高考数学总复习高中数学的三十六个常见的立体几何判断题汇编.docx
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高考数学总复习高中数学的三十六个常见的立体几何判断题汇编.docx
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高考数学总复习高中数学的三十六个常见的立体几何判断题汇编
【题注】
这些立体几何判断题不难,但易错,尤其是那些类似“以上命题正确的是”的组合选择题,最惹学生讨厌了。
并且,这些题出来出去,也总在几个类似的命题中转来转去,却总让学生们常做常错。
因此,本文总结了36个常见的立体几何判断题,虽不能涵盖所有,却也能窥个大概。
注意:
36个命题均为假命题!
1若两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线互相平行
【反例图示】
【注解】图中两条红线与蓝线都成直角,但两条红线并不平行,反例并不唯一,正方体是分析线面位置关系的常用模型
2若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行
【反例图示】
【注解】还是上个例子的图,本例是上个例子的特殊形式,但无论特殊还是一般,只要找到一个反例,皆错
3和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线
【反例图示】
【注解】图中蓝线和绿线均满足与两条异面红线垂直,但蓝线是公垂线,绿线并不是,概念要清楚,公垂线是一定要和异面直线相交的
4两条直线都平行于同一平面,则这两条直线平行
【反例图示】
【注解】如图,两条红线均平行底面,但它们并不平行。
当然,也会有正确的例子,但以偏概全是这类题的常用套路,本题几乎所有高中生都(将)遇到过
5若两平面与同一直线等角,则这两个平面平行
【反例图示】
【注解】还是以偏概全,图中红线与两个阴影面均成45°角,但两个阴影面并不平行
6若一条直线平行于一个平面,则该直线与平面内所有直线都平行
【反例图示】
【注解】红实线平行于下底面,但与红虚线并不平行,仍是以偏概全
7若一条直线与平面中无数条直线都平行,则该直线平行于该平面
【反例图示】
【注解】当这条直线在平面内时,该命题则为假命题。
如图,蓝线与底面无数条红线均平行,但蓝线与底面不平行。
线面平行,一定是线在平面外,这是在教学过程中,需要特别强调的
8AB为平面外的线段,若点A、点B到平面的距离相等,则AB平行于平面
【反例图示】
【注解】这是一个相当易错的题,若A、B在平面同侧,则会平行,若A、B在平面异侧,如图所示,则不平行。
线面相交也是线在平面外的情况,线在平面外含线面相交与线面平行两种情况
9若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等
【反例图示】
【注解】空间等角定理,本身含相等和互补两种情况,如图所示,∠1的两边与∠2的两边互相平行,但∠1与∠2互补。
还是以偏概全
10若直线a平行于直线b,则a平行于过b的所有平面
【反例图示】
【注解】本例与第7个例子是类似的,当直线a在过直线b的平面内,则不平行于该平面
11如果a,b是异面直线,过空间内任何一点可以作一个和a,b都平行的平面
【反例图示】
【注解】如图所示,过点A不能作出与直线a,b都平行的平面,只能作出与直线a平行且经过直线b的平面,即上底面
12若a、b是异面直线,则有且只有一条直线和a、b都垂直
【反例图示】
【注解】蓝线是异面直线,如图所示,有无数条红线与两条异面蓝线均垂直
13如果a、b是异面直线,过空间内任何一点可以作一条直线和a、b都相交
【反例图示】
【注解】本例与第11个例子类似,如图所示,过点A如果作一条直线与b相交,则该直线会在上底面,不可能和a相交
14不共线的三个点到同一个平面的距离相等,则这三个点构成的平面平行于该平面
【反例图示】
【注解】本例与第8个例子类似。
如图所示,三点到阴影面距离都相等,但它们构成的平面不会平行于中间的阴影面。
还是三点位于平面同侧还是异侧的问题
15如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,那么这条直线与这个平面垂直
【反例图示】
【注解】图中蓝线与底面的无数条红线均垂直,但蓝线不垂直于下底面。
