高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版必.docx

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高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版必

§6　余弦函数的图像与性质

学习目标

　1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acosx＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.

知识点一　余弦函数的图像

思考1　根据y＝sinx和y＝cosx的关系，你能利用y＝sinx，x∈R的图像得到y＝cosx，x∈R的图像吗？

答案　能，根据cosx＝sin，只需把y＝sinx，x∈R的图像向左平移个单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图像.

思考2　类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？

若能，y＝cosx，x∈[0，2π]五个关键点分别是什么？

答案　能，五个关键点分别是（0，1），，（π，－1），，.

梳理　余弦函数y＝cosx（x∈R）的图像叫作余弦曲线.

知识点二　余弦函数的性质

思考1　余弦函数的最值是多少？

取得最值时的x值是多少？

答案　对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：

当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；

当且仅当x＝（2k＋1）π，k∈Z时，取得最小值－1；

观察余弦函数y＝cosx，x∈[－π，π]的图像：

函数y＝cosx，x∈[－π，π]的图像如图所示.

思考2　余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？

推广到整个定义域呢？

答案　观察图像可知：

当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；

当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.

推广到整个定义域可得

当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；

当x∈[2kπ，（2k＋1）π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.

梳理　

函数

y＝cosx

定义域

R

值域

[－1，1]

奇偶性

偶函数

周期性

以2kπ为周期（k∈Z，k≠0），2π为最小正周期

单调性

当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π]（k∈Z）时，函数是增加的；

当x∈[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）时，函数是减少的

最大值与最小值

当x＝2kπ（k∈Z）时，最大值为1；

当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，最小值为－1

1.余弦函数y＝cosx的图像与x轴有无数个交点.（　√　）

2.余弦函数y＝cosx的图像与y＝sinx的图像形状和位置都不一样.（　×　）

提示　函数y＝cosx的图像与y＝sinx的图像形状一样，只是位置不同.

3.存在实数x，使得cosx＝.（　×　）

提示　余弦函数最大值为1.

4.余弦函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数.（　√　）

提示　由余弦函数的单调性可知正确.

类型一　用“五点法”作余弦函数的图像

例1　用“五点法”作函数y＝1－cosx（0≤x≤2π）的简图.

考点　“五点法”作图的应用

题点　用“五点法”作余弦函数的图像

解　列表：

x

0

π

2π

cosx

1

0

－1

0

1

1－cosx

0

1

2

1

0

描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.

反思与感悟　作形如y＝acosx＋b，x∈[0，2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：

①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图.

跟踪训练1　用“五点法”作函数y＝2cosx＋1，x∈[0，2π]的简图.

考点　“五点法”作图的应用

题点　用“五点法”作余弦函数的图像

解　∵x∈[0，2π]，∴令x＝0，，π，，2π，列表得：

x

0

π

2π

cosx

1

0

－1

0

1

y

3

1

－1

1

3

描点，连线得：

类型二　余弦函数单调性的应用

例2　

（1）函数y＝3－2cosx的递增区间为.

考点　余弦函数的单调性

题点　求余弦函数的单调区间

答案　[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）

解析　y＝3－2cosx与y＝3＋2cosx的单调性相反，

由y＝3＋2cosx的递减区间为[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z），

∴y＝3－2cosx的递增区间为[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）.

（2）比较cos与cos的大小.

考点　余弦函数的单调性

题点　利用单调性比较大小

解　cos＝cos＝cosπ，

cos＝cos＝cosπ，

∵π<π<π<2π，

∴cosπ

即cos

反思与感悟　单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小.

跟踪训练2　cos1，cos2，cos3的大小关系是.（用“>”连接）

考点　正弦函数、余弦函数的单调性

题点　正弦函数、余弦函数单调性的应用

答案　cos1>cos2>cos3

解析　由于0<1<2<3<π，而y＝cosx在[0，π）上是减少的，

所以cos1>cos2>cos3.

类型三　余弦函数的定义域和值域

例3　

（1）求f（x）＝的定义域.

考点　余弦函数的定义域

题点　余弦函数的定义域

解　要使函数有意义，则2cosx－1≥0，

∴cosx≥，

∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，

∴定义域为

（2）求下列函数的值域.

①y＝－cos2x＋cosx；②y＝.

考点　余弦函数的值域

题点　余弦函数的值域

解　①y＝－2＋.

∵－1≤cosx≤1，

∴当cosx＝时，ymax＝.

