版高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数二学案 北师大版必修1.docx

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版高中数学第二章函数5简单的幂函数二学案北师大版必修1

§5　简单的幂函数

（二）

学习目标　1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．

预习教材P49－50完成下列问题：

知识点一　函数奇偶性的几何特征

一般地，图像关于y轴对称的函数称为偶　函数，图像关于原点对称的函数称为奇　函数．

【预习评价】

观察下列函数图像，判断函数的奇偶性．

答案　①②关于y轴对称，所以①②对应函数为偶函数．

③④关于原点对称，所以③④对应函数为奇函数．

知识点二　函数的奇偶性

1．奇函数的定义

一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f（x）中，f（x）和f（－x）的绝对值相等，符号相反，即f（－x）＝－f（x）　.反之，满足f（－x）＝－f（x）的函数y＝f（x）一定是奇函数．

注意：

奇函数的定义域一定关于原点　对称．

2．偶函数的定义

一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数．在偶函数f（x）中，f（x）和f（－x）的值相等，即f（x）＝f（－x）；反之，满足f（x）＝f（－x）的函数y＝f（x）一定是偶函数．

注意：

偶函数的定义域一定关于原点　对称．

3．当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性　．

【预习评价】

1．若对定义域内的任意x都有f（－x）＋f（x）＝0或＝－1（f（x）≠0），则对应的函数是不是奇函数？

提示　根据奇函数的定义知，满足这两种对应关系的函数都是奇函数．

2．若函数图像关于原点对称，则该函数是不是奇函数？

提示　根据函数的图像特征，结合奇函数的定义知该函数是奇函数．

知识点三　奇偶性与单调性

一般地，

（1）若奇函数f（x）在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上是增　函数，且有最小值－M　．

（2）若偶函数f（x）在（－∞，0）上是减函数，则f（x）在（0，＋∞）上是增函数　．

（3）知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量．

【预习评价】

1．判断函数y＝x2和y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上的单调性的特点．

提示　y＝x2是偶函数，在（0，＋∞）上是增函数，∴y＝x2在（－∞，0）上是减函数，∴y＝x2在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调性相反．

y＝是奇函数，在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调性相同．

2．结合教材P50例2你认为应怎样判断函数的奇偶性？

提示　第一步：

求定义域并判断是否关于原点对称．

第二步：

若定义域关于原点对称则求f（－x）并判断是否等于f（x）或－f（x）．

第三步：

若f（－x）＝－f（x），则f（x）是奇函数，若f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数，若定义域不关于原点对称或f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x），则f（x）不具有奇偶性．

题型一　函数奇偶性的判断

【例1】　判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝x2＋；

（2）f（x）＝＋；

（3）f（x）＝；

（4）f（x）＝

解　

（1）函数的定义域为[0，＋∞），不关于原点对称，故函数不具有奇偶性．

（2）由⇒x2＝1⇒x＝±1．

所以f（x）＝0，又定义域关于原点对称，

所以f（x）既是奇函数又是偶函数．

（3）函数f（x）＝的定义域为[－1,0）∪（0,1]．

由|x＋2|－2＝x，所以f（x）＝，

因为f（－x）＝－＝－f（x），所以f（x）为奇函数．

（4）分段画出其图像如图所示，

由于图像关于原点对称，所以函数f（x）为奇函数．

规律方法　判断函数奇偶性的两种常用方法

（1）定义法

①确定函数的定义域．

②看定义域是否关于原点对称，

（ⅰ）不对称，则函数不具有奇偶性；

（ⅱ）对称

（2）图像法

画出函数的图像，直接利用图像的对称性判断函数的奇偶性．

【训练1】　判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝x2（x2＋2）；

（2）f（x）＝x|x|．

解　

（1）函数的定义域为R，又因为f（－x）

＝（－x）2[（－x）2＋2]＝x2（x2＋2）＝f（x），所以f（x）为偶函数．

（2）函数的定义域为R，又因为f（－x）＝－x|－x|＝－x|x|＝－f（x），所以f（x）为奇函数．

题型二　利用奇偶性求解析式

【例2】　已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2－2x．

（1）求出函数f（x）在R上的解析式．

（2）画出函数f（x）的图像．

解　

（1）由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0；当x<0时，－x>0，因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－2（－x）]＝－x2－2x，综上，f（x）＝

