小学数学 行程问题之 中点问题+行程中的倍比关系 完整版例题讲解训练 后面带详细答案.docx

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小学数学行程问题之中点问题+行程中的倍比关系完整版例题讲解训练后面带详细答案

行程问题之

中点问题和行程间的倍比关系

板块一、中点问题

【例题1】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？

【巩固1】甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？

【例题2】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？

【巩固2】王老师从甲地到乙地，每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米．两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离．

【例题3】甲乙二人同时分别自A、B两地出发相向而行，相遇之地距A、B中点300米，已知甲每分钟行100米，乙每分钟行70米，求A地至B地的距离.

【巩固3】李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点3千米．问全程长多少千米？

【例题4】树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行，树叶每小时行18千米，月亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点5千米．问全程长多少千米？

【巩固4】蜡笔小新从家出发去超市找妈妈，小新妈妈从超市回家，他们同时出发，小新每分钟走45米，小新妈妈每分钟走60米，他们在离中点60米的地方相遇了，求小新家到超市的距离是多少米？

【例题5】小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行100米，5分钟后小新已超过中点50米，这时二人还相距30米，正南每分钟行多少米？

【巩固5】甲、乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？

【例题6】甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？

【巩固6】甲、乙二人从A，B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇．如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇．甲晚出发了多少分钟？

【例题7】甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米．甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已经30分钟．问：

甲、乙每分钟各走多少米？

【巩固7】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米．汽车每小时行48千米．两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？

板块二：

行程间的倍比关系

【例题1】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．

【巩固1】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地90千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地30千米处相遇．求A、B两地间的距离？

【例题2】如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行．他们在离A点100米的C点第一次相遇．亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求A、B间的距离．要求写出关键的推理过程．

【巩固2】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地80千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地20千米处相遇．求A、B两地间的距离？

【例题3】甲、乙二人同时分别从A、B两地出发，相向匀速而行．甲到达B地后立即往回走，乙到达A地后也立即往回走．已知他们第一次相遇在离，A、B中点2千米处靠B一侧，第二次相遇在离A地4千米处．A、B两地相距多少千米？

【巩固3】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达BA两地后，立即按原路原速返回．两车从开始到第二次相遇共用6小时．求A、B两地的距离？

【例题4】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【巩固4】自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度．

【例题5】A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：

当甲到达B地时，乙追上甲几次？

【巩固5】小新和阿呆各骑一辆自行车从相距32千米的两个地方沿直线相向而行，在他们同时出发的那一瞬间，一辆自行车把上的一只小鸟开始向另一辆自行车径直飞去，它一到达另一辆自行车的车把，就立即转向往回飞行，这只小鸟如此在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到小新和阿呆相遇为止.如果小新每小时行驶17千米，阿呆每小时行驶15千米，小鸟每小时飞行24千米，那么小鸟总共飞行了多少千米？

【例题6】甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里，甲每小时走6里，乙每小时走4里．如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住．这只狗共跑了多少里路？

【巩固6】A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？

【例题7】在一次宴会上，一位客人给著名的数学大师、“计算机之父”冯·诺伊曼先生出了一个蜜蜂问题：

两列火车相距100英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时50英里．火车A的前端有一只蜜蜂以每小时100英里的速度飞向火车B，遇到火车B以后．立即回头以同样的速度飞向火车A，遇到火车A后，又回头飞向火车B，速度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才停止．假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂一共飞了多少英里的路？

【巩固7】阿呆和阿瓜同时从距离20千米的两地相向而行，阿呆每小时走6千米，阿瓜每小时走4千米．阿瓜带着一只小狗，狗每小时走10千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米？

【例题8】甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行4千米，但每行30分钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，则经过________小时________分的时候两人相遇．

【巩固8】某条道路上，每隔900米有一个红绿灯．所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换．一辆汽车通过第一个红绿灯后，以每小时多少千米的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？

【参考答案】

板块一：

例题1:

【解析】因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：

夏夏所行路程=全程一半-50米，冬冬所行路程

全程一半+50米；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了50×2=100（米），冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：

（60+50）×10=1100（米）．

巩固1:

【解析】两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距（5+4）×3=27千米

例题2:

【解析】两个人的相遇时间为：

1100÷（50+60）=10（分钟），所以相遇时东东走了：

60×10=600（米），两个人距离中点距离为：

600-1100÷2=50（米）

巩固2:

【解析]画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？

）

离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走了两地距离的一半少1千米．从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米，王老师比张老师每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）=2（小时）。

因此，甲、乙两地的距离是（5+4）×2=18（千米）．

例题3:

【解析】相遇时甲比乙多行300×2=600（米），相遇时共用了600÷（100-70）=20（分），A、B两地之间的距离为（100+70）×20=3400（米）.

