培优专题12 全等三角形及其应用含答案.docx
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培优专题12全等三角形及其应用含答案
6、全等三角形及其应用
【知识精读】
1.全等三角形的定义:
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。
2.全等三角形的表示方法:
若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作“△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等;
4.寻找对应元素的方法
(1)根据对应顶点找
如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
(2)根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图
(1),BOC≌EOD,BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的;
旋转
如图
(2),COD≌BOA,COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的;
平移
如图(3),DEF≌ACB,DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5.判定三角形全等的方法:
(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
(2)推论:
角角边定理
6.注意问题:
(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;
(2)不能证明两个三角形全等的是,a:
三个角对应相等,即AAA;b:
有两边和其中一角对应相等,即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用
(1)证明线段(或角)相等
例1:
如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:
BF=FC
分析:
由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE,而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中,因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,既可以得到BF=FC.
证明:
在ΔACD和ΔABE中,
∴ΔACD≌ΔABE(SAS)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)
又∵AD=AE,AB=AC.
∴AB-AD=AC-AE
即BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∴ΔDBF≌ΔECF(AAS)
∴BF=FC(全等三角形对应边相等)
(2)证明线段平行
例2:
已知:
如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=CE.求证:
AB∥CD
分析:
要证AB∥CD,需证∠C=∠A,而要证∠C=∠A,又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC,DE⊥AC,知∠DEC=∠BFA=90°,且已知DE=BF,AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证∠C=∠A,进一步证明AB∥CD.
证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC(已知)
∴∠DEC=∠BFA=90°(垂直的定义)
在ΔABF与ΔCDE中,
∴ΔABF≌ΔCDE(SAS)
∴∠C=∠A(全等三角形对应角相等)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3:
如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE.求证:
CD=2CE
分析:
(ⅰ)折半法:
取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
证明:
取CD中点F,连接BF
∴BF=AC,且BF∥AC(三角形中位线定理)
∴∠ACB=∠2(两直线平行内错角相等)
又∵AB=AC
∴∠ACB=∠3(等边对等角)
∴∠3=∠2
在ΔCEB与ΔCFB中,
∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)
∴CE=CF=CD(全等三角形对应边相等)
即CD=2CE
(ⅱ)加倍法
证明:
延长CE到F,使EF=CE,连BF.
在ΔAEC与ΔBEF中,
∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)
∴AC=BF,∠4=∠3(全等三角形对应边、对应角相等)
∴BF∥AC(内错角相等两直线平行)
∵∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD(等角的补角相等)
在ΔCFB与ΔCDB中,
∴ΔCFB≌ΔCDB(SAS)
∴CF=CD
即CD=2CE
说明:
关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。
例如上面折道理题也可这样处理,取AC中点F,连BF(如图)(B为AD中点是利用这个办法的重要前提),然后证CE=BF.
(4)证明线段相互垂直
例4:
已知:
如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?
证明你的结论。
分析:
本题没有直接给出待证的结论,而是让同学们先根据已知条件推断出结论,然后再证明所得出的结论正确。
通过观察,可以猜测:
AO=BC,AO⊥BC.
证明:
延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中
∴ΔADO≌ΔCDB(SAS)
∴AO=BC,∠OAD=∠BCD(全等三角形对应边、对应角相等)
∵∠AOD=∠COE(对顶角相等)
∴∠COE+∠OCE=90o
∴AO⊥BC
5、中考点拨:
例1.如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结FC.
求证:
∠F=∠A.
分析:
证明两个角相等,常证明这两个角所在的两个三角形全等,在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中,但由已知可证得EF∥AC,因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED,只要证△EBD≌△FCD即可.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B,
∵EB=ED,
∴∠ACB=∠EDB.
∴ED∥AC.
∴∠BED=∠A.
∵BE=EA.
∴BD=CD.
又DE=DF,∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF,
∴∠BED=∠F.
∴∠F=∠A.
