04183概率论与数理统计经管类第2章课后答案.docx
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04183概率论与数理统计经管类第2章课后答案
习题2.1
1.设随机变量X的分布律为P{X=k}=,k=1,2,N求常数a.
N
解:
由分布律的性质沫皿瑶=1得
P(X=1)申(X=2)+…P+X=N)=1
N*=1,即a=1
NI
2.设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为一,一一—,求常数C.
花亡4c5cl&c
解:
-:
2c4cSc1.6c
37
C~
3•将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得的点数之和,以丫表示两次出现的最小点数,分别求X,丫的分布律.
注:
可知X为从2到12的所有整数值.
可以知道每次投完都会出现一种组合情况,其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36,故
P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)
P(X=3)=2*(1/36)=1/18(两种组合(1,2)(2,1))
P(X=4)=3*(1/36)=1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))
P(X=5)=4*(1/36)=1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))
P(X=6)=5*(1/36=5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))
P(X=7)=6*(1/36)=1/6(这里就不写了,应该明白吧)
P(X=8)=5*(1/36)=5/36
P(X=9)=4*(1/36)=1/9
P(X=10)=3*(1/36)=1/12
P(X=11)=2*(1/36)=1/18
P(X=12)=1*(1/36)=1/36
以上是X的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即丫的取值了.
P(Y=1)=(1/6)*1=1/6一个要是1,另一个可以是任何值
P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36
P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9
P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12
P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18
P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36以上是Y的分布律了.
一个是2,另一个是大于等于2的5个值一个是3,另一个是大于等于3的4个值一个是4,另一个是大于等于4的3个值一个是5,另一个是大于等于5的2个值一个是6,另一个只能是6
4.设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X表示取出的次品的个数,求X的分布律.
解:
X=0,1,2
2
5.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为-,连续抛掷8次,以X表示出现正面的次数,求X3'
的分布律.
6.设离散型随机变量X的分布律为
X
-1
2
3
P
1
1
1
S
s
求F卜F| 3-4 = 1-4 1-2 =-1_z3}- <-3 X< 门X < 2pp 7.设事件A在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,求: (1)进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率; (2)进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解: 设X为事件A发生的次数, ⑴----...- =Cg(0.3)3(0.7)2+4(03「(0刀14FC|(03)5(0_7)° =0.1323+0.02835+0.00243=0.163 (2).: .....-....-.. =1-C? (0.3)C(OJ)7-C丸0・3)1(0.7)吕-C7(0.3)2(0.7)5 =1-0.0824-0.2471一0.3177=0.353 8.甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.解: 设X表示各自投中的次数 卩{X=0}=6^(0.6)°(0.4)3*CgC0-^°(0.3)3=0.064七0.027=0.002 P{X=1}=爲(0・6)1(0・4尸•爲〔0・刀】〔0・3严=0.288*0.189=0.054 卩{X=2}=CKO.e^fO.^1*心〔0•刀2®萄】=0.432电0.441=0.191 P{X=3}=CK0.6)3(0.4)°*(3(a7)3(P-3)fl=0.216*0.343=0.074 投中次数相等的概率=if£.」: •气[匚■: ;'I 9.有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 俐用泊松分布定理计算) 解: 设X表示该段时间出事故的次数,则X~B(1000,0.0001)用泊松定理近似计算-=1000*0.000仁0.1 P{x>2}=1-P{X=0]-P{X=1} =^-C? coo(0.0001)°(O.9999)1000一供负(0.0001)1(0.9999)叩 =1-旷皿一=1-0.9043-0.0905=0.0047 10.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求: (1)每分钟恰有8次呼唤的概率; (2)每分钟的呼唤次数大于10的概率. 