题目中出现了“无数条”“任意一条”等字眼时,务必细细琢磨
16若直线a平行于平面①,平面①与平面②的交线为直线b,则a平行于b
【反例图示】
【注解】如图所示,直线a、b不一定平行
17若直线在平面外,则该直线不可能与平面内无数条直线相交
【反例图示】
【注解】如图所示,红线在底面外,且红线与底面的无数条蓝线可以相交
18若直线与平面不平行,则直线与平面内任一直线都不平行
【反例图示】
【注解】
本例与第7个例子有点相似,当蓝线在底面上,则不会和底面平行,但蓝线可以和如图所示的无数条红线平行。
关键还是看会不会在平面内
19若直线与平面不垂直,则直线不可能垂直于平面内无数条直线
【反例图示】
【注解】如图所示,蓝线不垂直于底面,但蓝线可以垂直于底面无数条红线。
本例与第15个例子相似
20若直线a⊥直线b,且直线a⊥平面①,则直线b平行于平面①
【反例图示】
【注解】当直线b在平面①内时,则不成立。
这也是很经典的易错题,主要是容易忘记考虑直线在平面内的情况
21分别在两个平行平面内的两条直线都平行
【反例图示】
【注解】如图,上下底面互相平行,但上底面的红线与下底面的蓝线不平行
22如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行
【反例图示】
【注解】如图,侧面的直线a与直线b都平行于下底面,但侧面与底面不平行。
面面平行一定要满足线面平行的两条直线要相交
23如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行
【反例图示】
【注解】本例与上一个例子类似。
侧面中与红线平行的无数条直线会平行于下底面,但并没有面面平行
24若平面①与平面②相交,则平面①内任意一条直线与平面②都不垂直
【反例图示】
【注解】当平面①⊥平面②时,平面①内则有无数条与红线平行的线垂直于平面②
25过平面①的一条斜线的平面②与平面①一定不垂直
【反例图示】
【注解】红线a为平面①的斜线,平面②经过直线a,但平面①可以垂直于平面②
26若两直线与平面所成的角相同,则这两条直线平行
【反例图示】
【注解】和第5个例子有点神似,红线与蓝线与底面所成角均为45°,但两直线不一定会平行
27若两平面平行于同一条直线,则这两个平面平行
【反例图示】
【注解】如图,两阴影面均平行于红线,该两阴影面不一定平行
28已知平面①⊥平面②,平面①与平面②的交线为直线a,点P在a上,则过点P且与a垂直的直线在平面①内
【反例图示】
【注解】过点P且与a垂直的直线即图中红线,这条直线与平面①可以没有半毛钱关系,也可以在平面①内
29已知平面①⊥平面②,平面①与平面②的交线为直线a,点P在a上,则过点P且与a垂直的直线垂直于平面②
【反例图示】
【注解】和上例一样,该红线与平面②可以没有任何关系,也可以垂直于平面②
30已知平面①⊥平面②,平面①与平面②的交线为直线a,点P在a上,则过点P且与平面②垂直的平面垂直于交线a
【反例图示】
【注解】如图,过点P且与平面②垂直的平面,即平面③,它可以垂直于交线a,也可以不垂直,没有必然的推出关系
31过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的
【反例图示】
【注解】点P在平面①外,如图所示,过该点且与平面①垂直的平面并不唯一
32过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的
【反例图示】
【注解】点P在直线a外,如图所示,过点P且垂直于a的直线并不唯一
33过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的
【反例图示】
【注解】点P在直线a外,如图所示,过点P且与a平行的平面并不唯一
34若直线a、b是平面外的两条平行直线,则它们在该平面内的射影平行
【反例图示】
【注解】如图所示,直线a、b的射影即图中蓝线,射影重合,不一定平行
35两平面都垂直于同一个平面,则这两个平面平行
【反例图示】
【注解】平面②和平面③都垂直于平面①,而它们不一定平行。
这也是很经典的一个反例
36两两相交的三条直线在同一平面内
【反例图示】
【注解】两两相交,如果交于同一点,则不会在同一平面内,如图所示
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