说明:
证明角(或线段)相等可以从证明角(或线段)所在的三角形全等入手,在寻求全等条件时,要注意结合图形,挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。
例2如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连接CE、DE.求证:
EC=ED
分析:
把已知条件标注在图上,需构造和△AEC全等的三角形,因此过D点作DF∥AC交BE于F点,证明△AEC≌△FED即可。
证明:
过D点作DF∥AC交BE于F点
∵△ABC为等边三角形
∴△BFD为等边三角形
∴BF=BD=FD
∵AE=BD
∴AE=BF=FD
∴AE-AF=BF-AF即EF=AB
∴EF=AC
在△ACE和△DFE中,
∴△AEC≌△FED(SAS)
∴EC=ED(全等三角形对应边相等)
题型展示:
例1如图,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。
求证:
AB=AC+CD.
分析:
在AB上截取AE=AC,构造全等三角形,△AED≌△ACD,得DE=DC,只需证DE=BE问题便可以解决.
证明:
在AB上截取AE=AC,连结DE.
∵AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,
∴△AED≌△ACD,
∴DE=DC,∠AED=∠C.
∵∠AED=∠B+∠EDB,∠C=2∠B,
∴2∠B=∠B+∠EDB.
即∠B=∠EDB.
∴EB=ED,即ED=DC,
∴AB=AC+DC.
剖析:
证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种,一种是截长法(即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条,再证余下的部分等于另一条短线段);如作AE=AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性,构造全等三角形,另一种方法是补短法(即延长一条短线段等于长线段,再证明延长的部分与另一条短线段相等),其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题,实际上仍是构造全等三角形,这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容.
【实战模拟】
1.下列判断正确的是()
(A)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
(B)有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等
(C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
(D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2.已知:
如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:
OB=OC.
3.如图,已知C为线段AB上的一点,ACM和CBN都是等边三角形,AN和CM相交于F点,BM和CN交于E点。
求证:
CEF是等边三角形。
4.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线.求证:
AD<(AB+AC)
5.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G.
求证:
BD=CG.
【试题答案】
1.D
2.证明:
∵AO平分∠ODB,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CE交于点O,
∴OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE。
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴ OB=OC
3.分析由ACM=BCN=60,知ECF=60,欲证CEF是等边三角形,只要证明CEF是等腰三角形。
先证CAN≌MCB,得1=2.再证CFN≌CEB,即可推得CEF是等边三角形的结论。
证明:
在CAN和MCB,
∵AC=MC,CN=CB,
CAN=MCB=120,
∴ACN≌MCB中,
∴FCB和CEB中,
∵FCN=ECB=60,1=2,CN=CB,
∴CFN≌CEB,∴CF=CE,
又∵ECF=60,
∴CEF是等边三角形.
4.分析:
关于线段不等的问题,一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论,由于AB、AC、AD不在同一个三角形,应设法将这三条线段转化在同一个三角形中,也就是将线段相等地转化,而转化的通常方法利用三角形全等来完成,注意AD是BC边上的中线,延长AD至E,使DE=AD,即可得到△ACD≌△EBD.
证明:
延长AD到E,使DE=AD,连结BE
在ACD与EBD中
∴ACD≌EBD(SAS)
∴AC=EB(全等三角形对应边相等)
在ABE中,AB+EB>AE(三角形两边之和大于第三边)
∴AB+AC>2AD(等量代换)
说明:
一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形。
5.分析:
由于BD与CG分别在两个三角形中,欲证BD与CG相等,设法证△CGE≌△BDF。
由于全等条件不充分,可先证△AEC≌△CFB
证明:
在Rt△AEC与Rt△CFB中,
∵AC=CB,AE⊥CD于E,BF⊥C交CD的延长线于F
∴∠AEC=∠CFB=90°
又∠ACB=90°
∴∠CAE=90°-∠ACE=∠BCF
∴Rt△AEC≌Rt△CFB
∴CE=BF
在Rt△BFD与Rt△CEG中,∠F=∠GEC=90°,CE=BF,
由∠FBD=90°-∠FDB=90°-∠CDH=∠ECG,
∴Rt△BFD≌Rt△CEG
∴BD=CG
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