巩固3:

【解析】李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了3×2=6（千米）．由已知李明每小时比王亮多走18-16=2（千米），李明比王亮多行6千米需要6÷2=3（小时），这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程是：

（18+16）×3=102（千米）．

例题4:

【解析】树叶走了全程的一半多5千米，月亮走了全程的一半少5千米，树叶比月亮实际多走了5×2=10（千米）．已知树叶每小时比月亮多走18-16=2（千米），那么树叶比月亮多行10千米需要10÷2=5（小时），这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求了．全程：

（18+16）×5=170（千米）．

巩固4:

【解析】路程差：

60×2=120（米），速度差：

65-45=20（米／分钟），相遇所用的时间：

120÷20=6（分钟），家到超市的距离：

（45+65）×6=660（米）．

例题5:

【解析】5分钟后小新比正南多走了50×2+30=130（米），所以每分钟多走：

130÷5=26（米），所以正南每分钟走：

100-26=74（米/分）

巩固5:

【解析】乙每小时比甲少行：

5-4=1（千米），由题意知，“两人相遇时乙比甲少行3千米”，说明两人行驶的时间为：

3÷（5-4）=3（小时），已知速度和与相遇时间，可求路程．两地相距为：

（5+4）×3=27（千米）．

例题6:

【解析】画图分析．

从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行70-60=10（千米），120÷10=12（小时），说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时．

那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是（60+70）×6=780（千米）．

巩固6:

【解析】同时出发，相遇时甲多走60×2=120（米），相遇时间为120÷（80-70）=12（分），因此甲、乙两地距离为（80+70）×12=1800（米）．当甲晚出发一会儿时，两人各用时间分别为乙用时：

（1800÷2+220）÷70=16（分），甲用时：

（1800÷2-220）÷80=8.5（分），所以甲比乙晚出发16-8.5=7.5（分）．

例题7:

【解析】根据题意，画线段图如下：

30分钟内，二人的路程和2400×2=4800（米），因此速度和为：

4800÷3=160（米/分）；又知道30分钟甲的路程为：

2400+300=2700（米），所以甲速度为：

2700÷30=90（米/分），则乙速度为：

160-90=70（米/分）．

巩固7:

【解析】第二次相遇距中点108千米，说明两车共有108×2=216（千米）的路程差，由此可知两车共行驶了：

216÷（54-48）=36（小时）．又因为第二次相遇两车共走了三个全程，所以走一个全程用36÷3=12（小时）．这样可以求出甲乙两地的路程是：

（54+48）×12=1224（千米）．

板块二：

例题1:

【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：

95×3-25=260（千米）．

巩固1:

【解析】第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了90千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即90×3=270（千米），而这270千米比一个A、B两地间的距离多30千米，可得：

90×3-30=240（千米）．

例题2:

【解析】第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了100米，从开始到第二次相遇，两人共走了三个全程，则亮亮走了100×3=300（米）．亮亮共走的路程为一个全程多80米，所以道路长300-80=220（米）．

巩固2:

【解析】第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了80千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个80千米，即80×3=240（千米），而这240千米比一个A、B两地间的距离多20千米，可得：

240-20=220（千米）．

例题3:

【解析】如图所示，两人第一次相遇，合走一个全程，两人第二次相遇，合走三个全程．而两人速度不变，这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇时，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇时，他应该走了3个半个全程多6千米，而实际他走了2个全程差4千米，即4个半个全程差4千米．因此，半个全程长6+4=10（千米），A、B两地相距10×2=20（千米）．

巩固3:

【解析】甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到BA两地后，又共同行完一个AB间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个AB间的路程．甲、乙速度和：

42+45=87（千米），3个AB间路程：

87×6=522（千米），A、B相距：

522÷3=174（千米）．

例题4:

【解析】画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明骑了8-4=4（千米）．而爸爸骑的距离是4+8=12（千米）．

这就可以知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4=3倍．按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3=24（千米）．但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4+12=16（千米），少骑行24-16=8（千米）．摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟．8+8+16=32（分钟）．所以这时是8点32分．

巩固4:

【解析】在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为（18+9）千米，而自行车所走的路程为（18-9）千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍（=（18+9）÷（18-9））；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及时间等于12÷2=6（分钟）；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：

摩托车在6分钟内走了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了．列式为：

（18+9）÷（18-9）=3倍，12÷（3-1）=6（分钟），摩托车的速度为：

9÷6=1.5（千米/分钟），自行车的速度为：

1.5÷3=0.5（千米/分钟）

例题5:

【解析】

由上图容易看出：

在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100-80=20（分钟）内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180÷20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80×（1+9）=800（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟（=100×2），所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．

巩固5:

【解析】由小鸟和两车同时开始飞行和同时停止，故小鸟飞行的时间和两车相遇的时间相等，32÷（17+15）=1小时。

燕子飞行的路程：

24×1=24（千米）.

例题6:

【解析】只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间．但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．由此便能求出答案．狗一共跑了100÷（6+4）=10（小时）所以狗跑的距离为10×10=100（千米）

巩固6:

【解析】由燕子和两车同时开始飞行和同时停止，故燕子飞行的时间和两车相遇的时间相等，480÷（35+45）=6小时。

燕子飞行的路程：

50×6=300千米

例题7:

【解析】因为两列火车相距100英里，以每小时50英里的速度相向而行．所以，他们相遇时所经过的时间是1小时，而蜜蜂在这段时间内，不停地在两列火车之间往返飞行，蜜蜂飞行的全部时间正好是两行火车相遇的时间，所以，蜜蜂在这1小时内，正好飞行了100英里．

巩固7:

【解析】阿呆和阿瓜两人相遇时间为：

20÷（6+4）=2（小时），狗共跑路程为：

10×2=20（千米）．

例题8:

【解析】经过2小时15分钟的时候，甲实际行了2小时，行了4×2=8千米，乙则行了12×9/4=27千米，两人还相距35.8－27－8=0.8千米，此时甲开始休息，乙再行0.8÷12×60=4分钟就能与甲相遇．所以经过2小时19分的时候两人相遇．

巩固8:

【解析】因为红绿灯变换的时间周期是30+5+25=60（秒），所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒．换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯．因此，汽车应以每小时900÷60×3600÷1000=54（千米）的速度行驶．