《123 角平分线的性质与判定》同步复习资料1.docx
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《123角平分线的性质与判定》同步复习资料1
《12.3角平分线的性质与判定》同步复习资料【1】
一.选择题(共10小题)
1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )
A.
B.2C.3D.2
2.已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD:
CD=9:
7,则D到AB的距离为( )
A.18B.16C.14D.12
3.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.10B.7C.5D.4
4.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( )
A.8B.6C.4D.2
【1】【3】【4】
5.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.3B.4C.6D.5
6.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=8cm,AC=6cm,S△ABD=12,则S△ABD:
S△ACD=( )
A.4:
3B.3:
4C.16:
9D.9:
16
7.△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为6cm,4cm,4cm,P为三边角平分线的交点,则△ABP,△BCP,△ACP的面积比等于( )
A.1:
1:
1B.2:
2:
3C.2:
3:
2D.3:
2:
2
8.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是( )
A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°
【5】【6】【8】
9.如图,四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
10.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和38,则△EDF的面积为( )
A.8B.12C.4D.6
【9】【10】
二.填空题(共10小题)
11.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 .
12.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .
13.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是 .
14.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于 .
【11】【12】【14】
15.如图所示,已知△ABC的周长是20,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,则△ABC的面积是 .
16.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=8.对角线BD⊥CD,P是BC边上一动点,连结PD.若∠ADB=∠C,则PD长的最小值为 .
【15】【16】
17.如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,∠BOC= .
18.如图所示,AB∥CD,O为∠A、∠C的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=1,则AB与CD之间的距离等于 .
19.直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选择的地址有 处.
20.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,以下结论:
①∠BAC=70°;②∠DOC=90°;③∠BDC=35°;④∠DAC=55°,其中正确的是 .(填写序号)
【17】【18】【19】【20】
三.解答题(共10小题)
21.如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:
PM=PN.
22.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.
求证:
(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.
23.如图:
在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;说明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
24.如图,△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P,求证:
点P在∠ABC的角平分线上.
25.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求证:
AD平分∠BAC;
(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.
26.如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.
(1)求证:
OC平分∠ACD;
(2)求证:
OA⊥OC;
(3)求证:
AB+CD=AC.
27.四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°
求证:
2AE=AB+AD.
28.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
29.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,
求证:
∠A+∠C=180°.
30.已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,点B、D分别在AN、AM上.
(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系,并证明之;
(2)如图2,若∠ABC+∠ADC=180°,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
《12.3角平分线的性质与判定》同步复习资料【1】
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )
A.
B.2C.3D.2
【解答】解:
过点P作PB⊥OM于B,
∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PA=3,
∴PB=PA=3,
∴PQ的最小值为3.
故选:
C.
2.已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD:
CD=9:
7,则D到AB的距离为( )
A.18B.16C.14D.12
【解答】解:
如图,
∵BD+CD=BC=32,BD:
DC=9:
7
∴CD=14
作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC
∴DE=CD=14.(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
即:
点D到AB的距离为14,
故选C.
3.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.10B.7C.5D.4
【解答】解:
作EF⊥BC于F,
∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,
∴EF=DE=2,
∴S△BCE=
BC•EF=
×5×2=5,
故选C.
4.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( )
A.8B.6C.4D.2
【解答】解:
过点P作PE⊥BC于E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,
∴PD⊥CD,
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,
∵PA+PD=AD=8,
∴PA=PD=4,
∴PE=4.
故选C.
5.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.3B.4C.6D.5
【解答】解:
如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴
×4×2+
×AC×2=7,
解得AC=3.
故选:
A.
6.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=8cm,AC=6cm,S△ABD=12,则S△ABD:
S△ACD=( )
A.4:
3B.3:
4C.16:
9D.9:
16
【解答】解:
过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F…(1分)
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,…(3分)
∴S△ABD=
•DE•AB=12,
∴DE=DF=3…(5分)
∴S△ADC=
•DF•AC=
×3×6=9…(6分)
∴S△ABD:
S△ACD=12:
9=4:
3.