解: (1)....—...-.一…—…一一- (2)....-「- 习题2.2 1.求0-1分布的分布函数. 「0,x<0 解: F(X>=*qt0 ! 【l,x>1 2.设离散型随机变量X的分布律为: X -1 2 3 P 0.25 0.5 0.25 求x的分布函数,以及概率匸丄二•「. 解V: lA1「■一 ft—l 4 > 如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数 ro,x<-2 ⑴Fj(町=^,—2冬輩v0 i2,x>0 /0,JE (2)F2(x)=sinx,Q (orY<0 ⑶ x> (2戶…1=•l…「i x<0 0 解之a-,b- VTT (将x=1带入F(x)=a+iarctanx)注: arctan为反正切函数,值域(),arctan仁 6.设随机变量X的分布函数为 「①x F(xr)—lnxz1 lfx>e 求逼;: : -- 解: 一—_一注: 1;〔壮=蚪: —总 P{0 P{22^}=F(2.5)-F (2)=ln23-ln2==lnl.25 习题2.3 1.设随机变量X的概率密度为: 求: (1)常数a; (2)科缶辽賈瓦;? ;⑶X的分布函数F(x). 解: (1)由概率密度的性质」'*[=: : 二 1 Ah 2 ⑵p{o 一些常用特殊角的三角函数值 正弦 余弦 正切 余切 0 0 1 0 不存在 n/6 1/2 V3/2 V3/3 V3 n/4 V2/2 V2/2 1 1 n/3 V3/2 1/2 V3 V3/3 n/2 1 0 不存在 0 0 不存在 (3) X的概率分布为: 2. "一00 (2)! 圾iV前v门;(3)X的分布函数. 设随机变量X的概率密度为f(x)=ae-1*1求: (1)常数a; 解: (1) 仁7f(x)dx=曲dx十ae_aEdx= p{0 X的分布函数 (1 2o 一专产X>0 3.求下列分布函数所对应的概率密度: (1): -■7匚芦二二—丁 x>°(指数分布) x<0 ⑶F3(x)二」 x<0 0< *TT X>- -IC&SX, 解: f3(x)二’ Ia 其他 (均匀分布) 4.设随机变量X的概率密度为 「耳0 —2—3tjIMkUN 0,其他. 求: (併{炬牛(2陀"<冷 解: 例2设X-f(工)=2—拟l a 求殆)・ J—1*1 ibWx^-分段 袁达的,求艸软时 註意井段就. X,() X'/(x)=<2—I J—4 f曲+『(2-fkZr x<() 0 l x>2 a x<0 X- 0 F(x)= 12 2x-l- l 2 [匚 x>2 ⑴P{x>H=l-FG)=l-t=l-|=I 5. ⑵⑵「上卜弓;V 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程•^;\|1>."1(利用二次式的判别式) 解: K~U(0,5) 0兰恳兰5 苴他 /If(K)=「 I氏 方程式有实数根,则.「「上「「一"II丨*1'.'! _■■ 2 故方程有实根的概率为: P(K<-1}+P{K>2}=J|dz= 6.设X~U(2,5)现在对X进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率. 解: E: F-I——-- 5—22 至少有两次观测值大于3的概率为: 212120 禺馬卄碼)匂一刃 7.设修理某机器所用的时间X服从参数为入=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率• 解: 1': : ■I.I.I'' 8.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从参数为入=的指数分布,某顾客在窗口等待 服务,若超过10分钟,他就离开•他一个月要到银行5次,以丫表示他未等到服务而离开窗口的次数写出丫的分布律,并求丄-少占 解: 未等到服务而离开的概率”为: 1〕-1-Fi1r-1-r.-;-- p{Y=fe}=一e-a)5-k(fc=04,2,3,4,5) 丫的分布律: 丫 0 1 2 3 4 5 P 0.484 0.378 0.118 0.018 0.001 0.00004 p{Y>l}=l_p{Y=O}=l_0.484=0.516 9.设X~N(3,j),求: ⑴-一..一一.…一一一「.一一; ⑵i」.■丄.一 解: ⑴P{2吨蛊兰=护(亍)=0 (1)—[1-(7)]=0-0413-(1-0.6915)=05323 P(M>2}=l-P(-2^r^2}=1-e(字)—©(宁)=1-(0.30S5-0.0062)=0.6977 P{X>3}=P{X^3J=1-(宁)=1-^(0)=1-0.5=0,5 ⑵■----■■■ P[XA<|=1—P{X>c} P{X>tf}+P{X>c}=1 ®(宁)"日F 经查表——,即C=3 10.设X~N(0,1)设x满足"区..- 解: P{[X|>x}<0.1 2[l-^(x)]<0.1 19 20 19 20 4>(x)>0.95 经查表当: : 工1.65时;;「一- 即■: J.65时f|X|.二]一.g 11.X~N(10,「),求: ⑴一,一 (2)iJ..■■. 解: (1)「二1■■1: ■-—二: 二…--: : _ (2)■「一_.1 经查表-二,即d=3.3 2 12.某机器生产的螺栓长度X(单位: cm)服从正态分布N(10.05,・…厂),规定长度在范围10.05_0.12内为合格,求一螺栓不合格的概率. 解: 螺栓合格的概率为: 严®—10.05>\0^06j P{10.05一0.12 _丰^10.17一10.05^ _中\0^6) =*(3)-[1一*[3)J =0.9772=^2-1=0.9544 螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.0456 13.测量距离时产生的随机误差X(单位: m)服从正态分布N(20,…J进行3次独立测量.