红对勾高三一轮复习课时作业46高三数学.docx
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红对勾高三一轮复习课时作业46高三数学
课时作业46 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1.一条直线和一个圆的两条直径都垂直,则这条直线和这个圆所在的平面的位置关系是( )
A.平行B.垂直
C.相交不垂直D.不确定
解析:
因为一个圆的两条直径一定相交于圆心,由线面垂直的判定定理知这条直线和这个圆所在的平面垂直.
答案:
B
2.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A.AB∥mB.AC⊥m
C.AB∥βD.AC⊥β
解析:
如图所示,AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β,只有D不一定成立,故选D.
答案:
D
3.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
解析:
A中,由m⊥n,n∥α,可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误;B中,由m∥β,β⊥α,可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误;C中,由m⊥β,n⊥β,可得m∥n,又n⊥α,则m⊥α,正确,D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α,可得m与α相交或m⊂α或m∥α,错误.
答案:
C
4.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么( )
A.PA=PB>PC
B.PA=PB C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 解析: ∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC. 答案: C 5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是( ) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 解析: 由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.故选B. 答案: B 6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( ) A. B.1 C. D.2 解析: 设B1F=x, 因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF, 所以AB1⊥DF. 由已知可以得A1B1= , 矩形ABB1A1中,tan∠FDB1= , tan∠A1AB1= = . 又∠FDB1=∠A1AB1,所以 = . 故B1F= × = .故选A. 答案: A 二、填空题 7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可). 解析: 连接AC,BD交于O,因为底面各边相等,所以BD⊥AC;又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD, 又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC, 所以BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD, 所以平面MBD⊥平面PCD. 答案: DM⊥PC(或BM⊥PC) 8.(2017·上饶质检)已知m,n是两条不相同的直线,α,β是两个不重合的平面,现有以下说法: ①若α∥β,n⊂α,m⊂β,则m∥n; ②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,则n⊥β; ③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β; ④若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n; ⑤若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n. 其中正确说法的序号为________. 解析: 对于①,注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,可能是异面直线,因此①不正确;对于②,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知α,β平行;由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,n⊥β,因此②正确;对于③,由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线,则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知,③正确;对于④,分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直,因此④不正确;对于⑤,m与n有可能平行,因此⑤不正确.综上所述,其中正确的说法有②③. 答案: ②③ 9.(2017·泉州模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题: ①三棱锥A-D1PC的体积不变; ②A1P∥平面ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确的命题序号是________. 解析: 连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变. 又因为VP-AD1C=VA-D1PC,所以①正确. 因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确. 由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确. 答案: ①②④ 三、解答题 10.如图,几何体EF-ABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°. (1)求证: AC⊥FB; (2)求几何体EF-ABCD的体积. 解: (1)证明: 由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC. ∵四边形CDEF为正方形,∴DC⊥FC, ∵DC∩AD=D,∴FC⊥平面ABCD, ∴FC⊥AC. 又∵四边形ABCD为直角梯形, AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4, ∴AC=2 ,BC=2 ,则有AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC, 又BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB, ∴AC⊥FB. (2)连接EC,过B作CD的垂线,垂足为N, 易知BN⊥平面CDEF,且BN=2. ∵VEF-ABCD=VE-ABCD+VB-EFC= S梯形ABCD·DE+ S△EFC·BN= , ∴几何体EF-ABCD的体积为 . 11.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD. (1)证明: 平面AEC⊥平面BED; (2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积. 解: (1)证明: 因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE. 又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED. 又AC⊂平面AEC, 所以平面AEC⊥平面BED. (2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC= x,GB=GD= . 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG= x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE= x. 由已知得,三棱锥E-ACD的体积 V三棱锥E-ACD= × ·AC·GD·BE = x3= ,故x=2. 从而可得AE=EC=ED= . 所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为 . 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2 . 1.(2017·兰州质检)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的序号) ①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC; ②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE; ③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB; ④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD. 解析: 由已知,在未折叠的原梯形中,AB∥DE,BE∥AD, 所以四边形ABED为平行四边形, 所以BE=AD,折叠后如图所示. ①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP. 因为M,N分别是AD,BE的中点, 所以点P为AE的中点,故NP∥EC. 又MP∩NP=P,DE∩CE=E, 所以平面MNP∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确; ②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC. 所以AE⊥MP,AE⊥NP, 又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP. 又MN⊂平面MNP, 所以MN⊥AE,②正确; ③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA,从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,③错误. ④当CE⊥ED时,CE⊥AD,这是因为由于CE⊥EA,EA∩ED=E,所以CE⊥平面AED,AD⊂平面AED,得出EC⊥AD,④正确. 答案: ①②④ 2.如图,四边形ABCD为正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=2,EF=1. (1)求证: BC⊥AF; (2)试判断直线AF与平面EBC是否垂直.若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由. 解: (1)证明: 因为EF∥AB,所以EF与AB确定平面EABF, 因为EA⊥平面ABCD,所以EA⊥BC. 由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A, 所以BC⊥平面EABF. 又AF⊂平面EABF,所以BC⊥AF. (2)直线AF垂直于平面EBC. 证明如下: 由 (1)可知,AF⊥BC. 在四边形EABF中,AB=4,AE=2,EF=1,∠BAE=∠AEF=90°,所以tan∠EBA=tan∠FAE= ,则∠EBA=∠FAE. 设AF∩BE=P,因为∠PAE+∠PAB=90°,故∠PBA+∠PAB=90°. 则∠APB=90°,即EB⊥AF. 又EB∩BC=B,所以AF⊥平面EBC. 3.如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC. (1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证: DF∥a; (2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG⊥平面CDE? 若存在,请确定G点的位置;若不存在,请说明理由. 解: (1)证明: 在三棱台ABC-DEF中,AC∥DF,AC⊂平面ACE,DF⊄平面ACE,∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF,平面ACE∩平面DEF=a,∴DF∥a. (2)线段BE上存在点G,且BG= BE,使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下: 取CE的中点O,连接FO并延长交BE于点G,连接GD,∵CF=EF,∴GF⊥CE. 在三棱台ABC-DEF中,AB⊥BC⇒DE⊥EF. 由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE. 又CF∩EF=F, ∴DE⊥平面CBEF,∴DE⊥GF. ⇒GF⊥平面CDE. 又GF⊂平面DFG, ∴平面DFG⊥平面CDE. 此时,如平面图所示, ∵O为CE的中点,EF=CF=2BC, 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE, ∴HB=BC= EF. 由△HGB∽△FGE可知 = , 即BG= BE.
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- 关 键 词:
- 勾高三 一轮 复习 课时 作业 46 数学
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