当cosx＝－1时，ymin＝－2.

∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是.

②y＝＝－1.

∵－1≤cosx≤1，∴1≤2＋cosx≤3，

∴≤≤1，

∴≤≤4，∴≤－1≤3，即≤y≤3.

∴函数y＝的值域为.

反思与感悟　求值域或最大值、最小值问题的依据

（1）sinx，cosx的有界性.

（2）sinx，cosx的单调性.

（3）化为sinx＝f（y）或cosx＝f（y），利用|f（y）|≤1来确定.

（4）通过换元转化为二次函数.

跟踪训练3　函数y＝－cos2x＋cosx＋1的值域是.

考点　余弦函数的值域

题点　余弦函数的值域

答案　

解析　设cosx＝t，∵－≤x≤，则t∈，

∴y＝－cos2x＋cosx＋1＝－2＋，t∈，

∴当t＝，即x＝±时，ymax＝，

当t＝1，即x＝0时，ymin＝1，

∴函数的值域为.

1.（2017·全国Ⅲ）函数f（x）＝sin＋cos的最大值为（　　）

A.B.1C.D.

考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值

题点　正弦函数的最大值与最小值

答案　A

解析　∵＋＝，

∴f（x）＝sin＋cos＝sin＋cos

＝sin＋sin＝sin≤.

∴f（x）max＝.故选A.

2.下列函数中，周期为π，且在上为增函数的是（　　）

A.y＝sinB.y＝cos

C.y＝sinD.y＝cos

考点　余弦函数的周期性与单调性的综合应用

题点　余弦函数的周期性与单调性的综合应用

答案　B

3.函数f（x）＝lgcosx＋的定义域为.

考点　余弦函数的定义域

题点　余弦函数的定义域

答案　∪∪

解析　由题意，得x满足不等式组

即作出y＝cosx的图像，如图所示.

由图可得－5≤x<－或－

∴定义域为∪∪.

4.比较大小：

（1）cos15°cos35°；

（2）coscos.

考点　余弦函数单调性的应用

题点　利用单调性比较大小

答案　

（1）>　

（2）<

解析　

（1）∵0°<15°<35°<90°，

且y＝cosx在[0°，90°]上是减少的，

∴cos15°>cos35°.

（2）∵－<－<－<0，

且y＝cosx在上是增加的，

∴cos

5.函数y＝cos（－x），x∈[0，2π]的递减区间是.

考点　余弦函数单调性的应用

题点　求余弦函数的单调区间

答案　[0，π]

解析　y＝cos（－x）＝cosx，其递减区间为[0，π].

1.对于y＝acosx＋b的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点以及图像与x轴相交的点.

2.通过观察y＝cosx，x∈R的图像，可以总结出余弦函数的性质.

3.利用余弦函数的性质可以比较余弦型三角函数值的大小及求最值.

一、选择题

1.函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0，2π]的大致图像为（　　）

考点　余弦函数的图像

题点　余弦函数的图像

答案　D

解析　y＝cosx＋|cosx|＝故选D.

2.在区间上，下列函数是增函数的是（　　）

A.y＝B.y＝－

C.y＝－sinxD.y＝－cosx

考点　余弦函数的单调性

题点　余弦函数的单调性

答案　D

解析　由正、余弦函数的单调性判断可知选D.

3.函数y＝－2cosx＋3的值域为（　　）

A.[1，5]B.[－5，1]C.[－1，5]D.[－3，1]

考点　余弦函数的值域

题点　余弦函数的值域

答案　A

4.下列函数中，最小正周期为2π的是（　　）

A.y＝|cosx|B.y＝cos|x|C.y＝|sinx|D.y＝sin|x|

考点　余弦函数的周期性

题点　余弦函数的周期性

答案　B

5.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（　　）

A.y＝cos|2x|B.y＝|sinx|

C.y＝sinD.y＝cos

考点　正弦函数、余弦函数的周期性

题点　正弦函数、余弦函数的周期性

答案　D

解析　y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sinx|是偶函数，y＝sin＝cos2x是偶函数，y＝cos＝－sin2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T＝π.

6.（2017·广州检测）如果函数f（x）＝cos（ω>0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（　　）

A.3B.6C.12D.24

考点　正弦函数、余弦函数的周期性

题点　正弦函数、余弦函数的周期性

答案　B

解析　函数f（x）＝cos（ω>0）的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，又＝，解得ω＝6.

