全国中考数学真题分类汇编 3 整式与因式分解.docx
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全国中考数学真题分类汇编3整式与因式分解
整式与因式分解
考点一、整式的有关概念(3分)
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意:
单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如
,这种表示就是错误的,应写成
。
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如
是6次单项式。
考点二、多项式(11分)
1、多项式
几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数式的值。
注意:
(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。
(2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,“整体”代入。
2、同类项
所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3、去括号法则
(1)括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号。
(2)括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号一起去掉,括号里各项都变号。
4、整式的运算法则
整式的加减法:
(1)去括号;
(2)合并同类项。
整式的乘法:
整式的除法:
注意:
(1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
(2)单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同。
(3)计算时要注意符号问题,多项式的每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号。
(4)多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项的要合并同类项。
(5)公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式或多项式。
(6)
(7)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加,单项式除以多项式是不能这么计算的。
考点三、因式分解(11分)
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
(1)提公因式法:
(2)运用公式法:
(3)分组分解法:
(4)十字相乘法:
3、因式分解的一般步骤:
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式。
(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数:
2项式可以尝试运用公式法分解因式;3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式;4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
一.选择题
1.(2017·山东省滨州市·3分)把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x﹣3)则a,b的值分别是( )
A.a=2,b=3B.a=﹣2,b=﹣3C.a=﹣2,b=3D.a=2,b=﹣3
2.(2017·山东省德州市·3分)下列运算错误的是( )
A.a+2a=3aB.(a2)3=a6C.a2•a3=a5D.a6÷a3=a2
3.(2017·山东省东营市·3分)下列计算正确的是()
A.3a+4b=7abB.(ab3)3=ab6C.(a+2)2=a2+4D.x12÷x6=x6
4.(2017·山东省菏泽市·3分)当1<a<2时,代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值是( )
A.﹣1B.1C.3D.﹣3
5.(2017·山东省济宁市·3分)下列计算正确的是( )
A.x2•x3=x5B.x6+x6=x12C.(x2)3=x5D.x﹣1=x
6.(2017·山东省济宁市·3分)已知x﹣2y=3,那么代数式3﹣2x+4y的值是( )
A.﹣3B.0C.6D.9
7.(2017·重庆市A卷·4分)计算a3a2正确的是( )
A.aB.a5C.a6D.a9
8.(2017·重庆市A卷·4分)若a=2,b=﹣1,则a+2b+3的值为( )
A.﹣1B.3C.6D.5
9.(2017·重庆市B卷·4分)计算(x2y)3的结果是( )
A.x6y3B.x5y3C.x5yD.x2y3
10.(2017·重庆市B卷·4分)若m=﹣2,则代数式m2﹣2m﹣1的值是( )
A.9B.7C.﹣1D.﹣9
11.(2017广西南宁3分)下列运算正确的是( )
A.a2﹣a=aB.ax+ay=axyC.m2•m4=m6D.(y3)2=y5
12.(2017贵州毕节3分)下列运算正确的是( )
A.﹣2(a+b)=﹣2a+2bB.(a2)3=a5C.a3+4a=
a3D.3a2•2a3=6a5
13.(2017海南3分)下列计算中,正确的是( )
A.(a3)4=a12B.a3•a5=a15C.a2+a2=a4D.a6÷a2=a3
14.(2017河北3分)计算正确的是()
A.(-5)0=0B.x2+x3=x5C.(ab2)3=a2b5D.2a2·a-1=2a
15.(2017河北3分)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是()
A.
B.
C.
D.