故选A.
7.△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为6cm,4cm,4cm,P为三边角平分线的交点,则△ABP,△BCP,△ACP的面积比等于( )
A.1:
1:
1B.2:
2:
3C.2:
3:
2D.3:
2:
2
【解答】解:
∵P为三边角平分线的交点,
∴点P到△ABC三边的距离相等,
∵AB,BC,CA的长分别为6cm,4cm,4cm,
∴△ABP,△BCP,△ACP的面积比=6:
4:
4=3:
2:
2.
故选D.
8.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是( )
A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°
【解答】解:
∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°,
故A选项正确,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABO=
∠ABC=
×50°=25°,
在△ABO中,
∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°,
∴∠DOC=∠AOB=85°,
故B选项错误;
∵CD平分∠ACE,
∴∠ACD=
(180°﹣60°)=60°,
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°,
故C选项正确;
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,
∴AD是△ABC的外角平分线,
∴∠DAC=
(180°﹣70°)=55°,
故D选项正确.
故选:
B.
9.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
【解答】解:
作∠E的平分线,
可得点P到AB和CD的距离相等,
因为AB=CD,
所以此时点P满足S△PAB=S△PCD.
故选D.
10.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和38,则△EDF的面积为( )
A.8B.12C.4D.6
【解答】解:
如图,过点D作DH⊥AC于H,
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DH,
在Rt△DEF和Rt△DGH中,
,
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),
∴S△EDF=S△GDH,设面积为S,
同理Rt△ADF≌Rt△ADH,
∴S△ADF=S△ADH,
即38+S=50﹣S,
解得S=6.
故选D.
二.填空题(共10小题)
11.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 3 .
【解答】解:
如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
×4×2+
×AC×2=7,
解得AC=3.
故答案为3.
12.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= 50° .
【解答】解:
延长BA,作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,
设∠PCD=x°,
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,
∴PF=PM,
∵∠BPC=40°,
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=(x﹣40)°,
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣(x°﹣40°)﹣(x°﹣40°)=80°,
∴∠CAF=100°,
在Rt△PFA和Rt△PMA中,
∵
,
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL),
∴∠FAP=∠PAC=50°.
故答案为:
50°.
13.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是 4:
3 .
【解答】解:
∵AD是△ABC的角平分线,
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1,h2,
∴h1=h2,
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB:
AC=4:
3,
故答案为4:
3.
14.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于 3 .
【解答】解:
过P作PE⊥OA于点E,则PD=PE,
∵PC∥OB,∠AOB=30
∴∠ECP=∠AOB=30°
在Rt△ECP中,PE=
PC=3
∴PD=PE=3.
15.如图所示,已知△ABC的周长是20,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,则△ABC的面积是 30 .
【解答】解:
如图,连接OA,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴OE=OF=OD=3,
∵△ABC的周长是20,OD⊥BC于D,且OD=3,
∴S△ABC=
×AB×OE+
×BC×OD+
×AC×OF=
×(AB+BC+AC)×3
=
20×3=30,
故答案为:
30.
16.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=8.对角线BD⊥CD,P是BC边上一动点,连结PD.若∠ADB=∠C,则PD长的最小值为 8 .
【解答】解:
根据垂线段最短,当DP⊥BC的时候,DP的长度最小.
∵BD⊥CD,即∠BDC=90°,又∠A=90°,
∴∠A=∠BDC,又∠ADB=∠C,
∴∠ABD=∠CBD,又DA⊥BA,BD⊥DC,
∴AD=DP,又AD=8,
∴DP=8.
故答案为:
8.
17.如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,∠BOC= 125° .
【解答】解:
∵OF=OD=OE,
∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∵∠BAC=70°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°,
∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠ACB)=
×110°=55°,
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣55°=125°.
故答案为:
125°.
18.如图所示,AB∥CD,O为∠A、∠C的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=1,则AB与CD之间的距离等于 2 .