二、填空题

7.函数y＝的定义域为.

考点　余弦函数的定义域

题点　余弦函数的定义域

答案　

解析　要使函数有意义，则－2cosx≥0，

即cosx≤，

余弦函数的图像如图所示：

∴＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，

∴函数的定义域是.

8.已知cosx＝有实根，则m的取值范围为.

考点　余弦函数的值域

题点　余弦函数的值域

答案　（－∞，－4]∪

解析　∵－1≤cosx≤1，∴－1≤≤1，

且2m＋3≠0，解得m≥－或m≤－4.

9.函数y＝cos2x＋3cosx＋2的最小值是.

考点　余弦函数的最值

题点　余弦函数的最值

答案　0

解析　令t＝cosx，则t∈[－1，1]，∴y＝t2＋3t＋2＝2－，

当t＝－1，即cosx＝－1时，ymin＝0.

10.对于函数f（x）＝给出下列四个命题：

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当x＝π＋kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值－1；

③该函数的图像关于直线x＝π＋2kπ（k∈Z）对称；

④当且仅当2kπ

其中正确命题的序号是.（请将所有正确命题的序号都填上）

考点　正、余弦函数的图像与性质综合

题点　正、余弦函数的图像与性质综合

答案　③④

解析　画出f（x）在[0，2π]上的图像如图所示.

由图像知，函数f（x）的最小正周期为2π，

当x＝π＋2kπ（k∈Z）和x＝π＋2kπ（k∈Z）时，

该函数都取得最小值－1，故①②错误.

由图像知，函数图像关于直线x＝π＋2kπ（k∈Z）对称，

当2kπ

三、解答题

11.求函数y＝2－cos的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的取值集合.

考点　余弦函数的最值

题点　余弦函数的最值

解　令z＝，∵－1≤cosz≤1，∴1≤2－cosz≤3，

∴y＝2－cos的最大值为3，最小值为1.

当z＝2kπ，k∈Z时，cosz取得最大值，2－cosz取得最小值.

又z＝，故x＝6kπ，k∈Z.

∴使函数y＝2－cos取得最小值的x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}；

同理，使函数y＝2－cos取得最大值的x的取值集合为{x|x＝6kπ＋3π，k∈Z}.

12.已知函数y＝cosx＋|cosx|.

（1）画出函数的图像；

（2）这个函数是周期函数吗？

如果是，求出它的最小正周期；

（3）求出这个函数的递增区间.

考点　余弦函数图像和性质综合

题点　余弦函数图像和性质综合

解　

（1）y＝cosx＋|cosx|＝

函数图像如图所示.

（2）由图像知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.

（3）由图像知函数的递增区间为（k∈Z）.

13.若不等式0≤－cos2x＋4cosx＋a2≤12对一切实数x均成立，求实数a的取值范围.

考点　余弦函数的最值

题点　余弦函数最值的应用

解　设f（x）＝－cos2x＋4cosx＋a2＝－（cosx－2）2＋a2＋4，

∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f（x）max＝3＋a2≤12，①

当cosx＝－1时，f（x）min＝－5＋a2≥0.②

联立①②，得5≤a2≤9，∴－3≤a≤－或≤a≤3.

即实数a的取值范围是[－3，－]∪[，3].

四、探究与拓展

14.若函数f（x）＝2cos的最小正周期为T，且T∈（1，4），则正整数ω的最大值为.

考点　正弦函数、余弦函数的周期性

题点　正弦函数、余弦函数的周期性

答案　6

解析　∵T＝，1＜＜4，ω>0，则＜ω＜2π.

∴正整数ω的最大值为6.

15.已知定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增加的，且f ＝0，△ABC的内角A满足f（cosA）≤0，求角A的取值范围.

考点　余弦函数的性质综合

题点　余弦函数的性质综合

解　①当00.

由f（cosA）≤0＝f ，f（x）在（0，＋∞）上是增加的，

得0

解得≤A<.

②当

∵f（x）为R上的奇函数，f（x）在（0，＋∞）上是增加的，

∴f（x）在（－∞，0）上是增加的，

f ＝－f ＝0，

∴由f（cosA）≤0＝f ，得cosA≤－，

∴≤A<π.

③当A＝时，cosA＝0，∵f（x）为R上的奇函数，

∴f（0）＝0，

∴f（0）≤0成立.

综上所述，角A的取值范围是∪.

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 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

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矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

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6、朋友是什么？

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朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。