如果一个平稳随机过程是遵守正态分布的,那么求熵率的问题又可以大为简化。
如上一章所述,此时一个随机过程不仅它的自相关函数可以用为数不多的几项指数和的形式表示,即表示成(4.79)式,而且在等间距的各截口上随机过程的值,当用自回归方程联系起来时它的误差项为一遵守正态分布的白噪声。
同时自回归方程的阶数与自相关函数的指数项的项数相等。
所以一个正态的平稳过程它的过去值已知时,对下一个截口上的序列值的影响完全集中在最近的几个截口上。
如自相关函数只有p项,则只有最近的p个截口值能提供下一截口值的信息。
过早的资料并不提供附加的信息。
这样它的熵率本来表示已知全部过去值时下一个截口上序列值的熵,但它显然等价于已知最近的p个截口上的序列值时下一截口上序列值的条件熵。
而在正态分布下这个条件熵又仅与方差有关。
这就带来计算上的方便。
在(4.73)式中联系了随机过程的方差Dx与自回归后剩余方差Da的关系。
利用(1.20)式即变成无条件熵
与条件熵
的联系。
而依前所述这个条件熵也就是已知全部过去资料时的随机序列的熵率H。
依(4.73)可有
(5.25)
这里r,φ的含义仍同于原(4.73)式时的含义。
这个式子就建立了随机过程的方差Dx以及由随机过程的自相关函数和各截口的间隔大小所决定的各个r,φ值和熵率的关系。
上一章曾举了500毫巴位势场的相关函数并计算了它的自回归方程。
现在我们进一步用它计算一下沿任一方向(我们取自西向东)的位势高度值这一随机过程的熵率。
这里也是用了它遵守正态分布的假设。
在第四章第七节中已知φ1,φ2值从(4.81)式知方差为235。
(5.25)式中所缺的是r1和r2,它们也就是第四章第七节算的两个R值(235×0.81和235×0.57)再除以235。
即为r1=0.81,r2=0.57。
将以上诸值代入(5.25)式即求得熵率H
比特(5.26)
它表示已知西侧各点(每500公里一个点)的500毫巴位势值时下一点的500毫巴位势值,还有多大的不肯定度(即熵)这一计算结果在第二章中曾借用过。
前面求得的平稳序列的熵的概念可以把它再扩展到不同变量序列以及互含信息上去。
设有两个平稳的序列X(t),Y(t)。
依前介绍,不仅可以求得各自的熵率H(X)和H(Y)
(5.27)
同时对于复合序列
也可求得复合的熵率
(5.28)
n表示已知历史上各对X,Y主值时,下一对X,Y取值的复合熵。
自然也可以把n个或n对变量视为一个变量并应用条件熵公式(1.33)而得
(5.29)
此处
表示n个X已知时与它对应的n个Y的条件熵。
将上式以n除再取极限得
(5.30)
所以
也有极限存在。
它自然以H(Y|X)来表示为妥,故有
(5.31)
从而得
(5.32)
根据前面对信息的定义,我们也可用于熵率上,而有
(5.33)
这些式子与第一章的对应公式外貌完全一样。
不过代表了熵率之间的信息关系。
含义是与前者有差别的。
如以X表示本站24小时变压,Y表示24小时变温,且它们都是平稳随机过程。
则Ix(Y)表示在已知变温与变压的全部过去值的条件下,24小时变压现状所提供的关于24小时变温现状的信息量。
5、平稳序列的信息弥散
(5.16)式给出一个马尔科夫过程,在已知它的过去和现状时关于它的未来τ时刻后所提供的信息是如何随着τ的加大而弥散的。
对平稳过程在已知它的过去和现状时它提供的关于未来的信息又是如何弥散的呢?
下面我们对遵守正态分布的平稳过程作些分析。
在第三章曾指出过这种遵守正态分布的变量用线性回归方程作预告并不损失信息。
而正态分布下熵与信息又直接与方差或条件方差有关,所以可以从分析自回归方程作预告时的方差以及平稳序列的原方差得出信息的弥散公式。
对方差为Dx的平稳序列的无条件熵,在正态分布下故(1.20)写成
对p阶自回归方程而言,方差Dx与预告的剩余量(白噪声)a的方差Da之关系按(4.73)式代入得
(5.34)
这样我们就有了一种无条件熵的表达式。
下面再研究条件方差和条件熵的表达式。
如果预告时效为一个时间步长,那么条件方差也就是Da,这样一个时间步长后随机过程能提供的信息I
(1)为
(5.35)
如果不只一个时间步长,而是相隔τ个时间步长,那么信息I(τ)的表达式如何?
在[32]中给出了τ时刻后的条件方差与一个时间步长后的条件方差Da的关系为
(5.36)
这里各个ψ都是一些常数。
它与这个自回归方程(4.63)式的特征多项式(4.67)有如下关系
(5.37)
这是一个无论B取什么值都成立的恒等式。
故这也就要求B的各次方的系数皆为零。
这样不难解得各ψ值(注意上式中第二个括号中是一个无穷级数)。
(5.38)
其中j<0的φj值全部为零。
有了自回归的系数φ可以依上式求得各个ψ,有了ψ又可以求得D(τ),有了条件方差D(τ)按(1.20)又可知条件熵,将无条件熵减去条件熵,依信息定义(1.41)式,即得序列的过去资料对τ时刻后提供的信息I(τ)
(5.39)
这样就得出了较为通用的平稳序列的信息弥散公式。
由于这一类平稳过程的未来值仅与最邻近的p个截口值有关(自相关函数仅为p个衰减的指数项之和)所以过早的资料并不提供附加的信息。
如果取τ=1,则(5.39)式即退化为(5.35)式。
如直接按信息含义以无条件熵与熵率相减也得(5.35)式。
现在以相关函数为(4.81)式,即
(4.81)
的500毫巴位势场为例,沿着自西向东的方向(这样即把它视为一个随机过程了)计算一下已知西侧诸点(以500公里为一个点)的位势值时它们带来了多少关于东侧诸点的信息。
在上一章我们已经求得r1=0.81,r2=0.57,φ1=1.0,φ2=-0.25将这些数字代入(5.38)和(5.39)式即可求得l为不同值时的信息值I(l)(这个随机序列由于不是以时间t为参数,而是以地理长度l为参数的所以用l代替了时间间隔t)。
现将计算结果绘成图5.7。
在图上l=1
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- 第五章 气象信息的时空分布 第五 气象 信息 时空 分布