三角形复习教案新东昊教育.docx
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三角形复习教案新东昊教育
三角形与全等三角形
【基础知识回顾】
三角形的概念:
1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形
2、三角形的基本元素:
三角形有条边个顶点个内角
二、三角形的分类:
按边可分为三角形和三角形,按角可分为三角形三角形三角形
【名师提醒:
等边三角形属于特殊的三角形,锐角三角形和钝角三角形有事称为三角形】
三、三角形的性质:
1、三角形的内角和是三角形的任意一个外角和它不相得两个内角的和三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角
2、三角形任意两边之和第三边,任意两边之差第三边
3、三角形具有性
【名师提醒:
1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角,三角形有个外角,三角形的外角和事,是其中各外角的和
2、三角形三边关系定理是确定三条线段能否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据】
四、三角形中的主要线段:
1、角平分线:
三角形的三条角平分线都在三角形部且交于一点,这些是三角形的心它到得距离相等
2、中线:
三角形的三条中线都在三角形部,且交于一点
3、高线:
不同三角形的三条高线位置不同,锐角三角形三条高都连三角形直角三角形有一条高线在部,另两条河重合,钝角三角形有一条高线在三角形部,两条在三角形部
4、中位线:
连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。
定理:
三角形的中位线第三边且等于第三边的
【名师提醒:
三角形的平分线、中线、高线、中位线都是且都有条】
五、全等三角形的概
念和性质:
1、的两个三角形叫做全等三角形
2、性质:
全等三角形的、分别相等,全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线)周长、面积分别对应
【名师提醒:
全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】
一、全等三角形的判定:
1、一般三角形的全等判定方法:
①边角边,简记为②角边角:
简记为③角角边:
简记为④边边边:
简记为
2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外,还可以用来判定
【名师提醒:
1、判定全等三角形的条件中,必须至少有一组对应相等,用SAS判定全等,切记角为两边的
2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】
【重点考点例析】
考点一:
三角形内角、外角的应用
例1、如图,△ABC中,∠C=70°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2=( )
A.360°B.250°C.180°D.140°
1、如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,点D、E分别在BC、AC的延长线上,则∠1=
考点二:
三角形三边关系
例2、已知三角形两边的长分别是3和6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的根,则这个三角形的周长等于( )
A.13B.11C.11或13D.12或15
考点三:
三角形全等的判定
例3、如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;②四边形CEDF不可能为正方形;
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;④点C到线段EF的最大距离为
.
其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
例4、如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时,点B′落在对角线AC上,点A′落在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,连接AA′、CE.
求证:
(1)△ADA′≌△CDE;
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线.
3、Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋转,DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论:
①(BE+CF)=
BC;②S△AEF≤
S△ABC;③S四边形AEDF=AD•EF;④AD≥EF;⑤AD与EF可能互相平分,其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4、如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
考点四:
全等三角形开放性问题
例5、如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是
.(不添加辅助线).
5、如图,AF=DC,BC∥EF,请只补充一个条件,使得△ABC≌△DEF,并说明理由.
【聚焦中考】
1.一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.
2.将一副三角板按如图所示摆放,图中∠α的度数是( )
A.75°B.90°C.105°D.120°
3.不一定在三角形内部的线段是( )
A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线
4.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是
A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等
5.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=.
6.如图所示,AB=DB,∠ABD=∠CBE,请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△DBE.(只需添加一个即可)
7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE=cm.
8.如图,在等边三角形ABC中,D是BC边上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O,则tan∠AEO=.
【备考真题过关】
1.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为( )
A.40°B.45°C.50°D.55°
2.如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=( )
A.150°B.210°C.105°D.75°
3.将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是( )
A.45°B.60°C.75°D.90°
4.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )
A.5B.6C.11D.16
5.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.1cm,2cm,4cmB.4cm,6cm,8cmC.5cm,6cm,12cmD.2cm,3cm,5cm
6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC≠BD,则图中全等三角形有( )
A.4对B.6对C.8对D.10对
7.如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是( )
A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF
8.如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=
9.如图,FE∥ON,OE平分∠MON,∠FEO=28°,则∠MFE=度.
10.如图,在△ABC中,AC=BC,△ABC的外角∠ACE=100°,则∠A=度.
11.若等腰三角形两边长分别为3和5,则它的周长是.
12.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的角平分线,已知∠ABC=80°,则∠DBC=°.
13.如图,BC=EC,∠1=∠2,要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件为.(答案不唯一,只需填一个).
