椭圆理科复习试题含答案.docx
- 文档编号:29608833
- 上传时间:2023-07-25
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:17.82KB
椭圆理科复习试题含答案.docx
《椭圆理科复习试题含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《椭圆理科复习试题含答案.docx(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
椭圆理科复习试题含答案
椭圆理科复习试题(含答案)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编31:
椭圆
一、选择题
1.(山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学(理)试题)若椭圆:
()和椭圆:
()的焦点相同且.给出如下四个结论:
①椭圆和椭圆一定没有公共点;②;
③;④.
其中,所有正确结论的序号是()
A.①③B①③④C.①②④D.②③④
【答案】B
2.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学)已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为()
A.(0,B.()C.(0,)D.(,1)
【答案】D【解析】根据正弦定理得,所以由可得,即,所以,又,即,因为,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以,即,所以,即,所以,解得,即,选D.
二、填空题
3.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学)若焦点在x轴上的椭圆的离心率为,则=______________.
【答案】【解析】因为焦点在轴上.所以,所以.椭圆的离心率为,所以,解得.
4.(山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学)如图,椭圆的左、右焦点为,上顶点为A,离心率为,点P为第一象限内椭圆上的一点,若,则直线的斜率为______________.
【答案】因为椭圆的离心率为,所以,即.设直线的斜率为,则直线的方程为,因为,即,即,所以,解得,(舍去)或,又,即,所以,解得,所以.
三、解答题
5.(山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)已知椭圆,椭圆C2以C1的短轴为长轴,且与C1有相同的离心率.
(I)求椭圆C2的方程;
(II)设直线与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为,点在线段AB的垂直平分线上,且,求直线的方程.
【答案】
6.(山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学)若椭圆:
和椭圆:
满足,则称这两个椭圆相似,是相似比.
(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;
(Ⅱ)设过原点的一条射线分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于、点(点在线段上).
①若是线段上的一点,若,,成等比数列,求点的轨迹方程;
②求的最大值和最小值.
【答案】解:
(Ⅰ)设与相似的椭圆的方程.
则有
解得.
所求方程是
(Ⅱ)①当射线的斜率不存在时,
设点P坐标P(0,,则,.即P(0,)
当射线的斜率存在时,设其方程,P(
由,则
得
同理
又点P在上,则,且由,
即所求方程是.
又(0,)适合方程,
故所求椭圆的方程是
②由①可知,当的斜率不存在时,,当的斜率存在时,,
综上,的最大值是8,最小值是4
7.(山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.
(1)求椭圆的方程:
(2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,,当内切圆的面积最大时.求内切圆圆心的坐标;
(3)若直线与椭圆交于、两点,证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程.
【答案】【解析】:
(1)设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程,得
解得.∴椭圆的方程
(2),设边上的高为当点在椭圆的短轴顶点时,最大为,所以的最大值为.设的内切圆的半径为,因为的周长为定值6.所以,所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为
(3)将直线代入椭圆的方程并整理.得
.设直线与椭圆的交点,
由根系数的关系,得
直线的方程为:
它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为
下面证明、两点重合,即证明、两点的纵坐标相等:
因此结论成立.综上可知.直线与直线的交点住直线上
8.(山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学)已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、,与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,试证明:
直线过定点并求此定点.
【答案】解:
(1)设椭圆方程为,焦距为2c,
由题意知b=1,且,又
得
所以椭圆的方程为
(2)由题意设,设l方程为,
由知
∴,由题意,∴
同理由知
∵,∴(*)
联立得
∴需(**)
且有(***)
(***)代入(*)得,∴,
由题意,∴(满足(**)),
得l方程为,过定点(1,0),即P为定点
9.(2013届山东省高考压轴卷理科数学)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.
【答案】【解析】
(1)设所求椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因为△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=c2.
结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,∴离心率e=ca=255.
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=12|B1B2||OA|=|OB2||OA|=c2b=b2.
由题设条件S△AB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20.
因此所求椭圆的标准方程为x220+y24=1.
(2)由
(1),知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=4mm2+5,y1y2=-16m2+5.
