届一轮复习理通用版二函数导数及其应用单元测试.docx
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届一轮复习理通用版二函数导数及其应用单元测试
单元质量测试
(二)
=
时间:
120分钟
满分:
150分
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2018·广东汕头一模)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域为( )
A.(-∞,-1)B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)
答案 C
解析 由题意知1+x>0且x≠1.故选C.
2.(2018·河北保定一模)若f(x)是定义在R上的函数,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)=0,但f(0)=0不能推出函数f(x)为奇函数,例如f(x)=x2.故选B.
3.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f=( )
A.3B.-3C.D.-
答案 C
解析 设f(x)=xn,则==2n=3,
∴f=n==,故选C.
4.(2018·大连测试)下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( )
A.y=-B.y=log2|x|
C.y=1-x2D.y=x3-1
答案 C
解析 函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.
5.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则-6f(x)dx等于( )
A.0B.4C.8D.16
答案 D
解析 因为f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,所以-6f(x)dx=2f(x)dx=8×2=16.
6.(2018·山东济宁一中月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0 A.100台B.120台C.150台D.180台 答案 C 解析 设利润为S(万元),则S=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000.令S≥0,解得x≥150.故选C. 7.已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( ) 答案 B 解析 解法一: 由y=f(x)的图象知,f(x)= 当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2], 所以f(2-x)= 故y=-f(2-x)= 图象应为B. 解法二: 当x=0时,-f(2-x)=-f (2)=-1;当x=1时,-f(2-x)=-f (1)=-1.观察各选项,可知应选B. 8.(2018·安庆二模)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2)且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=( ) A.1B.C.-1D.- 答案 C 解析 函数f(x)是奇函数,且周期为4,4 9.已知函数f(x)的图象如图,f′(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( ) A.0<f′ (2)<f′(3)<f(3)-f (2) B.0<f′(3)<f′ (2)<f(3)-f (2) C.0<f′(3)<f(3)-f (2)<f′ (2) D.0<f(3)-f (2)<f′ (2)<f′(3) 答案 C 解析 观察图象可知,该函数在(2,3)上为连续可导的增函数,且增长的速度越来越慢.所以各点处的导数在(2,3)上处处为正,且导数的值逐渐减小,所以f′ (2)>f′(3),而f(3)-f (2)=,表示连接点(2,f (2))与点(3,f(3))割线的斜率,根据导数的几何意义,一定可以在(2,3)之间找到一点,该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则必有0 (2).故选C. 10.(2018·河南郑州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.7182…),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系(用不等号连接)为( ) A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a) C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b) 答案 A 解析 ∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=e对称,∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数,∴f(x)在区间[0,e]上为增函数,又易知0 11.(2018·河南开封模拟)已知不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[-1,+∞)B.(-∞,1] C.(0,2]D.[-1,2] 答案 A 解析 不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,即a≥-22对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,则1≤t≤3,∴a≥t-2t2在[1,3]上恒成立,设y=-2t2+t=-2t-2+(t∈[1,3]), ∴ymax=-1,∴a≥-1.故选A. 12.(2018·河南安阳一模)已知函数f(x)= (e为自然对数的底数),则函数F(x)=f[f(x)]-f(x)-1的零点个数为( ) A.8B.6C.4D.3 答案 B 解析 令f(x)=t,则由F(x)=0得f(t)=t+1.