北师大九年级数学教案1.docx

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北师大九年级数学教案1

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）

§1.1、你能证明它们吗

（一）

一、教学目标：

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

二、教学重点：

了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。

3、教学方法：

观察法。

4、教学分析：

本节是学习了证明之后的基础上，进一步证明技巧和规范证明过　　　程

五、教学过程：

复习：

1、什么是等腰三角形？

2、你会画一个等腰三角形吗？

并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

新课讲解：

在《证明

（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理

♦本套教材选用如下命题作为公理:

♦1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

♦5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

♦6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：

推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

证明过程：

已知：

∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF

求证：

△ABC≌△DEF

证明：

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∠D+∠E+∠F=180°

（三角形内角和等于180°）

∴∠C=180°-（∠A+∠B）

∠F=180°-（∠D+∠E）

又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∴∠C=∠F

又∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）

定理：

等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为：

等边对等角。

已知：

如图，在ABC中，AB＝AC。

求证：

∠B＝∠C

证明：

取BC的中点D，连接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，

∴△ABC△≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的对应边角相等）

（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。

做∠BAC的平分线，交BC边于D；过点A做AD⊥BC。

。

学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。

）

想一想：

在上图中，线段AD还具有怎样的性质？

为什么？

由此你能得到什么结论？

（应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。

）

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习：

做教科书第4页第1，2题。

（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。

）

六、课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

（学生小结：

通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

探体会了反证法的含义。

）

七、作业：

1、基础作业：

P5页习题1.11、2。

2、拓展作业：

《目标检测》3、预习作业：

P5-6页议一议

八、板书设计：

九、课后记：

§1.1、你能证明它们吗

（二）

一、教学目标：

1、进一步了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。

3、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。

4、了解反证法的推理方法。

5、会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。

二、教学重点：

正确叙述结论及正确写出证明过程。

熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：

等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。

三、教学方法：

探究式教学法自主探究与合作探究

四、教学过程：

复习回顾：

你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?

、

探索——发现——猜想——证明

1、引导探索：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？

（提出问题，激发学生探究的欲望。

学生猜想）

2、探究中发现：

在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？

你能用文字叙述你的结论吗？

（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）

3、证明：

（1）例1证明：

等腰三角形两底角的平分线相等。

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。

）

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是

△ABC的角平分线。

求证：

BD＝CE（一生口述证明过程，然后写出证明过程。

）

证明：

（略）

此题还有其它的证法吗？

（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？

高呢？

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。

其它证法合作交流完成。

）

4、议一议1：

在上图的等腰△ABC中，如果∠ABD＝13∠ABC,∠ACE＝13∠ACB,那么BD＝CE吗？

如果∠ABD＝14∠ABC,∠ACE＝14∠ACB呢？

由此你能得到一个什么结论？

（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。

学生分组思考、交流，在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。

）

（3）如果AD＝12AC,AE＝12AB,那么BD＝CE吗？

如果AD＝13AC,AE＝13AB,呢？

由此你能得到一个什么结论？

议一议2：

把“等边对等角”反过来还成立吗？

你能证明？

定理证明

已知：

在ΔABC中∠B=∠C

求证：

AB=AC（引导学生证明定理）

方法如下：

（课堂小结1：

（1）归纳判定等腰三角形判定有几种方法,

（2）证明两条线段相等的方法有哪几种。

（讨论、交流）

随堂练习：

已知：

在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC

求证：

DB=DE

（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。

）

想一想:

小明说，在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立吗?

如果成立,你能证明它?

