八年级数学上册勾股定理单元综合测试题含答案解析.docx
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八年级数学上册勾股定理单元综合测试题含答案解析.docx
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八年级数学上册勾股定理单元综合测试题含答案解析
第1章勾股定理
一、填空:
(每空4分,共计28分)
1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方为__________.
2.求如图中直角三角形中未知的长度:
b=__________,c=__________.
3.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为__________cm2.
4.小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中,他能放进去吗?
答:
__________(填“能”、或“不能”)
5.已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为__________.
6.如图,四边形ABCD中,CD∥AB,AD⊥DC,DC=5,CB=15,AB=17.则四边形ABCD的面积为__________.
7.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为__________dm.
二、选择题(每题4分,共28分)
8.Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为()
A.10cmB.3cmC.4cmD.5cm
9.观察下列几组数据:
(1)8,15,17;
(2)7,12,15;(3)12,15,20;(4)7,24,25.其中能作为直角三角形三边长的有()组.
A.1B.2C.3D.4
10.如图,正方形ABCD的边长为1,则正方形ACEF的面积为()
A.2B.3C.4D.5
11.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是()
A.12米B.13米C.14米D.15米
12.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是()
A.a:
b:
c=3:
4:
5B.∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3
C.a2:
b2:
c2=1:
2:
3D.a2:
b2:
c2=3:
4:
5
13.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为()
A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm
14.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.以上答案都不对
三、解答题:
(每题11分,共计44分)
15.一棵树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离树根底部12米处,求树折断之前的高度?
(自己画图并解答)
16.小东与哥哥同时从家中出发,小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去,哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去,半小时后,小东距哥哥多远?
17.如图所示,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°;
(1)求BD的长;
(2)求四边形ABCD的面积.
18.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AB=6cm,BC=8cm,现将直角边BC沿直线BD折叠,使点C落在点E处,求三角形BDF的面积是多少?
四、附加题
19.如图所示的一块地,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.
20.如图,△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.
(1)如图1,试说明BE2+CF2=EF2;
(2)如图2,若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.
北师大新版八年级上册《第1章勾股定理》2015年单元测试卷(广东省深圳市观澜二中)
一、填空:
(每空4分,共计28分)
1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方为7或25.
【考点】勾股定理.
【分析】已知的这两条边可以为直角边,也可以是一条直角边一条斜边,从而分两种情况进行讨论解答.
【解答】解:
分两种情况:
当3、4都为直角边时,第三边长的平方=32+42=25;
当3为直角边,4为斜边时,第三边长的平方=42﹣32=7.
故答案为:
7或25.
【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
2.求如图中直角三角形中未知的长度:
b=12,c=10.
【考点】勾股定理.
【分析】根据勾股定理进行计算即可.
【解答】解:
b=
=12;
c=
=10,
故答案为:
12;10.
【点评】本题考查的是勾股定理的应用,在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
3.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为49cm2.
【考点】勾股定理.
【分析】根据正方形的面积公式,连续运用勾股定理,发现:
四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.
【解答】解:
由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积,
故正方形A,B,C,D的面积之和=49cm2.
故答案为:
49cm2.
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换.
4.小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中,他能放进去吗?
答:
能(填“能”、或“不能”)
【考点】勾股定理的应用.
【分析】能,在长方体的盒子中,一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大,根据木箱的长,宽,高可求出最大距离,然后和木棒的长度进行比较即可.
【解答】解:
能,理由如下:
可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm,
根据题意,得x2=502+402+302=5000,
702=4900,
因为4900<5000,
所以能放进去.
故答案为能.
【点评】本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度.
5.已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为2.4cm.
【考点】勾股定理.
【专题】计算题.
【分析】根据勾股定理可求出斜边.然后由于同一三角形面积一定,可列方程直接解答.
【解答】解:
∵直角三角形的两条直角边分别为3cm,4cm,
∴斜边为
=5cm,
设斜边上的高为h,
则直角三角形的面积为
×3×4=
×5h,h=2.4cm,
这个直角三角形斜边上的高为2.4cm.
故答案为:
2.4cm.
【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法,属中学阶段常见的题目,需同学们认真掌握.
6.如图,四边形ABCD中,CD∥AB,AD⊥DC,DC=5,CB=15,AB=17.则四边形ABCD的面积为99.
【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】作CE⊥AB于E,则四边形AECD是矩形,∠BEC=90°,得出AE=CD=5,BE=AB﹣AE=12,由勾股定理求出CE,即可求出四边形ABCD的面积.