16.(2017·广西百色·3分)分解因式:
16﹣x2=( )
A.(4﹣x)(4+x)B.(x﹣4)(x+4)C.(8+x)(8﹣x)D.(4﹣x)2
17.(2017·广西桂林·3分)下列计算正确的是( )
A.(xy)3=xy3B.x5÷x5=x
C.3x2•5x3=15x5D.5x2y3+2x2y3=10x4y9
18.(2017·贵州安顺·3分)下列计算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.2a+3b=5abC.a8÷a2=a6D.(a2b)2=a4b
19.(2017·湖北随州·3分)下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.a5÷a2=a3C.(﹣3a)3=﹣9a3D.2x2+3x2=5x4
20.(2017·湖北武汉·3分)下列计算中正确的是()
A.a·a2=a2B.2a·a=2a2C.(2a2)2=2a4D.6a8÷3a2=2a4
21.(2017·湖北武汉·3分)运用乘法公式计算(x+3)2的结果是()
A.x2+9B.x2-6x+9C.x2+6x+9D.x2+3x+9
22.(2017·吉林·2分)计算(﹣a3)2结果正确的是( )
A.a5B.﹣a5C.﹣a6D.a6
23.(2017·吉林·2分)小红要购买珠子串成一条手链,黑色珠子每个a元,白色珠子每个b元,要串成如图所示的手链,小红购买珠子应该花费( )
A.(3a+4b)元B.(4a+3b)元C.4(a+b)元D.3(a+b)元
24.(2017·江西·3分)下列运算正确的是( )
A.a2+a2=a4B.(﹣b2)3=﹣b6C.2x•2x2=2x3D.(m﹣n)2=m2﹣n2
25.(2017·辽宁丹东·3分)下列计算结果正确的是( )
A.a8÷a4=a2B.a2•a3=a6C.(a3)2=a6D.(﹣2a2)3=8a6
26.(2017·四川攀枝花)计算(ab2)3的结果,正确的是( )
A.a3b6B.a3b5C.ab6D.ab5
27.(2017·四川泸州)计算3a2﹣a2的结果是( )
A.4a2B.3a2C.2a2D.3
28.(2017·黑龙江龙东·3分)下列运算中,计算正确的是( )
A.2a•3a=6aB.(3a2)3=27a6
C.a4÷a2=2aD.(a+b)2=a2+ab+b2
29.(2017·湖北黄石·3分)下列运算正确的是( )
A.a3•a2=a6B.a12÷a3=a4C.a3+b3=(a+b)3D.(a3)2=a6
30.(2017·湖北荆门·3分)下列运算正确的是( )
A.a+2a=2a2B.(﹣2ab2)2=4a2b4C.a6÷a3=a2D.(a﹣3)2=a2﹣9
31.(2017·湖北荆州·3分)下列运算正确的是( )
A.m6÷m2=m3B.3m2﹣2m2=m2C.(3m2)3=9m6D.
m•2m2=m2
32.(2017·内蒙古包头·3分)下列计算结果正确的是( )
A.2+
=2
B.
=2C.(﹣2a2)3=﹣6a6D.(a+1)2=a2+1
33.(2017·青海西宁·3分)下列计算正确的是( )
A.2a•3a=6aB.(﹣a3)2=a6C.6a÷2a=3aD.(﹣2a)3=﹣6a3
34.(2017·山东潍坊·3分)将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是( )
A.a2﹣1B.a2+aC.a2+a﹣2D.(a+2)2﹣2(a+2)+1
35.(2017·陕西·3分)下列计算正确的是( )
A.x2+3x2=4x4B.x2y•2x3=2x4yC.(6x2y2)÷(3x)=2x2D.(﹣3x)2=9x2
二、填空题
1.(2017·江西·3分)分解因式:
ax2﹣ay2= .
2.(2017·山东省东营市·3分)分解因式:
a3-16a=_____________.
3.(2017·浙江省绍兴市·5分)分解因式:
a3﹣9a= .
4.(2017·福建龙岩·3分)因式分解:
a2﹣6a+9= .
5.(2017·广西百色·3分)观察下列各式的规律:
(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4
…
可得到(a﹣b)(a2017+a2015b+…+ab2015+b2017)= .
6.(2017·广西桂林·3分)分解因式:
x2﹣36= .
7.(2017·贵州安顺·4分)把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是 .
8.(2017·黑龙江哈尔滨·3分)把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 .
9.(2017广西南宁3分)分解因式:
a2﹣9= .
10.(2017贵州毕节5分)分解因式3m4﹣48= .
11.(2017海南4分)因式分解:
ax﹣ay= .
12.(2017海南4分)某工厂去年的产值是a万元,今年比去年增加10%,今年的产值是 万元.
13.(2017河北3分)若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=______
14.(2017·吉林·3分)分解因式:
3x2﹣x= .
15.(2017·吉林·3分)若x2﹣4x+5=(x﹣2)2+m,则m= .
16.(2017·辽宁丹东·3分)分解因式:
xy2﹣x= .
17.(2017·四川宜宾)分解因式:
ab4﹣4ab3+4ab2= .
18.(2017·四川内江)分解因式:
ax2-ay2=______.
19.(2017·四川南充)如果x2+mx+1=(x+n)2,且m>0,则n的值是 .
20.(2017·四川泸州)分解因式:
2a2+4a+2= .
21.(2017·湖北黄石·3分)因式分解:
x2﹣36= .
22.(2017·湖北荆门·3分)分解因式:
(m+1)(m﹣9)+8m= .
23.(2017·湖北荆州·3分)将二次三项式x2+4x+5化成(x+p)2+q的形式应为 .
24.(2017·内蒙古包头·3分)若2x﹣3y﹣1=0,则5﹣4x+6y的值为 .