证明P8

反证法的概念P8

课堂小结2：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

了解了什么证明方法？

（学生小结：

掌握证明的基本步骤和书写格式。

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。

等腰三角形的判定定理。

了解反证法的推理方法。

）

五、作业：

1、基础作业：

P9页习题1.21、2、3。

2、拓展作业：

《目标检测》

3、预习作业：

P10-12页做一做

六、板书设计：

七、课后记：

§1．1你能证明他们吗？

（第三课时）

一、教学目标：

1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。

2、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。

二、教学重点、难点：

关于综合法在证明过程中的应用。

三、教学过程：

温故知新

1、已知：

∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E

（1）找出图中的等腰三角形

（2）BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？

（3）证明以上的结论。

2、复习关于反证法的相关知识

练习：

证明：

在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

（笔试，进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式）

学一学

1、探索问题：

①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？

②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的思路吗？

（把你的思路与同伴进行交流。

）

定理：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2、做一做：

用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？

能拼成一个等边三角形吗？

说说你的理由。

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

能证明你的结论吗？

（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°

延长BC至D,使CD=BC,连接AD

∵∠ACB=90°

∴∠ACD=90°

∵AC=AC

∴△ABC≌△ADC（SSS）

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）

∴△ABD是等边三角形

∴BC=BD=AB

得到的结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3、例题学习

等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高。

已知：

在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°

度，CD是腰AB上的高

求：

CD的长

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

∴CD=AC=×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）

4、练习：

课本12页随堂练习1

四、课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

了解了什么证明方法？

（学生小结：

掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）

五、作业：

1、基础作业：

P13页习题1.31、2、3题

2、拓展作业：

《目标检测》

3、预习作业：

P15-17页读一读“勾股定理的证明”

六、板书设计：

直角三角形（第一课时）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。

3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

教学过程：

引入：

我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。

实际上，利用公理及其推导出的定理，我们能够证明勾股定理。

定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，

延长CB至点D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE，则△ABC≌△BED。

∴∠BDE=90°，ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）。

∴四边形ACDE是直角梯形。

∴S梯形ACDE=

（a+b）（a-b）=

（a+b）2

∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°-90°=90°

AB=BE

∴S△ABC=

c2

∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,

∴

（a+b）2=

c2+

ab+

ab即

a2+ab+

b2=

c2+

ab+

ab

∴a2+b2=c2

反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？

已知：

如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：

△ABC是直角三角形。

证明：

作出Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则

A’B’2+A’C’2=B’C’2（勾股定理）

∵AB2+AC2=BC2，A’B’=AB，A’C’=AC，

∴BC2=B’C’2

∴BC=B’C’

∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）

∴∠A=∠A’=90°（全等三角形的对应角相等）

因此，△ABC是直角三角形。

定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为另一个命题的互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。