又B2P→=(x1-2,y1),B2Q→=(x2-2,y2),
∴B2P→B2Q→=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-16m2+1m2+5-16m2m2+5+16=-16m2-64m2+5.
由PB2⊥QB1,得B2P→B2Q→=0,即16m2-64=0,解得m=±2.
∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.
10.(山东威海市2013年5月高三模拟考试数学(理科))已知椭圆的离心率为,过右焦点做垂直于轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点,直线:
过任作一条不与轴重合的直线与椭圆相交于两点,过的中点作直线与轴交于点,为在直线上的射影,若、、成等比数列,求直线的斜率的取值范围
【答案】解:
(Ⅰ)由题意可得
解得
∴椭圆的标准方程为
(Ⅱ)设的斜率为,的斜率为,直线的方程为,
联立直线与椭圆的方程
整理得
∵直线与椭圆有两个公共点,∴
∴或
由
得
设则
∴直线的方程,令,得,∴
∵、、成等比数列,则有
∴
或
所以,,
即,或
由,可得
由,可得
∴的取值范围为
11.(山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学)已知圆的方程为,过点作圆的两条切线,切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆(垂直于轴的一条弦,所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点,直线、分别交定直线于两点、,求证.
【答案】
解:
(Ⅰ)观察知,是圆的一条切线,切点为,
设为圆心,根据圆的切线性质,,
所以,
所以直线的方程为
线与轴相交于,依题意,
所求椭圆的方程为
(Ⅱ)椭圆方程为,设
则有,
在直线的方程中,令,整理得
①
同理,②
①②,并将代入得
===.
而=
∵且,∴
∴
12.(山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学)已知椭圆:
的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.
(Ⅰ)若,求外接圆的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点、,设为上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
【答案】解:
(Ⅰ)由题意知:
,又,
解得:
椭圆的方程为:
可得:
,设,则,,
,即
由,或
即,或
①当的坐标为时,,外接圆是以为圆心,为半径的圆,即
②当的坐标为时,,,所以为直角三角形,其外接圆是以线段为直径的圆,圆心坐标为,半径为,
外接圆的方程为
综上可知:
外接圆方程是,或
(Ⅱ)由题意可知直线的斜率存在.
设,,,
由得:
由得:
()
即
结合()得:
从而,
点在椭圆上,,整理得:
即,,或
13.(山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题)椭圆的两个焦点为,M是椭圆上的一点,且满足.
(Ⅰ)求离心率的取值范围;
(Ⅱ)当离心率e取得最小值时,椭圆上的点到焦点的最近距离为.
①求此时椭圆G的方程;
②设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点、Q的直线对称?
若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
【答案】解:
(1)设M(x,y),则
由
又M在椭圆上,∴
∴,
又0≤x2≤a2,∴,
∵,∴
(2)①依题意得:
∴
∴椭圆方程是:
②.设l:
y=kx+m,由
而△0可得m232k2+16
又A、B两点关于过点、Q的直线对称
∴,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∴
∴
又k≠0,∴或
∴需求的k的取值范围是或
14.(山东省2013届高三高考模拟卷
(一)理科数学)已知椭圆C:
的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E,证明:
直线AE与轴相交于定点Q;
(3)在
(2)的条件下,设过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点,求的取值范围.
【答案】【解析】
(1)由题意知,所以,即.
又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆,与直线相切,所以,
所以,,故椭圆C的方程为.
(2)由题意知直线PB的斜率存在且不为0,则直线PB的方程为.
由得.①
设点,,则.由题意知直线AE的斜率存在,则直线AE的方程为.
令,得,将,4)代入整理得
.②
由①式利用根与系数的关系得,,
代入②式整理得.
所以直线AE与轴相交于定点Q(1,0).
(3)当过点Q的直线MN的斜率存在时,
设直线MN的方程为,,.
由得,
易知,
由根与系数的关系知,,
则,
则,
因为,所以,所以,
所以.
当过点Q的直线MN的斜率不存在时,其方程为,代入椭圆方程得,不妨设,,此时.
综上所述,的取值范围是.
15.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学)已知长方形ABCD,,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.
(Ⅰ)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得弦MN为直径的圆恰好过原点?
若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 椭圆 理科 复习 试题 答案