离散数学考试题详细答案.docx
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离散数学考试题详细答案
离散数学考试题详细答案
离散数学考试题(后附详细答案)
一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)
1.用命题逻辑把下列命题符号化
a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去看电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家看报”,命题符号化为:
(⌝P⇄Q)∧(P⇄R∨S)
b)我今天进城,除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:
⌝Q→P或⌝P→Q
c)仅当你走,我将留下。
设P表示命题“你走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为:
Q→P
2.用谓词逻辑把下列命题符号化
a)有些实数不是有理数
设R(x)表示“x是实数”,Q(x)表示“x是有理数”,命题符号化为:
∃x(R(x)∧⌝Q(x))或⌝∀x(R(x)→Q(x))
b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。
设R(x)表示“x是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy,命题符号化为:
∀x(R(x)∧⌝E(x,0)→∃y(R(y)∧E(f(x,y),1))))
c)f是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b.
设F(f)表示“f是从A到B的函数”,A(x)表示“x∈A”,B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”,命题符号化为:
F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b)∧E(f(a),b)∧∀c(S(c)∧E(f(a),c)→E(a,b))))
二、简答题(共6道题,共32分)
1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。
(5分)
(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔(⌝P∨⌝Q∨R)↔(P∨⌝Q∨⌝R)
⇔((⌝P∨⌝Q∨R)→(P∨⌝Q∨⌝R))∧((P∨⌝Q∨⌝R)→(⌝P∨⌝Q∨R)).
⇔((P∧Q∧⌝R)∨(P∨⌝Q∨⌝R))∧((⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∨⌝Q∨R))
⇔(P∨⌝Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)这是主合取范式
公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为
(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)
2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分)
a)∀x∃y(x+y=4)
b)∃y∀x(x+y=4)
a)Tb)F
3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。
(4分)
∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))⇔∀x(F(x)→G(x))→(∃yF(y)→∃zG(z))
⇔∀x(F(x)→G(x))→∀y∃z(F(y)→G(z))⇔∃x∀y∃z((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z)))
4.判断下面命题的真假,并说明原因。
(每小题2分,共4分)
a)(A⋃B)-C=(A-B)⋃(A-C)
b)若f是从集合A到集合B的入射函数,则|A|≤|B|
a)真命题。
因为(A⋃B)-C=(A⋃B)⋂~C=(A⋂~C)⋃(B⋂~C)=(A-C)⋃(B-C)
b)真命题。
因为如果f是从集合A到集合B的入射函数,则|ranf|=|A|,且ranf⊆B,故命题成立。
5.设A是有穷集,|A|=5,问(每小题2分,共4分)
a)A上有多少种不同的等价关系?
b)从A到A的不同双射函数有多少个?
a)52b)5!
=120
6.设有偏序集,其哈斯图如图1,求子集B={b,d,e}的最小元,最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界,(5分)
fg
de
bc
a
图1
B的最小元是b,无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.
7.已知有限集S={a1,a2,…,an},N为自然数集合,R为实数集合,求下列集合的基数S;P(S);N,Nn;P(N);R,R×R,{o,1}N(写出即可)(6分)
K[S]=n;K[P(S)]=
;K[N]=ℵ0,K[Nn]=ℵ0,K[P(N)]=ℵ;K[R]=ℵ,K=[R×R]=ℵ,K[{0,1}N]=ℵ
三、证明题(共3小题,共计40分)
1.使用构造性证明,证明下面推理的有效性。
(每小题5分,共10分)
a)A→(B∧C),(E→⌝F)→⌝C,B→(A∧⌝S)⇒B→E
b)∀x(P(x)→⌝Q(x)),∀x(Q(x)∨R(x)),∃x⌝R(x)⇒∃x⌝P(x)
a)证
(1)BP(附加条件)
(2)B→(A∧⌝S)P
(3)A∧⌝ST
(1)
(2)I
(4)AT(3)I
(5)A→(B∧C)P
(6)B∧CT(4)(5)I
(7)CT(6)I
(8)(E→⌝F)→⌝CP
(9)⌝(E→⌝F)T(7)(8)I
(10)E∧FT(9)E
(11)ET(10)I
(12)B→ECP
b)证
(1)∃x⌝R(x)P
(2)⌝R(c)ES
(1)
(3)∀x(Q(x)∨R(x))P
(4)Q(c)∨R(c)US(3)
(5)Q(c)T
(2)(4)I
(6)∀x(P(x)→⌝Q(x))P
(7)P(c)→⌝Q(c)US(6)
(8)⌝P(c)T(5)(7)I
(9)∃x⌝P(x)EG(8)
2.设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A≠∅且B≠∅,关系R满足:
<
试证明:
R是A×B上的等价关系。
(10分)
证任取
任取<
<
任取<>∈R
<>∈R⇒>∈R,故R是传递的。
综上所述R是A×B上的等价关系。
3.用伯恩斯坦定理证明(0,1]和(a,b)等势。
(10分)
证构造函数f:
(0,1]→(a,b),f(x)=
显然f是入射函数
构造函数g:
(a,b)→(0,1],
显然g是入射函数,
故(0,1]和(a,b)等势。
由于
,所以
4.设R是集合A上的等价关系,A的元素个数为n,R作为集合有s个元素,若A关于R的商集A/R有r个元素,证明:
rs≥n2。
(10分)
证设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,…,mr,由于一个划分对应一个等价关系,m1+m2+…+mr=n,
由于
(r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方),所以
,即
四、应用题(10分)
在一个道路上连接有8个城市,分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。
城市之间的直接连接的道路是单向的,有a→b,a→c,b→g,g→b,c→f,f→e,b→d,d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。
解把8个城市作为集合A的元素,即A={a,b,c,d,e,,f,g,h},在A上定义二元关系R,
那么该问题即变为求R的传递闭包。
利用Warshal算法,求得t(R)=
那么从城市x出发能到达的城市为
,
故有
离散数学考试题答案
一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)
1.用命题逻辑把下列命题符号化
a)设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去看电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家看报”,命题符号化为:
(⌝P⇄Q)∧(P⇄R∨S)
b)设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:
⌝Q→P或⌝P→Q
c)设P表示命题“你走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为:
Q→P
2.用谓词逻辑把下列命题符号化
a)设R(x)表示“x是实数”,Q(x)表示“x是有理数”,命题符号化为:
∃x(R(x)∧⌝Q(x))或⌝∀x(R(x)→Q(x))
b)设R(x)表示“x是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy,命题符号化为:
∀x(R(x)∧⌝E(x,0)→∃y(R(y)∧E(f(x,y),1))))
c)设F(f)表示“f是从A到B的函数”,A(x)表示“x∈A”,B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”,命题符号化为:
F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b)∧E(f(a),b)∧∀c(S(c)∧E(f(a),c)→E(a,b))))
二、简答题(共6道题,共32分)
1.(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔(⌝P∨⌝Q∨R)↔(P∨⌝Q∨⌝R)
⇔((⌝P∨⌝Q∨R)→(P∨⌝Q∨⌝R))∧((P∨⌝Q∨⌝R)→(⌝P∨⌝Q∨R)).
⇔((P∧Q∧⌝R)∨(P∨⌝Q∨⌝R))∧((⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∨⌝Q∨R))
⇔(P∨⌝Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)这是主合取范式
公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为
(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)
2.a)Tb)F
3.∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))⇔∀x(F(x)→G(x))→(∃yF(y)→∃zG(z))
⇔∀x(F(x)→G(x))→∀y∃z(F(y)→G(z))⇔∃x∀y∃z((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z)))
4.a)真命题。
因为(A⋃B)-C=(A⋃B)⋂~C=(A⋂~C)⋃(B⋂~C)=(A-C)⋃(B-C)
b)真命题。
因为如果f是从集合A到集合B的入射函数,则|ranf|=|A|,且ranf⊆B,故命题成立。
5.a)52b)5!
=120
6.B的最小元是b,无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.
7.K[S]=n;K[P(S)]=
;K[N]=ℵ0,K[Nn]=ℵ0,K[P(N)]=ℵ;K[R]=ℵ,K=[R×R]=ℵ,K[{0,1}N]=ℵ
三、证明题(共3小题,共计40分)
1.a)证
(1)BP(附加条件)
(2)B→(A∧⌝S)P
(3)A∧⌝ST
(1)
(2)I
(4)AT(3)I
(5)A→(B∧C)P
(6)B∧CT(4)(5)I
(7)CT(6)I
(8)(E→⌝F)→⌝CP
(9)⌝(E→⌝F)T(7)(8)I
(10)E∧FT(9)E
(11)ET(10)I
(12)B→ECP
b)证
(1)∃x⌝R(x)P
(2)⌝R(c)ES
(1)
(3)∀x(Q(x)∨R(x))P
(4)Q(c)∨R(c)US(3)
(5)Q(c)T
(2)(4)I
(6)∀x(P(x)→⌝Q(x))P
(7)P(c)→⌝Q(c)US(6)
(8)⌝P(c)T(5)(7)I
(9)∃x⌝P(x)EG(8)
2.证任取
任取<
<
任取<>∈R
<>∈R⇒>∈R,故R是传递的。
综上所述R是A×B上的等价关系。
3.证构造函数f:
(0,1]→(a,b),f(x)=
显然f是入射函数
构造函数g:
(a,b)→(0,1],
显然g是入射函数,
故(0,1]和(a,b)等势。
由于
,所以
4.证设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,…,mr,由于一个划分对应一个等价关系,m1+m2+…+mr=n,
由于
(r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方),所以
,即
四、应用题(10分)
解把8个城市作为集合A的元素,即A={a,b,c,d,e,,f,g,h},在A上定义二元关系R,
那么该问题即变为求R的传递闭包。
利用Warshal算法,求得t(R)=
那么从城市x出发能到达的城市为
,
故有
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