这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

练习题：

随堂作业

作业：

P20：

1、2、3

九年级上期数学教案

§1．2直角三角形

教学目标：

1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法

2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。

教学重点、难点：

进一步掌握演绎推理的方法。

教学过程：

一、温故知新

1、你记得勾股定理的内容吗？

你曾经用什么方法得到了勾股定理？

（由学生回顾得出勾股定理的内容。

）

定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

二、学一学

1、问题情境：

在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？

已知：

在ΔABC中，AB2+AC2=BC2

求证：

ΔABC是直角三角形

a）（！

）

（2）

（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。

）

结论：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

2、议一议：

观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念。

）

3、关于互逆命题和互逆定理。

（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

（引导学生理解掌握互逆命题的定义。

）

4、练习：

（1）写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。

（2）试着举出一些其它的例子。

（3）随堂练习1

5、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。

6、课堂小结：

本节课你都掌握了哪些内容？

（引导学生归纳总结，互逆定理的定义及相互间的关系。

）

三、作业

1、基础作业：

P20页习题1.41、2、3。

2、拓展作业：

《目标检测》

3、预习作业：

P21-22页做一做

板书设计：

课后记：

§1、2直角三角形

（2）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题。

重点：

能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。

并且用纸解决问题。

难点：

证明“HL”定理的思路的探究和分析。

-

教学过程：

一、复习提问

1、判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？

如果其中一个角是直角呢？

请证明你的结论。

（思考交流引导学生分析证明思路，写出证明过程）

二、探究

两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗？

如果相等说明理由。

如果不相等，应如何改变条件？

用自己的语言清楚地说明，并写出证明过程。

问题1，此定理适用于什么样的三角形？

（适用于直角三角形）

2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？

（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。

）

三、做一做

如图利用刻度尺和三角板，能否

做出这个角的角平分线？

并证明。

（设计做一做的目的为了让学生体会数学

结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。

）

四、练习随堂练习P23--1

判断命题的真假，并说明理由

1、锐角对应相等的两个直角三角形全等。

2、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

3、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全等。

（对于假的命题要举出反例，真命题要说明理由。

教师分析讲解。

）

五、议一议

如图：

已知∠ACB=∠BDA=90。

要使⊿ACB≌⊿BDA，还需要什么条件？

把他们写出来，并说明理由。

（教学中给予学生时间和空间，

鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上，

通过交流，获得不同的答案，并将一种方法写出证明过程。

）

六、小结：

1、本节课学习了哪些知识？

2、还有那一些方面的收获？

七、作业：

1、基础作业：

P23页习题1.51、2。

2、拓展作业：

《目标检测》

3、预习作业：

预习：

线段的垂直平分线。

板书设计：

直角三角形（第二课时）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。

3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

教学过程：

复习：

1、勾股定理即其逆定理。

2、全等三角形的证明。

新授：

引入：

两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？

如果其中一边所对的角是直角呢？

定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。

已知：

如图，△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且AB=A’B’，BC=B’C’，

求证：

△ABC≌△A’B’C’

证明：

Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，

∵AB=A’B’，BC=B’C’，AC2=BC2-AB2,A’C’2=B’C’2-A’B’2

∵AC2=A’C’2∴AC=A’C’

∴△ABC≌A’B’C’（SSS）

做一做：

用三角尺可以作角平线，如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线

请证明：

证明：

∵MC=NCPC=PC

∴Rt△MCP≌Rt△NCP（HL）

∴∠MCP=∠NCP（全等三角形对应角相等）

议一议：

如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？

把它们分别写出来。

随堂练习

判断下列命题的真假，并说明理由。

（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。

（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。

作业：

P231、2

线段的垂直平分线（第一课时）

教学目标：

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

教学过程：

我们曾利用折纸的办法得到：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离睛等，你能证明这一结论吗？

定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

已知：

如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。

求证：

PA=PB。

证明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC

∴△PCA≌△PCB（SAS）

∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）

想一想，你能写出上面这个定理的逆合题吗？

它是真命题吗？

如果是请证明：

定理到一条线段两个端点距离相等的点，

在这条线段的垂直平分线上。

（利用等腰三角形三线合一）

做一做

用尺规作线段的垂直平分线

已知：

线段AB求作：

线段AB的垂直平分线。

作法：

1、分别以点A和B为圆心，

以大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D，

2、作直线CD。

直线CD就是线段AB的垂直平分线。

请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，

并与同伴进行交流。

因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，

所以我们也用这种方法作线段的中点。

随堂练习：

P26

作业：

P27，1、2、3、教学后记：

线段的垂直平分线（第二课时）

教学目标：

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

教学过程：

引入：

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？

当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？

定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

证明：

在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP、CP，

∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）

同理：

PB=PC

∴PA=PC

∴点P在AC的垂直平分线上

（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P。

议一议：

1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？

如果能，能作几个？

所作的三角形都全等吗？

（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）

2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？

能作几个？

（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。

做一做：

已知底边上的高，求作等腰三角形。

已知：

线段a、b

求作：

△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=（n≥0）的方程；

2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；

3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。

教学程序：

一、复习：

1、解下列方程：

（1）x2=9

（2）（x+2）2=16

2、什么是完全平方式？

利用公式计算：

（1）（x+6）2

（2）（x－

）2

注意：

它们的常数项等于一次项系数一半的平方。

3、解方程：

（梯子滑动问题）

x2+12x－15=0

二、新授：

1、引入：

像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？

2、解方程的基本思路（配方法）

如：

x2+12x－15=0转化为

（x+6）2=51

两边开平方，得

x+6=±

∴x1=

―6x2=―

―6（不合实际）

因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为（x+m）2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根。

3、配方：

填上适当的数，使下列等式成立：

（1）x2+12x+=（x+6）2

（2）