【解答】解:
作CE⊥AB于E,如图所示:
则四边形AECD是矩形,∠BEC=90°,
∴AE=CD=5,
∴BE=AB﹣AE=17﹣5=12,
由勾股定理得:
CE=
=
=9,
∵CD∥AB,
∴四边形ABCD的面积=
(AB+CD)×CE=
(17+5)×9=99;
故答案为:
99.
【点评】本题考查了梯形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质,熟练掌握梯形的性质,由勾股定理求出梯形的高是解决问题的关键.
7.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm.
【考点】平面展开-最短路径问题.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】先将图形平面展开,再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.
【解答】
解:
三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为(2+3)×3dm,
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm,
由勾股定理得:
x2=202+[(2+3)×3]2=252,
解得x=25.
故答案为25.
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,用到台阶的平面展开图,只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.
二、选择题(每题4分,共28分)
8.Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为()
A.10cmB.3cmC.4cmD.5cm
【考点】勾股定理;三角形中位线定理.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答.
【解答】解:
∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm,
∴斜边=
=10cm,
∴连接这两条直角边中点的线段长为
×10=5cm.
故选D.
【点评】本题考查了勾股定理,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记定理是解题的关键.
9.观察下列几组数据:
(1)8,15,17;
(2)7,12,15;(3)12,15,20;(4)7,24,25.其中能作为直角三角形三边长的有()组.
A.1B.2C.3D.4
【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】根据勾股定理的逆定理:
如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系,这个就是直角三角形.
【解答】解:
①82+152=172,根据勾股定理的逆定理是直角三角形,故正确;
②72+122≠152,根据勾股定理的逆定理不是直角三角形,故错误;
③122+152≠202,根据勾股定理的逆定理不是直角三角形,故错误;
④72+242=252,根据勾股定理的逆定理是直角三角形,故正确.
故选B.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.
10.如图,正方形ABCD的边长为1,则正方形ACEF的面积为()
A.2B.3C.4D.5
【考点】算术平方根.
【分析】根据勾股定理,可得AC的长,再根据乘方运算,可得答案.
【解答】解:
由勾股定理,得AC=
,
乘方,得(
)2=2,
故选:
A.
【点评】本题考查了算术平方根,先求出AC的长,再求出正方形的面积.
11.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是()
A.12米B.13米C.14米D.15米
【考点】勾股定理的应用.
【专题】应用题.
【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形,再根据勾股定理解答即可.
【解答】解:
如图所示,AB=13米,BC=5米,根据勾股定理AC=
=
=12米.
故选A.
【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用,比较简单.
12.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是()
A.a:
b:
c=3:
4:
5B.∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3
C.a2:
b2:
c2=1:
2:
3D.a2:
b2:
c2=3:
4:
5
【考点】勾股定理的逆定理;三角形内角和定理.
【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形,D不是直角三角形;由三角形内角和定理得出B是直角三角形;即可得出结果.
【解答】解:
∵a:
b:
c=3:
4:
5,32+42=52,
∴这个三角形是直角三角形,A是直角三角形;
∵∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,
∴∠C=90°,B是直角三角形;
∵a2:
b2:
c2=1:
2:
3,
∴a2+b2=c2,
∴三角形是直角三角形,C是直角三角形;
∵a2:
b2:
c2=3:
4:
5,
∴a2+b2≠c2,
∴三角形不是直角三角形;
故选:
D
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理;熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理,通过计算得出结果是解决问题的关键.
13.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为()
A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm
【考点】勾股定理;等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD,然后在RT△ABD中,可根据勾股定理进行求解.
【解答】解:
如图:
由题意得:
AB=AC=10cm,BC=16cm,
作AD⊥BC于点D,则有DB=
BC=8cm,
在Rt△ABD中,AD=
=6cm.
故选D.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识,关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边,及利用勾股定理直角三角形的边长.
14.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理;勾股定理.
【专题】网格型.
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长,再利用勾股定理的逆定理进行判定,从而不难得到其形状.
【解答】解:
∵正方形小方格边长为1,
∴BC=
=2
,
AC=
=
,
AB=
=
,
在△ABC中,
∵BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
故选:
A.
【点评】考查了勾股定理的逆定理,解答此题要用到勾股定理的逆定理:
已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2,则三角形ABC是直角三角形.
三、解答题:
(每题11分,共计44分)
15.一棵树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离树根底部12米处,求树折断之前的高度?
(自己画图并解答)
【考点】勾股定理的应用.
【分析】根据勾股定理,计算树的折断部分是15米,则折断前树的高度是15+9=24米.