作出y=f(x)的函数图象如图所示: 设直线y=k1x+1与曲线y=ex相切,切点为(x0,y0),则 解得x0=0,k1=1. 设直线y=k2x+1与曲线y=lnx相切,切点为(x1,y1),则 解得x1=e2,k2=. ∴直线y=t+1与f(t)的图象有4个交点,不妨设4个交点横坐标为t1,t2,t3,t4,且t1 第Ⅱ卷 (非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(2018·成都市诊测)(+x+x3)dx=________. 答案 解析 因为(+x+x3)dx=dx+(x+x3)dx, 由几何意义知dx=,又(x+x3)dx=x2+x410=,所以(+x+x3)dx=. 14.若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=f(x+1)-f(x-1)的定义域为________. 答案 {1} 解析 由条件可得 解得x=1,所以g(x)的定义域为{1}. 15.(2018·江淮十校联考)已知f(x)= 若f(x)有最大值,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,3]∪(4,+∞) 解析 当x≤2时,y=x3-3x,y′=3(x+1)(x-1),所以y=x3-3x在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,又f(-1)=f (2)=2,所以f(x)在(-∞,2]上的最大值为2;当>2,即a>4时,f(x)在(2,+∞)上的最大值为f,所以f(x)的最大值为maxf (2),f,故最大值一定存在;当≤2时,f(x)在(2,+∞)上单调递减,若f(x)有最大值,则 即a≤3,综上可得实数a的取值范围是(-∞,3]∪(4,+∞). 16.(2018·江西七校二模)设x,y∈R,定义x⊗y=x(a-y)(a∈R,且a为常数),若f(x)=ex,g(x)=e-x+2x2,F(x)=f(x)⊗g(x). ①g(x)不存在极值; ②若f(x)的反函数为h(x),且函数y=kx与函数y=|h(x)|有两个交点,则k=; ③若F(x)在R上是减函数,则实数a的取值范围是(-∞,-2]; ④若a=-3,在F(x)的曲线上存在两点,使得过这两点的切线互相垂直. 其中真命题的序号有________(把所有真命题的序号都写上). 答案 ②③ 解析 由题意可得F(x)=f(x)⊗g(x)=ex(a-e-x-2x2),则F′(x)=-ex(2x2+4x-a).g′(x)=-e-x+4x,当g′(x)=0,即4x=x时,由函数y=4x,y=x的图象可知g′(x)=0有一解x0,且x 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)函数f(x)=-(a>0,x>0). (1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若函数f(x)在上的值域是,求a,m的值. 解 (1)设x1>x2>0,则x1-x2>0,x1x2>0, ∵f(x1)-f(x2)=-=-=>0,∴f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数. (2)由 (1)得f(x)在上是单调递增函数,∵函数f(x)在上的值域是,∴f=,f (2)=m,即-2=,且-=m, 解得a=,m=2. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-4x+3. (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值. 解 (1)当a=-1时,f(x)=-x2-4x+3, 令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=t在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间为(-2,+∞),单调递减区间为(-∞,-2). (2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)=h(x), 由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1, 因此=-1,解得a=1. (3)由指数函数的性质知,要使函数f(x)的值域是(0,+∞),则需函数h(x)=ax2-4x+3的值域为R,因为二次函数的值域不可能为R,所以a=0. 19.(2018·河北邢台一中月考)(本小题满分12分)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1. (1)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式; (2)计算f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2018)的值. 解 (1)当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又f(x)的图象关于x=1对称, 则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2]. (2)已知函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x), 又函数f(x)的图象关于x=1对称, 则f(2+x)=f(-x)=-f(x), 所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 因为f(0)=0,f (1)=1,f (2)=0,f(3)=f(-1)=-f (1)=-1, 又f(x)是以4为周期的周期函数. 所以f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2018)=504×(0+1+0-1)+f(0)+f (1)+f (2)=1. 20.