【解答】解:
过点O作OF⊥AB于F,作OG⊥CD于G,
∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点,OE⊥AC,
∴OE=OF,OE=OG,
∴OE=OF=OG=1,
∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴∠EOF+∠EOG=(180°﹣∠BAC)+(180°﹣∠ACD)=180°,
∴E、O、G三点共线,
∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2.
故答案为:
2.
19.直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选择的地址有 4 处.
【解答】解:
∵中转站要到三条公路的距离都相等,
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点,
而外角平分线有3个交点,内角平分线有一个交点,
∴货物中转站可以供选择的地址有4个.
故答案为:
4.
20.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,以下结论:
①∠BAC=70°;②∠DOC=90°;③∠BDC=35°;④∠DAC=55°,其中正确的是 ①③④ .(填写序号)
【解答】解:
∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°,①正确;
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC=
∠ABC=25°,
∴∠DOC=25°+60°=85°,②错误;
∠BDC=60°﹣25°=35°,③正确;
∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,
∴AD是∠BAC的外角平分线,
∴∠DAC=55°,④正确,
故答案为:
①③④.
三.解答题(共10小题)
21.如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:
PM=PN.
【解答】证明:
∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
22.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:
(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.
【解答】解:
(1)∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴2∠MAD+2∠ADM=180°,
∴∠MAD+∠ADM=90°,
∴∠AMD=90°,
即AM⊥DM;
(2)作NM⊥AD交AD于N,
∵∠B=90°,AB∥CD,
∴BM⊥AB,CM⊥CD,
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴BM=MN,MN=CM,
∴BM=CM,
即M为BC的中点.
23.如图:
在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;说明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
【解答】证明:
(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC,
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF=EB;
(2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴CD=DE.
在Rt△ADF与Rt△ADE中,
,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
24.如图,△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P,求证:
点P在∠ABC的角平分线上.
【解答】证明:
作PF⊥AB于F,PG⊥BC于G,PH⊥AC于H,
∵∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P,
∴PF=PG,PH=PG,
∴PF=PH,又PF⊥AB,PH⊥AC,
∴点P在∠CAB的角平分线上.
25.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求证:
AD平分∠BAC;
(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.
【解答】
(1)证明:
∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴∠E=∠DFC=90°,
∴△BDE与△CDE均为直角三角形,
∵
∴△BDE≌△CDF,
∴DE=DF,即AD平分∠BAC;
(2)AB+AC=2AE.
证明:
∵BE=CF,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD,
∵∠E=∠AFD=90°,
∴∠ADE=∠ADF,
在△AED与△AFD中,
∵
,
∴△AED≌△AFD,
∴AE=AF,
∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE.
26.如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.
(1)求证:
OC平分∠ACD;
(2)求证:
OA⊥OC;
(3)求证:
AB+CD=AC.
【解答】证明:
(1)过点O作OE⊥AC于E,
∵∠ABD=90゜,OA平分∠BAC,
∴OB=OE,
∵点O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD,
∴OC平分∠ACD;
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中,
,
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL),
∴∠AOB=∠AOE,
同理求出∠COD=∠COE,
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=
×180°=90°,
∴OA⊥OC;
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO,
∴AB=AE,
同理可得CD=CE,
∵AC=AE+CE,
∴AB+CD=AC.
27.四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°
求证:
2AE=AB+AD.
【解答】证明:
过C作CF⊥AD于F,
∵AC平分∠BAD,
∴∠FAC=∠EAC,
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠DFC=∠CEB=90°,
∴△AFC≌△AEC,
∴AF=AE,CF=CE,
∵∠ADC+∠B=180°
∴∠FDC=∠EBC,
∴△FDC≌△EBC
∴DF=EB,
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE
∴2AE=AB+AD
28.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
【解答】
(1)证明:
连接BD,CD,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
∵DG⊥BC且平分BC,
∴BD=CD,
在Rt△BED与Rt△CFD中,
,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF;
(2)解:
在△AED和△AFD中,
,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
设BE=x,则CF=x,
∵AB=5,AC=3,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,
∴5﹣x=3
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