求: (1)至少有一次误差绝对值不超过30m的概率; (2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率. 解: (1)绝对值不超过30m的概率为: ( 30—20\/—30—20\ 一J-e(———J=4)(O.Z5>-[1-4>(125)]=0.4931至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为: 1-..'. (2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率为: (: 扛0.49引严(1一0・4931)2=0.3801 习题2.4 1.设X的分布律为 X|-2023 -P_0.20.2__0.30.3 求 (1)的分布律. 解: (1八_的可能取值为5,1,-3,-5. 由于 P{Yi=5}二P{-2X+1=5}=P{X=-2]=0.2 P{Yt=1}=P{-2X+1=1}=P{X=-2]=0.2 P{Yt=-3}二P{-2X+1=-3}=P{X=2]=0.3 PfYi=-5}=P{-2X+1=-5}=P{X=3]=0.3从而i_的分布律为: X-5-315 Yi|0.30.30.20.2 (2).的可能取值为0,2,3. 由于 P{Y2=0}=P{|X|=0}=P{X=0]=0.2 P{Y2=2J=P{|X|=Q}=P{X=-2]+P{X=2}=0.2+03=0.5 P{Y2=3}=P{|X|=3]=P{X=3]=0.3从而: .的分布律为: X023 ¥20.20.50.3 2.设X的分布律为 X-1012 P0.20.30.1__04 求寸-' 解: Y的可能取值为0,1,4. 由于 P{Y=C}=P{(X一l)a=0}=P{X=1}=0.1 P{Y=1}=P[(X一l)a=1}=P{X=0}+P{X=2]=0.7 P{Y=4}=P[(X-l)a=4}=P{X=-1}=0.2 从而「的分布律为: X|014 r0.1__0.70.2 3.X~U(0,1)求以下Y的概率密度: ⑴1-一一-…-一一-: Y1丫 解: (1)^一二匚: -讥 fY(y)=f^(hty))l=e_2=|e_2. 即fY(y)」界Py>Qt 』y (2)■=f.=■,三戸.-一=: =: 「二. 11 卯@)=f/h(y))|hf(y)|=l*-=- rl 1 即fy(y}=3 I0,其他 注: 由X~U(0,1),l=汀—「当X=0时,丫=3*0+1=1;,当X=1时,丫=3*1+1= (3).----- y 11fy(y)=fK(h(y))lh'(y)|=1- y -t.0 即fy(y)=? 0,其他 注: ,当X=0时,.-: : —.;,当X=1时,■.-: ■- 4.设随机变量X的概率密度为 I8苴他. 求以下丫的概率密度: (1)Y=3X; (2)丫=3-X;(3)a-. 解: (1)丫=g(x)=3X,■: =—=7二匚=- ⑶弋一飞、沁「罟,X=h(y)=「「 X的概率密度为: ⑶■■「.二 fy(y)=fx(h(y))lh;(y)|=e-^ 其他 6.X~N(0,1)求以下Y的概率密度: (1)1-: .-.-…: - 解: (1): -;: -....-../-「.…一一 当X=+Y时「: •'■: : -'.' 当X二-Y时: "■: 一[1.宀….HI—.」」 吐…、11_壬z_疋41 故 Vzir^2il fy(y)= Y—11 (2)Y=g(x)=2X2+1,X=h(y}=^-hC/)=J—— J停 -Izl V-j2V^(y-l)e 「,孕; R・(巧=4(h(y))|h\y)l=二巳3~ ym 即右滾 I0.y^l 自测题 1,选择题 1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品,从中随机地,有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数,则P{X=3}=C. 2•设随机变量X~B(4,0.2)则P{X>3}=A. A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.8192解: P{X>3}=P{X=4}=? 页滋护工…陰謬于(二项分布) 3.设随机变量X的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是D. A..---B.一--一C.①匹阀我匹: 一D.F(x)为连续函数 4. 下列各函数中是随机变量分布函数的为B. 5.设随机变量X的概率密度为尬磁;-;.『: ' 不晓得为何课后 答案为D ■3[ D.-: -- v、ifi则常数a=A. x<10 { sc,a r是某连续型随机变量X的概率密度,则区间[a,b]可以是C A.[0,1]B.[0,2]C.|—D.[1,2] 7. 设随机变量X的取值范围是[-1,1],以下函数可以作为X的概率密度的是 A.0B.0.25C.0.5D.1解: P{-1 9.设随机变量X~U(2,4)则朋③临mi}=A.(需在区间2,4内) A.P[2.25 C.■-L■.■..D. A.N(-1,2)B.N(-1,4)C.N(-1,8)D.N(-1,16) .-自己算的结果是 11.已知随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=-2X则丫的概率密度fv(v)为D A._: B.&L: ;C._: D.-i一 2,填空题 1.已知随机变量X的分布律为 X12345 P2a0.10.3a0.3 则常数a=0.1. 解: 2a+0.1+0.3+a+0.3=1 2.设随机变量X的分布律为 X 123 P 123 666 记X的分布函数为F(x)则F (2)=-.解: -―- rt& 3.抛硬币5次,记其中正面向上的次数为X则魯施兰尅•二_—_. 解: 一’•'"-' 4.设X服从参数为入(入>0)的泊松分布,且=二.=: ,则入=2 解: 分别将-: --. 5.设随机变量X的分布函数为
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