(2018·山东临沂一中月考)(本小题满分12分)据某气象中心观察和预测: 发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(单位: km/h)与时间t(单位: h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t内沙尘暴所经过的路程s(单位: km). (1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城? 如果不会,请说明理由. 解 (1)由题中给出的函数图象可知,当t=4时,v=3×4=12(km/h), ∴s=×4×12=24(km). (2)当0≤t≤10时,s=·t·3t=t2; 当10 当20 综上可知,s= (3)∵t∈[0,10]时,smax=×102=150<650, t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650, ∴当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650, 解得t=30. 故沙尘暴发生30h后将侵袭到N城. 21.(2018·南昌二模)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-x2-ax有两个极值点x1,x2(e为自然对数的底数). (1)求实数a的取值范围; (2)求证: f(x1)+f(x2)>2. 解 (1)∵f(x)=ex-x2-ax,∴f′(x)=ex-x-a. 设g(x)=ex-x-a,则g′(x)=ex-1. 令g′(x)=ex-1=0,解得x=0. ∴当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增. ∴g(x)min=g(0)=1-a. 当a≤1时,f′(x)=g(x)≥0,函数f(x)单调递增,无极值点; 当a>1时,g(0)=1-a<0,且当x→+∞时,g(x)→+∞; 当x→-∞时,g(x)→+∞. ∴当a>1时,f′(x)=g(x)=ex-x-a有两个零点x1,x2. 不妨设x1 ∴函数f(x)有两个极值点时,实数a的取值范围是(1,+∞). (2)证明: 由 (1)知,x1,x2为g(x)=0的两个实数根, x1<0 下面先证x1<-x2<0,只需证g(-x2)<0. ∵g(x2)=ex2-x2-a=0,得a=ex2-x2, ∴g(-x2)=e-x2+x2-a=e-x2-ex2+2x2. 设h(x)=e-x-ex+2x(x>0), 则h′(x)=--ex+2<0, ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴h(x) ∵函数f(x)在(x1,0)上单调递减, ∴f(x1)>f(-x2), ∴要证f(x1)+f(x2)>2, 只需证f(-x2)+f(x2)>2, 即证ex2+e-x2-x-2>0. 设函数k(x)=ex+e-x-x2-2(x>0), 则k′(x)=ex-e-x-2x. 设φ(x)=k′(x)=ex-e-x-2x, φ′(x)=ex+e-x-2>0, ∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴φ(x)>φ(0)=0,即k′(x)>0, ∴k(x)在(0,+∞)上单调递增,k(x)>k(0)=0, ∴当x∈(0,+∞)时,ex+e-x-x2-2>0, 则ex2+e-x2-x-2>0, ∴f(-x2)+f(x2)>2,∴f(x1)+f(x2)>2. 22.(2018·太原五中模拟)(本小题满分12分)已知函数f(x)=aex,g(x)=ln(ax)+,a>0. (1)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3),求a的值并讨论h(x)=xf(x)+m(x2+2x-1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调递增区间; (2)定义: 若直线l: y=kx+b与曲线C1: f1(x,y)=0,C2: f2(x,y)=0都相切,则我们称直线l为曲线C1,C2的公切线.若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线,试求实数a的取值范围. 解 (1)由f(x)=aex,得f′(x)=aex. 又f (1)=ae, 故f(x)在x=1处的切线方程为y-ae=ae(x-1). 将点(3,3)代入切线方程,得a=. 所以f(x)=ex-1. 从而h(x)=xex-1+m(x2+2x-1)(m∈R), h′(x)=(x+1)(ex-1+2m). ①当m≥0时,h′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立,故h(x)的单调递增区间为(0,+∞); ②当1+ln(-2m)≤0,即-≤m<0时,h′(x)≥0,x∈(0,+∞),故h(x)的单调递增区间为(0,+∞); ③当1+ln(-2m)>0,即m<-时, 由h′(x)>0得x>1+ln(-2m), 故h(x)的单调递增区间为(1+ln(-2m),+∞). 综上,当m≥-时,h(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当m<-时,h(x)的单调递增区间为(1+ln(-2m),+∞). (2)设f(x)=aex的切点横坐标为x=x1,f′(x)=aex,则f(x)在x=x1处的切线方程为 y-aex1=aex1(x-x1).① 设g(x)=ln(ax)+的切点横坐标为x=x2,g′(x)=, 则g(x)在x=x2处的切线方程为 y-ln(ax2)-=(x-x2).② 联立①②,得 消去x2得a=·(x1≠1). 考虑函数φ(x)=·, φ′(x)=-·. 令φ′(x)=0,得x=或2. 当x<或x>2时,φ′(x)<0,函数y=φ(x)在-∞,,(2,+∞)上单调递减;当 而φ=,φ (2)=, 故当a∈0,∪,+∞时,方程a=·有解, 从而,若函数f(x)=aex与g(x)=ln(ax)+存在公切线,则a的取值范围为0,∪,+∞.
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- 一轮 复习 通用版 函数 导数 及其 应用 单元测试
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