14.如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF,AE=CF,BE=DF.求证:
△ADE≌△CBF.
15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:
△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系并说明理由.
16.如图,已知AB=DC,DB=AC
(1)求证:
∠ABD=∠DCA.注:
证明过程要求给出每一步结论成立的依据.
(2)在
(1)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
17.如图1,l1,l2,l3,l4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A,B,C,D都在这些平行线上.过点A作AF⊥l3于点F,交l2于点H,过点C作CE⊥l2于点E,交l3于点G.
(1)求证:
△ADF≌△CBE;
(2)求正方形ABCD的面积;
(3)如图2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为h1,h2,h3,试用h1,h2,h3表示正方形ABCD的面积S.
18.感知:
如图①,点E在正方形ABCD的边BC上,BF⊥AE于点F,DG⊥AE于点G,可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)
拓展:
如图②,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证:
△ABE≌△CAF.
应用:
如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9,则△ABE与△CDF的面积之和为 6 .
19.
(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
直接写出你猜想的结论;
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
请说明理由.
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在
(1)中的位置关系仍然成立?
不必说明理由.
甲:
AB:
AC=AD:
AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;
乙:
AB:
AC=AD:
AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;
丙:
AB:
AC=AD:
AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.
20.已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:
①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?
若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.
等腰三角形与直角三角形
【基础知识回顾】
一、等腰三角形
1、定义:
有两边的三角形叫做等腰三角形,其中的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质:
⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合,简称为
⑶等腰三角形是轴对称图形,它有条对称轴,是
3、等腰三角形的判定:
⑴定义法:
有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形,简称
【名师提醒:
1、等腰三角形的性质还有:
等腰三角形两腰上的相等,两腰上的相等,两底角的平分线也相等
2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性,所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题,讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角
4、等边三角形的性质:
⑴等边三角形的每个内角都都等于
⑵等边三角形也是对称图形,它有条对称轴
等边三角形的判定:
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是度的三角形是等边三角形
【名师提醒:
1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线定义:
一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2、性质:
线段垂直平分线上的点到得距离相等
3、判定:
到一条线段两端点距离相等的点在
角的平分线:
1、性质:
角平分线上的点到得距离相等
2、判定:
到角两边距离相等的
【名师提醒:
1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合,角平分线可以看作是的点的
2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】
三、直角三角形:
1、勾股定理和它的逆定理:
勾股定理:
若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理:
若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形
【名师提醒:
1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛,要注意和二次根式的结合
2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据,
3、勾股数,列举常见的勾股数三组、、】
2、直角三角形的性质:
除勾股定理外,直角三角形还有如下性质:
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300,那么它就对边是边的一半
3、直角三角形的判定:
除勾股定理的逆定理外,直角三角形还有如下判定方法:
定义法:
⑴有一个角是的三角形是直角三角形
⑵有两个角是的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形
【名师提醒:
直角三角形的有关性质在边形,中均有广泛应用,要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】
【重点考点例析】
考点一:
等腰三角形性质的运用
例1、在等腰△ABC中,∠A=30°,AB=8,则AB边上的高CD的长是或4
.
1.已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=
BC,则△ABC底角的度数为( )
A.45°B.75°C.45°或75°D.60°
考点二:
线段垂直平分线
例2、如图.在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD,若BD=1,则AC的长是( )
A.
B.2C.
D.4
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是( )
A.3B.2C.
D.1
考点三:
等边三角形的判定与性质
例3、如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向C
B延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥A
B于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?
如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
3.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
(2)求线段BD的长.
考点四:
角的平分线
例4、如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=
1,则EF=2
.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DC=2,则D到AB边的距离是2
.
考点五:
勾股定理
例5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4,则四边形ACEB
的周长为.
【备考真题过关】
一、选择题
1.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为( )
A.16B.18C.20D.16或20
2.已知实数x,y满足|x-4|+
=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对
3.等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是( )
A.20°B.50°C.60°D.80°
4.如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
5.如图在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为( )
A.16B.15C.14D.13
6.如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为( )
A.2B.
C.
D.3
7.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M,则点M的坐标为( )
A.(2,0)B.(
,0)C.(
,0)D.(
,
0)
8.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为6和4或5和5
.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D,则BD=3
.
10.等腰三角形一腰长为5,一边上的高为4,则底边长.
11.如图,在△ABC中,∠B
与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是9
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为36°
.
13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,FG交AC于H,则GH的长等于 cm.
14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF.求证:
AE=AF.
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