25.(2017·青海西宁·2分)因式分解:
4a2+2a= .
26.(2017·青海西宁·2分)已知x2+x﹣5=0,则代数式(x﹣1)2﹣x(x﹣3)+(x+2)(x﹣2)的值为 .
26.(2017·山东潍坊·3分)若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项,则m+n= .
27.(2017·四川眉山·3分)分解因式:
m2﹣9= .
三.解答题
1.(2017·山东省菏泽市·3分)已知4x=3y,求代数式(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2的值.
2.(2017·山东省济宁市·3分)先化简,再求值:
a(a﹣2b)+(a+b)2,其中a=﹣1,b=
.
3.(2017·吉林·5分)先化简,再求值:
(x+2)(x﹣2)+x(4﹣x),其中x=
.
4.(2017·湖北黄石·4分)计算:
(﹣1)2017+2sin60°﹣|﹣
|+π0.
5.(2017·浙江省湖州市)当a=3,b=﹣1时,求下列代数式的值.
6.(2017·重庆市A卷·5分)(a+b)2﹣b(2a+b)
7.计算:
(1)(2017·重庆市B卷·5分)(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)
答案
整式与因式分解
一.选择题
1.(2017·山东省滨州市·3分)把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x﹣3)则a,b的值分别是( )
A.a=2,b=3B.a=﹣2,b=﹣3C.a=﹣2,b=3D.a=2,b=﹣3
【考点】因式分解的应用.
【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出(x+1)(x﹣3)的值,对比系数可以得到a,b的值.
【解答】解:
∵(x+1)(x﹣3)=x•x﹣x•3+1•x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3
∴a=﹣2,b=﹣3.
故选:
B.
【点评】本题考查了多项式的乘法,解题的关键是熟练运用运算法则.
2.(2017·山东省德州市·3分)下列运算错误的是( )
A.a+2a=3aB.(a2)3=a6C.a2•a3=a5D.a6÷a3=a2
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变,幂的乘方底数不变指数相乘,同底数幂的乘法底数不变指数相加,同底数幂的除法底数不变指数相减,可得答案.
【解答】解:
A、合并同类项系数相加字母及指数不变,故A正确;
B、幂的乘方底数不变指数相乘,故B正确;
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故C正确;
D、同底数幂的除法底数不变指数相减,故D错误;
故选:
D.
【点评】本题考查了同底数幂的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.
3.(2017·山东省东营市·3分)下列计算正确的是()
A.3a+4b=7abB.(ab3)3=ab6C.(a+2)2=a2+4D.x12÷x6=x6
【知识点】整式的加减——合并同类项,整式的乘除——积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法
【答案】D.
【解析】3a与4b不是同类项,不能合并,故A选项错误;(ab3)3=ab9,故B选项错误;(a+2)2=a2+4a+4,故C选项错误;x12÷x6=x12-6=x6,故选D.
【点拨】掌握幂的运算性质和乘法公式是解题关键,它们分别是:
1.同底数幂相乘:
am·an=am+n(m,n都是整数);2.幂的乘方(am)n=amn(m,n都是整数);
3.积的乘方:
(ab)n=anbn(n是整数);4.同底数幂相除:
am÷an=am-n(m,n都是整数,a≠0).
5.平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2;6.完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2,
4.(2017·山东省菏泽市·3分)当1<a<2时,代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值是( )
A.﹣1B.1C.3D.﹣3
【考点】代数式求值;绝对值.
【专题】计算题.
【分析】根据a的取值范围,先去绝对值符号,再计算求值.
【解答】解:
当1<a<2时,
|a﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1.
故选:
B.
【点评】此题考查的知识点是代数式求值及绝对值,关键是根据a的取值,先去绝对值符号.
5.(2017·山东省济宁市·3分)下列计算正确的是( )
A.x2•x3=x5B.x6+x6=x12C.(x2)3=x5D.x﹣1=x
【考点】负整数指数幂;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】原式利用同底数幂的乘法,合并同类项,幂的乘方及负整数指数幂法则计算,即可作出判断.
【解答】解:
A、原式=x5,正确;
B、原式=2x6,错误;
C、原式=x6,错误;
D、原式=
,错误,
故选A
6.(2017·山东省济宁市·3分)已知x﹣2y=3,那么代数式3﹣2x+4y的值是( )
A.﹣3B.0C.6D.9
【考点】代数式求值.
【分析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2(x﹣2y),然后代入数值进行计算即可.
【解答】解:
∵x﹣2y=3,
∴3﹣2x+4y=3﹣2(x﹣2y)=3﹣2×3=﹣3;
故选:
A.
