高三数学总复习 异面直线教案 理.docx
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高三数学总复习异面直线教案理
2019-2020年高三数学总复习异面直线教案理
教材分析
异面直线是立体几何中十分重要的概念.研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始.
教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别,正确理解“异面”的含义,进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离,这样处理完全符合学生的认知规律.处理好这节内容,可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡.
教学重点是异面直线的概念,求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点.
教学目标
1.理解异面直线的概念,了解空间中的直线的三种位置关系.
2.理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义,体会空间问题平面化的基本数学思想方法.
3.通过异面直线的学习,使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯,培养学生的空间想象能力.
任务分析
空间中的两条直线的位置关系,是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的.学生对此已有一定的感性认识,但是此认识是肤浅的.同时,学生空间想象能力还较薄弱.因此,这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍.“直观”是这节内容的宗旨.多给学生思考的时间和空间,以有助于空间想象能力的形成.异面直线所成的角的意义及求法,充分体现了化归的数学思想.要让学生通过基本问题的解决,进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法.
教学设计
一、问题情境(1)
1.同一平面内的两条直线有几种位置关系?
空间中的两条直线呢?
观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置.
2.如图15-1,长方体ABCD—A1B1C1D1中,线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何?
二、建立模型(1)
1.首先引导学生观察实例或几何模型,进而发现,空间两直线除平行或相交外,还有一种位置关系:
存在两条直线既不平行又不相交,即不能共面的两直线,并在此基础上总结出异面直线的定义.
2.在学生讨论归纳异面直线定义的基础上,教师概括:
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
强调:
(1)所谓异面,即不共面,所以它们既不平行,也不相交.
(2)“不共面”,指不在任何一个平面内,关键是“任何”二字.
3.先让学生总结空间中两条直线的位置关系,然后教师明晰.
(1)共面与异面.共面分为平行和相交.
(2)有无公共点.有且仅有一个公共点———相交直线,无公共点____________平行直线和异面直线.
4.异面直线的画法.
先让学生体会下列图形,并让其指出哪些更为直观.
显然,图15-2或图15-3较好.
因此,当表示异面直线时,以平面衬托可以显示得更清楚.
三、问题情境
(2)
刻画两条平行直线位置通常用距离,两条相交直线通常用角度,那么,如何刻画两条异面直线的相对位置呢?
容易想象要用角和距离,如何定义异面直线的角和距离呢?
下面探究一个具体的问题:
如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
1.我们知道AB与A1B是共面的,它们成的角是45°,那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢?
2.回忆我们已学过的“距离”概念,发现“距离”具有“最小性”,现在直线AB和D1C上各取一点,这两点必然存在距离,试问在这所有可能的距离中,是否存在两点,这两点间距离最短?
进一步思考:
如何定义异面直线AB和D1C间的距离?
四、建立模型
(2)
在学生充分讨论、探究的基础上,抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念.
1.异面直线a与b所成的角
已知两条异面直线a,b.经过空间任一点O,作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角),叫作异面直线a与b所成的角.
强调:
(1)“空间角”是通过“平面角”来定义的.
(2)“空间角”的大小,与空间点O的选取无关,依据是“等角定理”.为简便,点O常取在两条异面直线中的一条上.
(3)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
(4)异面直线垂直的意义.今后所说的两直线垂直,可能是相交直线,也可能是异面直线.
2.对于问题2,学生讨论,可以发现:
线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点,且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值.此时,我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离.
引导学生观察、分析线段BC与AB,D1C之间的关系,得出公垂线段定义:
和两条异面直线都垂直且相交的线段.
强调:
(1)“垂直”与“相交”同时成立.
(2)公垂线段的长度定义为异面直线间的距离.
五、解释应用
[例 题]
1.如图,点D是△ABC所在平面外一点,求证直线AB与直线CD是异面直线.
注:
主要考查异面直线的定义,这里可考虑用反证法证明.要让学生体会用反证法的缘由.
