初二奥数题及答案.docx
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初二奥数题及答案.docx
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初二奥数题及答案初二奥数题及答案初二奥数题及答案初二数学奥数1、如图,梯形ABCD中,ADBC,DEEC,EFAB交BC于点F,EFEC,连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若AD1,BC3,DC,试判断DCF的形状;(3)在条件
(2)下,射线BC上是否存在一点P,使PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿ABC向终点C运动,连接DM交AC于点N.
(1)如图251,当点M在AB边上时,连接BN.求证:
ABNADN;若ABC=60,AM=4,求点M到AD的距离;
(2)如图252,若ABC=90,记点M运动所经过的路程为x(6x12)试问:
x为何值时,ADN为等腰三角形.3、对于点O、M,点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N,使OMON,且OMON,这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”正方形ABCD和点P,P点关于A左转弯运动到P1,P1关于B左转弯运动到P2,P2关于C左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4,P4关于A左转弯运动到P5,
(1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置;
(2)连接P1A、P1B,判断ABP1与ADP之间有怎样的关系?
并说明理由。
(3)以D为原点、直线AD为轴建立直角坐标系,并且已知点B在第二象限,A、P两点的坐标为(0,4)、(1,1),请你推断:
P4、P2009、P2010三点的坐标4、如图1和2,在2020的等距网格(每格的宽和高均是1个单位长)中,RtABC从点A与点M重合的位置开始,以每秒1个单位长的速度先向下平移,当BC边与网的底部重合时,继续同样的速度向右平移,当点C与点P重合时,RtABC停止移动.设运动时间为x秒,QAC的面积为y.
(1)如图1,当RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时,请你在网格中画出RtA1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;
(2)如图2,在RtABC向下平移的过程中,请你求出y与x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取得最大值和最小值最大值和最小值分别是多少(3)在RtABC向右平移的过程中,请你说明当x取何值时,y取得最大值和最小值最大值和最值分别是多少为什么5、如图,ABC中,AB=AC,B、C的平分线交于O点,过O点作EFBC交AB、AC于E、F
(1)图中有几个等腰三角形?
猜想:
EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由
(2)如图,若ABAC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗如果有,分别指出它们在第
(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗(3)如图,若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OEBC交AB于E,交AC于F这时图中还有等腰三角形吗EF与BE、CF关系又如何说明你的理由。
6、已知,如图,ABC中,BAC=90,AB=AC,D为AC上一点,且BDC=124,延长BA到点E,使AE=AD,BD的延长线交CE于点F,求E的度数。
7、如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将一三角尺的直角顶点放在点O处,让其绕点O旋转,三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。
通过观察或测量OE,OF的长度,你发现了什么?
试说明理由。
1、解:
(1)证明:
EF=EC,EFC=ECF,EFAB,B=EFC,B=ECF,梯形ABCD是等腰梯形;
(2)DCF是等腰直角三角形,证明:
DE=EC,EF=EC,EF=CD,CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),梯形ABCD是等腰梯形,CF=(BC-AD)=1,DC=,由勾股定理得:
DF=1,DCF是等腰直角三角形;(3)共四种情况:
PB=1,PB=2,PB=3-,PB=3+2、证明:
(1)四边形ABCD是菱形,AB=AD,1=2又AN=AN,ABNADN解:
作MHDA交DA的延长线于点H由ADBC,得MAH=ABC=60在RtAMH中,MH=AMsin60=4sin60=2点M到AD的距离为2AH=2DH=6+2=8
(2)解:
ABC=90,菱形ABCD是正方形CAD=45下面分三种情形:
()若ND=NA,则ADN=NAD=45此时,点M恰好与点B重合,得x=6;()若DN=DA,则DNA=DAN=45此时,点M恰好与点C重合,得x=12;()若AN=AD=6,则1=2ADBC,1=4,又2=3,3=4CM=CNAC=62CM=CN=AC-AN=62-6故x=12-CM=12-(62-6)=18-62综上所述:
当x=6或12或18-62时,ADN是等腰三角形。
3、解:
(1)用直尺和圆规作图,作图痕迹清晰;
(2)ABP1ADP,且ABP1可看成是由ADP绕点A顺时针旋转90而得理由如下:
在ABP1和ADP中,由题意:
AB=AD,AP=AP1,PAD=P1AB,ABP1ADP,又ABP1和ADP有公共顶点A,且PAP1=90,ABP1可看成是由ADP绕点A顺时针旋转90而得;(3)点P(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到P1(-3,3),点P1(-3,3)关于点B(-4,4)左转弯运动到点P2(-5,3),点P2(-5,3)关于点C(-4,0)左转弯运动到点P3(-1,1),点P3(-1,1)关于点D(0,0)左转弯运动到点P4(1,1),点P4(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到点P5(-3,3),点P5与点P1重合,点P6与点P2重合,点P2009的坐标为(-3,3)点P2010的坐标为(-5,3)4、解:
(1)如图1,A2B2C2是A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;
(2)当ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时(如图2),则有:
MA=x,MB=x+4,MQ=20,y=S梯形QMBC-SAMQ-SABC=4+20)(x+4)-20x-44=2x+40(0x16)由一次函数的性质可知:
当x=0时,y取得最小值,且y最小=40,当x=16时,y取得最大值,且y最大=216+40=72;(3)解法一:
当ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,此时16x32,PB=20-(x-16)=36-x,PC=PB-4=32-x,y=S梯形BAQP-SCPQ-SABC=(4+20)(36-x)-20(32-x)-44=-2x+104(16x32)由一次函数的性质可知:
当x=32时,y取得最小值,且y最小=-232+104=40;当x=16时,y取得最大值,且y最大=-216+104=72解法二:
在ABC自左向右平移的过程中,QAC在每一时刻的位置都对应着
(2)中QAC某一时刻的位置,使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称因此,根据轴对称的性质,只需考查ABC在自上至下平移过程中QAC面积的变化情况,便可以知道ABC在自左向右平移过程中QAC面积的变化情况当x=16时,y取得最大值,且y最大=72,当x=32时,y取得最小值,且y最小=405、解:
(1)图中有5个等腰三角形,EF=BE+CF,BEOCFO,且这两个三角形均为等腰三角形,可得EF=EO+FO=BE+CF;
(2)还有两个等腰三角形,为BEO、CFO,如下图所示:
EFBC,2=3,又1=2,1=3,BEO为等腰三角形,在CFO中,同理可证EF=BE+CF存在(3)有等腰三角形:
BEO、CFO,此时EF=BE-CF,如下图所示:
OEBC,5=6,又4=5,4=6,BEO是等腰三角形,在CFO中,同理可证CFO是等腰三角形,此时EF=BE-CF,6、解:
在ABD和ACE中,AB=AC,DAB=CAE=90AD=AE,ABDACE(SAS),E=ADBADB=180-BDC=180-124=56,E=567、解:
OE=OF证明:
正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,OA=OB,OAB=OBE=45,ACBDAOF+FOB=EOB+FOB=90,AOF=EOB在AOF和BOE中OAB=OBE,OA=OB,AOF=EOB,AOFBOE(ASA)OE=OF
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