7.(2017·重庆市A卷·4分)计算a3a2正确的是( )
A.aB.a5C.a6D.a9
【分析】根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加计算后直接选取答案.
【解答】解:
a3a2=a3+2=a5.
故选B.
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
8.(2017·重庆市A卷·4分)若a=2,b=﹣1,则a+2b+3的值为( )
A.﹣1B.3C.6D.5
【分析】把a与b代入原式计算即可得到结果.
【解答】解:
当a=2,b=﹣1时,原式=2﹣2+3=3,
故选B
【点评】此题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
9.(2017·重庆市B卷·4分)计算(x2y)3的结果是( )
A.x6y3B.x5y3C.x5yD.x2y3
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求解.
【解答】解:
(x2y)3=(x2)3y3=x6y3,
故选A.
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方,熟练掌握运算法则是解题的关键.
10.(2017·重庆市B卷·4分)若m=﹣2,则代数式m2﹣2m﹣1的值是( )
A.9B.7C.﹣1D.﹣9
【考点】代数式求值.
【分析】把m=﹣2代入代数式m2﹣2m﹣1,即可得到结论.
【解答】解:
当m=﹣2时,
原式=(﹣2)2﹣2×(﹣2)﹣1=4+4﹣1=7,
故选B.
【点评】本题考查了代数式求值,也考查了有理数的计算,正确的进行有理数的计算是解题的关键.
11.(2017广西南宁3分)下列运算正确的是( )
A.a2﹣a=aB.ax+ay=axyC.m2•m4=m6D.(y3)2=y5
【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.
【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算,然后选择正确答案.
【解答】解:
A、a2和a不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B、ax和ay不是同类项,不能合并,故本选项错误;
C、m2•m4=m6,计算正确,故本选项正确;
D、(y3)2=y6≠y5,故本选项错误.
故选C.
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识,解答本题的关键在于掌握各知识点的运算法则.
12.(2017贵州毕节3分)下列运算正确的是( )
A.﹣2(a+b)=﹣2a+2bB.(a2)3=a5C.a3+4a=
a3D.3a2•2a3=6a5
【考点】单项式乘单项式;合并同类项;去括号与添括号;幂的乘方与积的乘方.
【分析】A、原式去括号得到结果,即可作出判断;
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断;
C、原式不能合并,错误;
D、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:
A、原式=﹣2a﹣2b,错误;
B、原式=a6,错误;
C、原式不能合并,错误;
D、原式=6a5,正确,
故选D
13.(2017海南3分)下列计算中,正确的是( )
A.(a3)4=a12B.a3•a5=a15C.a2+a2=a4D.a6÷a2=a3
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据合并同类项法则,同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相除,底数不变指数相减,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
A、(a3)4=a3×4=a12,故A正确;
B、a3•a5=a3+5=a8,故B错误;
C、a2+a2=2a2,故C错误;
D、a6÷a2=a6﹣2=a4,故D错误;
故选:
A.
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.
14.(2017河北3分)计算正确的是()
A.(-5)0=0B.x2+x3=x5C.(ab2)3=a2b5D.2a2·a-1=2a
答案:
D
解析:
除0以外的任何数的0次幂都等于1,故A项错误;x2+x3的结果不是指数相加,故B项错误;(ab2)3的结果是括号里的指数和外面的指数都相乘,结果是a3b6,故C项错误;2a2·a-1的结果是2不变,指数相加,正好是2a。
知识点:
x0=0(x≠0);(ambn)p=ampbnp;aman=am+n
15.(2017河北3分)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
解析:
根据题意,3X的倒数比8X的倒数大5,故选B项。
知识点:
倒数
16.(2017·广西百色·3分)分解因式:
16﹣x2=( )
A.(4﹣x)(4+x)B.(x﹣4)(x+4)C.(8+x)(8﹣x)D.(4﹣x)2
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:
16﹣x2=(4﹣x)(4+x).
故选:
A.
17.(2017·广西桂林·3分)下列计算正确的是( )
A.(xy)3=xy3B.x5÷x5=x
C.3x2•5x3=15x5D.5x2y3+2x2y3=10x4y9
【考点】单项式乘单项式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法.
【分析】A、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断;
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断;
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果,即可作出判断;
D、原式合并同类项得到结果,即可作出判断.
【解答】解:
A、原式=x3y3,错误;
B、原式=1,错误;
C、原式=15x5,正确;
D、原式=7x2y3,错误,
故选C
18.(2017·贵州安顺·3分)下列计算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.2a+3b=5abC.a8÷a2=a6D.(a2b)2=a4b
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断;
B、原式不能合并,错误;
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可做出判断;
D、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断.
【
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