2.已知:
如图,已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?
(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直?
(4)直线BB′与DC间距离是多少?
注:
主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念.解题格式要规范,合理.
[练 习]
1.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直?
2.垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
3.与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的?
4.已知:
如图,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB=2,AD=2,AA′=2.
(1)BC和A′C′所成角是多少度?
(2)AA′和BC′所成角是多少度?
(3)AA′和BC所成的角和距离是多少?
(4)A′B与B′C所成的角是多少?
(5)AC′与BD所成的角是多少?
四、拓展延伸
1.判断异面直线除了定义之外,还有如下依据:
过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.请给以证明.
2.设点P是直线l外的一定点,过P与l成30°角的异面直线有____________条.(无数)
3.已知异面直线a与b成50°角,P为空间任一点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有____________条.
(2)
若a与b所成的角是60°,65°和70°呢?
点 评
这篇案例设计思路完整,条理清晰.案例首先通过直观的图形引出定义,这样有利于学生的接受.然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念.探索过程有利于激发了学生的学习热情,体验科学思维方法.列举的例题有针对性,对知识的巩固和形成起到了很好的作用.“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路,增强学生空间想象能力.
2019-2020年高三数学总复习指数函数教案理
教材分析
指数函数是基本初等函数之一,在数学中占有重要地位,在实际中有着十分广泛的应用,如细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函数有关.有理指数幂及其运算是学习指数函数的基础.
教材首先通过实例引入什么是指数函数.然后给出三个具体例子y=2x,y=10x,y=()x,用描点法画其图像,并借助图像,观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点(1,0)及单调性.最后配备恰当的习题及练习.在知识的形成过程中,体现图像观察、归纳猜想的思想.这节内容的重点是指数函数的图像与性质,难点是应用指数函数的性质解决相关问题.
教学目标
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解并掌握指数函数的定义、图像及性质.
3.通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括,体验数学知识的产生和形成的过程,培养学生的抽象概括能力.
4.在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的数学模型,培养学生的应用意识.
任务分析
学生在学习本节内容时,已学过了一些基本函数,如二次函数,并且学过有理指数幂及其运算,这均为学生学习这节内容奠定了基础.由应用问题建立指数函数模型是个难点,为此一定要使学生理解问题的意义,进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系.要重视列表、画图像的过程,这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质.要充分显示出知识的形成过程.
教学设计
一、问题情境
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个……如果1个这样的细胞分裂x次后,得到细胞的个数为y,试求y关于x的函数关系式.
先由学生独立解答,然后教师明晰细胞分裂的规律是:
每次每个细胞分裂为2个.
当x=0时,y=1=20;
当x=1时,y=20×2=21;
当x=2时,y=21×2=22;
当x=3时,y=22×2=23;
……
归纳:
分裂x次,得到细胞的个数y=2x,其中x∈N.
二、建立模型
1.学生讨论
上面得到的函数y=2x有何特点?
(底数为常数,自变量在指数的位置上)
2.教师明晰
一般地,函数y=ax,(a>0且a≠1,x∈R)叫作指数函数.
思考:
为什么要限制a>0且a≠1?
(理由:
当a=0,x≤0时,ax无意义;当a<0时,如y=(-2)无意义;当a=1时,y=1x=1是常数函数.没有研究的必要.)
3.练 习
在同一坐标系内,画出下面三个指数函数的图像.
(1)y=2x.
(2)y=10x. (3)y=()x.
解:
列表:
描点,画图:
4.观察上面的函数的图像,结合列表,归纳总结出指数函数y=ax的性质
(1)定义域是(-∞,+∞),值域是(0,+∞).
(2)函数图像在x轴的上方且都过定点(0,1).
(3)当a>1时,函数在定义域上是增函数,且当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1.
当0<a<1时,函数在定义域上是减函数,且当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1.
5.提出问题,组织学生讨论
(1)函数y=2x与y=x2的图像有何关系?
试对你的结论加以证明.
