精选线性代数 期中考试 试题+答案.docx
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精选线性代数期中考试试题+答案
一、填空题(共30分,每填对一空得3分)
1、函数
在点
处沿方向
有最大方向导数,最大方向导数等于
.
2、设
,则
,
.
3、函数
由方程
确定;则
,
.
4、微分方程
的通解为
;
的通解为
.
5、设函数
连续,
,
其中D由直线
,
和
所围,则
,
.
二、单项选择题(共20分,每题4分)
1、设函数
的全微分
,则点
(D).
(A)不是
的连续点;
(B)不是
的极值点;
(C)是
的极大值点;
(D)是
的极小值点.
2、设函数
,则(B).
(A)
存在,
不存在;
(B)
不存在,
存在;
(C)
和
都存在;
(D)
和
都不存在.
3、设积分域
:
,
,
,
,
则(B).
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D)
.
4、设函数
连续,
,则
等于(D).
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D)
.
5、函数
在点
处可微的一个充分条件是(D).
(A)
;
(B)
;
(C)
且
;
(D)
.
三、(10分)求微分方程
通解.
解特征方程
,特征根
;
------2分
对应的齐次方程的通解
-----5分
设原方程的特解
并代入原方程,解得:
-----9分
原方程的通解:
-----10分
四、(10分)求曲线L:
在点
处的切线和法平面方程.
解对x求导,得
在点
处,
,得
,
------6分
切线方程:
-----8分
法平面方程:
-----10分
五、(10分)计算二重积分
,其中
:
.
解
(奇偶性+对称性)-------2分
(轮换对称性)-------4分
------10分
六、(10分)在曲面S:
上求距离平面
的最近点、最远点.
解点
到平面的距离
,---2分
设
------2分
令
------6分
解得最近点
,最远点
-----10分
六、(10分)在曲面S:
上求距离平面
:
的最近点、最远点.
解令
椭球面S过
切平面方程
令
,有:
,
(1)
又:
,
(2)
解得最近点
,最远点
定理设
,而
为实二次曲面
若Ax0+By0+Cz0+G,
Bx0+Dy0+Ez0+H,
Cx0+Ey0+Fz0+I,
不全为零,P0称为S的寻常点.则二次曲面S在
处的切平面方程为:
七、(10分)设函数
在
内二阶连续可微,
,
,且
满足
,求
.
解令
,
则
,
;
,
.--4分
代入原方程并化简,得
,即
,------5分
从而
。
由
,得
,故:
。
,
再由
,得
,
所以
.------10分
(注:
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