（2）图像如图．

规律方法　根据函数奇偶性求解析式的三个步骤

（1）设：

要求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间里．

（2）代：

利用已知区间的解析式代入进行推导．

（3）转：

根据f（x）的奇偶性把f（－x）写成－f（x）或f（x），从而解出f（x）．

提醒　利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是x＝0的情况．

【训练2】　

（1）f（x）为R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，求f（x）的解析式．

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x3＋x＋1，求f（x）的解析式．

解　

（1）当x<0时，－x>0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1，由于f（x）是奇函数，

故f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝2x2＋3x－1，

即当x<0时，f（x）＝2x2＋3x－1，

又f（x）为R上的奇函数，故f（0）＝0．

所以f（x）＝

（2）设x>0，则－x<0，

由题意知f（－x）＝（－x）3＋（－x）＋1＝－x3－x＋1．

又因为f（x）为偶函数，

所以f（－x）＝f（x），所以f（x）＝－x3－x＋1，

故f（x）的解析式为f（x）＝

题型三　奇偶函数的图像问题

【例3】　设奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f（x）的图像如图所示，则不等式f（x）<0的解集为________．

解析　由题意，函数f（x）在[－5,0]上的图像与在[0,5]上的图像关于原点对称，画出函数f（x）在[－5,0]上的图像，观察可得f（x）<0的解集为（－2,0）∪（2,5]．

答案　（－2,0）∪（2,5]

规律方法　1.巧用奇偶性作函数图像的步骤

（1）确定函数的奇偶性．

（2）作出函数在[0，＋∞）（或（－∞，0]）上对应的图像．

（3）根据奇（偶）函数关于原点（y轴）对称得出在（－∞，0]（或[0，＋∞））上对应的函数图像．

2．奇偶函数图像的应用类型及处理策略

（1）类型：

利用奇偶函数的图像可以解决求值、比较大小及解不等式问题．

（2）策略：

利用函数的奇偶性作出相应函数的图像，根据图像直接观察．

【训练3】　如图，给出了偶函数y＝f（x）的局部图像，试画出此函数在y轴左侧的图像，并写出f（x）>0的x的取值集合．

解　因为偶函数的图像关于y轴对称，所以可得到此函数在y轴左侧的图像如图所示，

由图像可知当x∈（－∞，0）时，f（x）>0；当x∈（0，＋∞）时，f（x）>0；故使f（x）>0的x的取值集合为（－∞，0）∪（0，＋∞）.

互动

探究

题型四　利用函数奇偶性求值或求函数

【探究1】　已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为________．

解析　因为f（x）是奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－6，所以（－3）2＋a（－3）＝－6，解得a＝5．

答案　5

【探究2】　已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），则f的值是________．

解析　若x≠0，则有f（x＋1）＝f（x），

取x＝－，

则有：

f＝f

＝f＝－f，

因为f（x）是偶函数，则f＝f，

由此得f＝0，

于是，f＝f＝f＝f＝f＝f＝5f＝0．

答案　0

【探究3】　已知函数f（x）＝是奇函数，且f

（2）＝－，则函数f（x）的解析式f（x）＝________．

解析　f（x）的定义域为∪，若f（x）是奇函数，则＝0，得q＝0.故f（x）＝，

又f

（2）＝－，得＝－，得p＝2，因此f（x）＝＝－．

答案　－

规律方法　利用奇偶性求参数的常见类型及策略

（1）定义域含参数：

奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．

（2）解析式含参数：

根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数即可求解．

课堂达标

1．函数f（x）＝x＋（　　）

A．是奇函数，但不是偶函数

B．是偶函数，但不是奇函数

C．既是奇函数，又是偶函数

D．既不是奇函数，又不是偶函数

解析　f（x）＝x＋的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（－x）＝－x－＝－＝－f（x）．所以f（x）为奇函数，但不是偶函数．

答案　A

2．下列函数中，是奇函数的为（　　）

A．y＝x－1B．y＝－2x2

C．y＝x5＋1D．y＝x3

解析　f（－x）＝－x－1≠－（x－1）＝－f（x），

所以y＝x－1不是奇函数，故A不正确．

B：

y＝－2x2是偶函数，故B不正确．

C：

y＝x5＋1是非奇非偶函数，故C不正确．

D：

函数y＝x3定义域为R，且f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），所以y＝x3为奇函数．

答案　D

3．如果定义在区间[2－a,4]上的函数f（x）为偶函数，那么a＝________．

解析　由2－a＝－4，得a＝6．

答案　6

4．已知函数y＝f（x）为奇函数，若f（3）－f

（2）＝1，则f（－2）－f（－3）＝________．

解析　函数y＝f（x）为奇函数，故f（－x）＝－f（x），则f（－2）－f（－3）＝－f

（2）＋f（3）＝1．

答案　1

5．判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝x3＋x；

（2）f（x）＝x2＋1．

解　

（1）对于函数f（x）＝x3＋x，其定义域为R.因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），所以，函数f（x）＝x3＋x为奇函数．

（2）对于函数f（x）＝x2＋1，其定义域为R.因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝f（x），