233234 直线与平面垂直平面与平面垂直的性质.docx
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233234直线与平面垂直平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
[学习目标]
1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.
2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.
3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.
[知识链接]
1.线面垂直的判定定理:
若一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直.
2.面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
[预习导引]
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
⇒a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线
要点一 直线与平面垂直的性质及应用
例1 (2014·平顶山高一检测)
如图,正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.
求证:
EF∥BD1.
证明 如图所示,
连接AB1、B1D1、B1C、BD,
∵DD1⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,
∴AC⊥平面BDD1B1,
又BD1⊂平面BDD1B1,
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,
A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C,
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
规律方法 证明线线平行常有如下方法:
(1)利用线线平行定义:
证共面且无公共点;
(2)利用三线平行公理:
变两线同时平行于第三条直线;
(3)利用线面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证线面平行;
(4)利用线面垂直的性质定理:
把证线线平行转化为证线面垂直;
(5)利用面面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪演练1 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:
a∥l.
证明 因为EA⊥α,α∩β=l,
即l⊂α,所以l⊥EA.
同理l⊥EB,
又EA∩EB=E,
所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β,a⊂β,
所以EB⊥a,
又a⊥AB,EB∩AB=B,
所以a⊥平面EAB.因此,a∥l.
要点二 平面与平面垂直的性质及应用
例2 已知:
α、β、γ是三个不同平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:
l⊥γ.
证明 法一 设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内任取一点P,过P在γ内作直线m⊥a,n⊥b,如图.
∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥α,n⊥β,
又∵α∩β=l,
∴m⊥l,n⊥l,又m∩n=P,∴l⊥γ.
法二 如图,α∩γ=a,
β∩γ=b,在α内作m⊥a,
在β内作n⊥b.
∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ,∴m∥n.
又∵n⊂β,m⊄β,∴m∥β,
又α∩β=l,m⊂α,∴m∥l,∴l⊥γ.
规律方法 1.证明或判定线面垂直的常用方法有:
(1)线面垂直的判定定理;
(2)面面垂直的性质定理;
(3)若a∥b,a⊥α则b⊥α;(a,b为直线,α为平面).
(4)若a⊥α,α∥β则a⊥β;(a为直线,α,β为平面).
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
跟踪演练2如图,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.
求证:
平面VBC⊥平面VAC.
证明 ∵面VAB⊥面ABCD,且BC⊥AB,面VAB∩面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD.
∴BC⊥面VAB,VA⊂平面VAB,∴BC⊥VA,
又VB⊥面VAD,∴VB⊥VA,
又VB∩BC=B,∴VA⊥面VBC,∵VA⊂面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
要点三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:
BG⊥平面PAD;
(2)求证:
AD⊥PB.
证明
(1)∵在菱形ABCD中,
G为AD的中点,∠DAB=60°,
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)
连接PG,如图,
∵△PAD为正三角形,
G为AD的中点,
∴PG⊥AD.
由
(1)知BG⊥AD,PG∩BG=G,
∴AD⊥平面PGB,
∵PB⊂平面PGB,∴AD⊥PB.
规律方法 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直;
(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪演练3 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.
PA与BD是否相互垂直?
请证明你的结论.
解 PA与BD相互垂直.证明过程如下:
如图,取BC的中点O,连接PO、AO.
∵PB=PC,
∴PO⊥BC,
又侧面PBC⊥底面ABCD,
∴PO⊥底面ABCD,又BD⊂平面ABCD.
∴PO⊥BD,
在直角梯形ABCD中,
易证△ABO≌△BCD,
∠BAO=∠CBD,∠CBD+∠ABD=90°,
∴∠BAO+∠ABD=90°,
∴AO⊥BD,
又PO∩AO=O,
∴BD⊥平面PAO,∴BD⊥PA,
即PA与BD相互垂直.
1.下列说法正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.垂直于同一条直线的两直线垂直
C.垂直于同一个平面的两直线平行
D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
答案 C
解析 由线面垂直的性质定理知C正确.
2.平面α⊥平面β,a⊥α,则有( )
A.a∥βB.a∥β或a⊂β
C.a与β相交D.a⊂β
答案 B
解析 由已知易得:
a∥β或a⊂β.
3.设α-l-β是直二面角,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l都不垂直,那么( )
A.a与b可能垂直,但不可能平行
B.a与b可能垂直,也可能平行
C.a与b不可能垂直,但可能平行
D.a与b不可能垂直,也不可能平行
答案 C
解析
当a,b都与l平行时,
则a∥b,所以A、D错,
如图,若a⊥b过a上一点P在α内作a′⊥l,
因为α⊥β,所以a′⊥β,
又b⊂β,∴a′⊥b,∴b⊥α,
而l⊂α,∴b⊥l,与b和l不垂直矛盾,所以B错.