(2)试举一个在生活、生产、科技等实际中与指数函数有关的例子.
三、解释应用
[例 题]
1.利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
(1)1.72.5与1.73.
(2)0.8-0.1与0.8-0.2.
解:
(1)考查指数函数y=1.7x.
∵1.7>1,∴y=1.7x在(-∞,+∞)是增函数.
又2.5<3,∴1.72.5<1.73.
(2)类似
(1),得0.8-0.1<0.8-0.2.
思考:
怎样比较1.70.3与0.93.1的大小?
2.某种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.画出这种物质的剩留量随时间变化的图像,并根据图像求出经过多少年,剩留量是原来的一半.(结果保留1个有效数字)
解:
设这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y,则
经过1年,剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年,剩留量y=0.84×0.84=0.842;
……
经过x年,剩留量y=0.84x.
列表:
表11-3
x
0
1
2
3
4
5
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
画出指数函数y=0.84x的图像:
由图上看出y=0.5时,x≈4.
答:
约经过4年,剩留量是原来的一半.
说明:
为便于观察,两轴上的单位长度可不相等.
3.说明下列函数的图像与指数函数y=2x的图像的关系,并画出它们的草图.
(1)y=2x+1.
(2)y=2x-2.
解:
(1)比较函数y=2x+1与y=2x的关系,知y=2-1+1与y=x0相等.
∴函数y=2x+1中的x=-1时的y值,与函数y=2x中的x=0时的y值相等.
又y=20+1与y=x1相等;
y=23+1与y=x4相等;
……
∴将指数函数y=2x的图像向左平行移动1个单位长度,即可得到函数y=2x+1的图像.
(2)将指数函数y=2x的图像向右平行移动2个单位长度,即可得到函数y=2x-2的图像.
[练 习]
1.比较大小:
(1)1.01-2与1.01-3.5.
(2)0.75-0.1与0.750.1.
2.画出下列函数的图像.
(1)y=3x.
(2)y=()x.
3.求下列函数的定义域.
(1)y=.
(2)y=.
4.已知函数f(x)=ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,求a的值.
5.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,试写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式.如果要使存留的污垢不超过原有的1%,那么至少要漂洗几次?
四、拓展延伸
1.在例题2中,函数y=0.84x与函数y=0.5的图像的交点横坐标是方程0.84x=0.5的解吗?
思考:
你能判断出方程2x+x2-2=0有几个实数根吗?
2.以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表:
表11-4
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表中提供的数据,能否从我们已经学过的函数y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=,y=a·bx中选择一种函数使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系?
若能,求出这个函数解析式.
(2)如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么该地区某中学一男生身高为175cm,体重为78kg,问:
他的体重是否正常?
解:
(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图如下.根据图,可考虑用函数y=abx,反映上述数据之间的对应关系.
把x=70,y=7.90和x=160,y=47.25两组数据代入y=a·bx,得
利用计算器计算,得a=2,b=1.02.
所以,该地区未成年男性体重关于身高的近似函数式可选为y=2×1.02x.
将已知数据代入所得的函数解析式或作出所得函数的图像,可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)把x=175代入y=2×1.02x,得
y=2×1.02175.
利用计算器计算,得y=63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2,
因此,这名男生体型偏胖.
点 评
这节课的中心问题有三个,即指数函数的定义、图像与性质,围绕这三个问题,这篇案例进行了精心设计:
首先通过实例引入了指数函数的概念,再通过画具体的指数函数的图像归纳出一般指数函数的性质.这样安排有利于学生理解指数函数的概念,掌握指数函数的性质.选配的例题难易适中,具有典型性和代表性.练习由易到难,既可以巩固基础知识,又可以提高学生的解题技能.“拓展延伸”对本节中心内容进行了拓展,有用图像法求方程的解,判断方程根的个数;有函数图像的平移;还有应用题.这些都是数学中经常遇到的问题,它们的解决将有利于学生今后的学习.
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