【解答】解:
如图所示:
因为AB=9米,AC=12米,
根据勾股定理得BC=
=15米,
于是折断前树的高度是15+9=24米.
【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.
16.小东与哥哥同时从家中出发,小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去,哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去,半小时后,小东距哥哥多远?
【考点】勾股定理的应用.
【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离,根据勾股定理计算即可.
【解答】解:
由题意得,AC=6×
=3km,BC=8×
=4km,
∠ACB=90°,
则AB=
=5km.
【点评】本题考查的是勾股定理的应用,正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键.
17.如图所示,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°;
(1)求BD的长;
(2)求四边形ABCD的面积.
【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】
(1)在Rt△ABD中,利用勾股定理可求出BD的长度;
(2)利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形,根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC,即可得出答案.
【解答】解:
(1)∵∠A=90°,
∴△ABD为直角三角形,
则BD2=AB2+AD2=25,
解得:
BD=5.
(2)∵BC=13cm,CD=12cm,BD=5cm,
∴BD2+CD2=BC2,
∴BD⊥CD,
故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=
AB×AD+
BD×DC=6+30=36.
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理,在求不规则图形的面积时,我们可以利用分解法,将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和.
18.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AB=6cm,BC=8cm,现将直角边BC沿直线BD折叠,使点C落在点E处,求三角形BDF的面积是多少?
【考点】翻折变换(折叠问题).
【专题】应用题;操作型.
【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等,进而得到对应边相等,对应角相等,再由两直线平行内错角相等,等量代换及等角对等边得到FD=FB,设FD=FB=xcm,则AF=(8﹣x)cm,在直角三角形AFB中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出FD的长,进而求出三角形BDF面积.
【解答】解:
由折叠可得:
△BDC≌△BDE,
∴∠CBD=∠EBD,BC=BE=8cm,ED=DC=AB=6cm,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ADB=∠EBD,
∴FD=FB,
设FD=FB=xcm,则有AF=AD﹣FD=(8﹣x)cm,
在Rt△ABF中,根据勾股定理得:
x2=(8﹣x)2+62,
解得:
x=
,即FD=
cm,
则S△BDF=
FD•AB=
cm2.
【点评】此题考查了翻折变换(折叠问题),涉及的知识有:
折叠的性质,全等三角形的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,以及勾股定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
四、附加题
19.如图所示的一块地,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.
【考点】勾股定理的应用;三角形的面积;勾股定理的逆定理.
【专题】应用题.
【分析】连接AC,运用勾股定理逆定理可证△ACD,△ABC为直角三角形,可求出两直角三角形的面积,此块地的面积为两个直角三角形的面积差.
【解答】解:
连接AC,则在Rt△ADC中,
AC2=CD2+AD2=122+92=225,
∴AC=15,在△ABC中,AB2=1521,
AC2+BC2=152+362=1521,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠ACB=90°,
∴S△ABC﹣S△ACD=
AC•BC﹣
AD•CD=
×15×36﹣
×12×9=270﹣54=216.
答:
这块地的面积是216平方米.
【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形,可使复杂的求解过程变得简单.
20.如图,△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.
(1)如图1,试说明BE2+CF2=EF2;
(2)如图2,若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.
【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】
(1)延长ED至点G,使得EG=DE,连接FG,CG,易证EF=FG和△BDE≌△CDG,可得BE=CG,∠DCG=∠DBE,即可求得∠FCG=90°,根据勾股定理即可解题;
(2)连接AD,易证∠ADE=∠CDF,即可证明△ADE≌△CDF,可得AE=CF,BE=AF,S四边形AEDF=
S△ABC,再根据△DEF的面积=
S△ABC﹣S△AEF,即可解题.
【解答】
(1)证明:
延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,
∵DE=DG,DF⊥DE,
∴DF垂直平分DE,
∴EF=FG,
∵D是BC中点,
∴BD=CD,
在△BDE和△CDG中,
,
∴△BDE≌△CDG(SAS),
∴BE=CG,∠DCG=∠DBE,
∵∠ACB+∠DBE=90°,
∴∠ACB+∠DCG=90°,即∠FCG=90°,
∵CG2+CF2=FG2,
∴BE2+CF2=EF2;
(2)解:
连接AD,
∵AB=AC,D是BC中点,
∴∠BAD=∠C=45°,AD=BD=CD,
∵∠ADE+∠ADF=90°,∠ADF+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
,
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF,BE=AF,AB=AC=17,
∴S四边形AEDF=
S△ABC,
∴S△AEF=
×5×12=30,
∴△DEF的面积=
S△ABC﹣S△AEF=
.
【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键.
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