4.已知a、b为直线,α、β为平面.在下列四个命题中,正确的命题是________.
①若a⊥α,b⊥α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a⊥α,a⊥β,则α∥β;④若α∥b,β∥b,则α∥β.
答案 ①③
解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真;由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假;由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真;易知④假.
5.如图在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________.
答案
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),∴PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AB,∴PB=
=
=
.
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:
一、基础达标
1.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 D
解析 由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直D.相交且垂直
答案 D
解析
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF⊂面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1,答案D正确.
3.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则( )
A.PD⊂平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
答案 B
解析 ∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,
∴PD⊥平面ABC.
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析
如图,在平面图形中CD⊥BD,折起后仍然满足CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB.又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,所以平面ADC⊥平面ABC.
5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
答案 D
解析
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面BCC1B1⊥平面ABCD,BC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面ABCD,而BC1不垂直于BC,故A错误.
平面A1B1C1D1∥平面ABCD,B1D1⊂平面A1B1C1D1,
AC⊂平面ABCD,但B1D1和AC不平行,故B错误.
AB⊥A1D1,AB⊂平面ABCD,A1D1⊂平面A1B1C1D1,但平面A1B1C1D1∥平面ABCD,故C错误.故选D.
6.在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,BC=CD=
,AB⊥AD,沿BD将△ABD折起,使得AC=1,则二面角A-BD-C的平面角的正弦值为________.
答案
解析 在平面四边形ABCD中,
取BD的中点E,由条件知A、E、C共线,
且为BD的垂直平分线,
又在△ABD中,AB⊥AD,AB=AD=1,
∴BD=
,∴AE=
BD=
;
在△CBD中,BC=DC=
,
∴CE=
,沿BD折叠后,
∠AEC为二面角A-BD-C的平面角,
又AC=1,∴在△AEC中,AE2+AC2=CE2,
∠EAC=90°,∴sin∠AEC=
=
=
.
7.如图三棱锥P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,∠ACP=30°,平面PAC⊥平面ABC.求证:
平面PAB⊥平面PBC.
证明 ∵平面PAC⊥平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,
∴PA⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC,AB∩PA=A,
∴BC⊥平面PAB.
又BC⊂平面PBC,
∴平面PAB⊥平面PBC.
二、能力提升
8.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
答案 A
解析 连接AC1,∠BAC=90°,即AC⊥AB,又AC⊥BC1,AB∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC,于是平面ABC1⊥平面ABC,且AB为交线,因此,点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上,故选A.
9.如图,正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系:
①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )
A.①与②B.①与③
C.②与③D.③与④
答案 B
解析 由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,排除C、D;若SE⊥平面EFG,则SG∥SE,这与SG∩SE=S矛盾,排除A,故选B.
10.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________.
答案
解析 取CD的中点G,连接MG,NG.
因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=
.
因为平面ABCD⊥平面DCEF,
所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG,
所以MN=
=
.
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明
(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,
且PA垂直于这两个平面的交线AD,
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,
E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,
AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由
(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE,EF∩BE=E,
所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.
三、探究与创新
12.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AD=2AB=2a,BD=
a,AC∩BD=E,将其沿对角线BD折成直二面角.
求证:
(1)AB⊥平面BCD;
(2)平面ACD⊥平面ABD.
证明
(1)在△ABD中,AB=a,AD=2a,BD=
a,
∴AB2+BD2=AD2,
∴∠ABD=90°,AB⊥BD.
又∵平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,
∴AB⊥平面BCD.
(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形,
且AB⊥BD,
∴CD⊥BD.
∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD.
∴AB⊥CD.
∵AB∩BD=B,
∴CD⊥平面ABD.
又∵CD⊂平面ACD,
∴平面ACD⊥平面ABD.
13.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且
=
=λ(0<λ<1).
(1)求证:
不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
(1)证明 ∵AB⊥平面BCD,
∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC=B,
∴CD⊥平面ABC.
又∵
=
=λ(0<λ<1),
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,
∴EF⊥平面ABC.
又EF⊂平面BEF.
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解 由
(1)知,EF⊥BE,
又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,
∠ADB=60°,AB⊥平面BCD,
∴BD=
,
AB=
tan60°=
.
AC=
=
,
由AB2=AE·AC得AE=
,
∴λ=
=
,
故当λ=
时,
平面BEF⊥平面ACD.
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