高考数学一轮复习第6课时二倍角的三角函数1教学案.docx
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高考数学一轮复习第6课时二倍角的三角函数1教学案
2019-2020年高考数学一轮复习第6课时二倍角的三角函数
(1)教学案
【课题】二倍角的三角函数
(1)
【学习目标】:
(1)利用化归思想导出倍角公式;
(2)能利用倍角公式进行简单的化简、求值和证明.
【知识点回顾】
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式:
(1)
.
(2)
.
.
(3)
2.升幂公式和降幂公式:
(1)升幂:
.
.
(2)降幂:
【基础知识】
1.化简:
.
.
;
(2)cos2sin2;
(1)2sin6730cos6730
8
8
(3)2cos
2
1
;(4)12sin
2
75;
12
tan22.5
(5)
;(6)sin15sin75;
1tan
2
22.5
(7)sin
2
3cos
2
3
cos40cos80
;(8)sin
;(10)sin10
x2sincos
12
4
15cos
4
15;
(9)cos10
o
cos20
o
o
o
o
sin30
o
sin50
o
sin70
o
.
2.化简:
sin
2
(x)sin
2
(x)sin
2
.
3
3
12
3.化简:
(1)=
4.,则.
(2)=
.
2sin21
2
sincos
5.若f()2tan
则
.
2
2
6.若tan2,sin2cos2
sin2cos2
.
【例题分析】
2cosx1
2
例
1
化
简
:
(
1
)
2tanxsin
x
4
2
4
(1sincos)sincos
2
20
(2)
22cos
例2
已知,求
例3
已知求:
(1)sin
2
2
sin2;
cos2
(2)tan(5).
cos
4
5sin28sincos11cos
8
2
2
3,tan
1
10
求
3
2
2
2
例4
(1)已知
的值.
4
tan
2sin()
2
(2)已知2sin
2
xsin2x(x),求的值.
1
1tanx24
2
【巩固迁移】
1.若化简
2.化简:
=
3.化简:
.
.
.
4.若cosα=,且α∈(0,),则tan=__________________.
5.已知sin+cos=,求sinθ,cos2θ.
6.已知,求.
【反思总结】
2019-2020年高考数学一轮复习第7章立体几何7.1空间几何体的结构及
其三视图和直观图学案文
[知识梳理]
1.多面体的结构特征
2.旋转体的结构特征
3.直观图
(1)画法:
常用斜二测画法.
(2)规则
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°),
z′轴与x′轴(或y′轴)垂直.
②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段
在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半.
4.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、
正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)三视图的画法
①基本要求:
长对正,高平齐,宽相等.
②画法规则:
正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(
)
)
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=
90°,则在直观图中,∠A=45°.(
)
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.(
)
答案
(1)×
(2)×(3)×(4)×
2.教材衍化
(1)(必修A2P15T4)如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的几何体是(
)
答案A
解析对于A,该几何体的三视图恰好与已知图形相符,故A符合题意;对于B,该几
何体的正视图的矩形中,对角线应该是虚线,故不符合题意;对于C,该几何体的正视图的
矩形中,对角线应该是从左上到右下的方向,故不符合题意;对于D,该几何体的侧视图的
矩形中,对角线应该是虚线,不符合题意.故选A.
(2)(必修A2P28T3)如图1所示,是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何
体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2,若此几何体的俯视图如图2所示,则可以作为
其正视图的是(
)
答案C
解析由直观图和俯视图知,正视图中点D1的射影是B1,侧棱B1B是看不见的,在直观
图中用虚线表示.所以正视图是选项C中的图形.故选C.
3.小题热身
(1)(xx·长沙模拟)如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥
A-BCD的正视图,俯视图是(注:
选项中的上图是正视图,下图是俯视图)(
)
答案A
解析正视图是等腰直角三角形,且AD棱属于看不见的部分,用虚线表示,俯视图也
是等腰直角三角形,且BD棱属于看不见的部分,用虚线表示.故选A.
(2)(xx·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(
)
A.32B.23C.22D.2
答案B
解析在正方体中还原该四棱锥,如图所示,
可知SD为该四棱锥的最长棱.
由三视图可知正方体的棱长为2,
故SD=2+2+2=23.
222
故选B.
题型1空间几何体的结构特征
下列结论正确的个数是________.
典例
(1)有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱;
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
(3)有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
(5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.
举反例.
答案0个
解析
(1)
(2)(3)(4)的反例见下面四个图.
(5)平行于轴的连线才是母线.
方法技巧
空间几何体结构特征有关问题的解题策略
1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举
反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元
素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意应用“还
台为锥”的解题策略.
冲关针对训练
下列结论正确的是________.
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥.
②若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.
③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形.
④一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
答案③
解析①错误,如图1;②错误,若两个垂直于底面的侧面平行,则可为斜棱柱;③正
确,如图2,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,那么四棱锥P-ABCD四个侧面都是直角三
角形;④错误,当截面与底面不平行时,不正确.
题型2空间几何体的直观图
(xx·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△
典例
A′B′C′的面积为(
)
A.
3a
4
2
B.
3a
8
2
C.
6a
8
2
D.
6a
2
16
根据平面图形的原图形与直观图的关系求
解.
答案D
解析如图
(1)所示的是△ABC的实际图形,图
(2)是△ABC的直观图.
由图
(2)可知A′B′=AB=a,O′C′=OC=3a,在图
(2)中作C′D′⊥A′B′于D′,
1
2
4
则C′D′=2O′C′=6a.∴S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×a×6a=6a
.故选D.
2
16
1
1
2
8
2
2
8
[条件探究]若将典例条件变为“△ABC的直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形”,
则△ABC的面积是多少?
解
a
x
在△A1D1C1中,由正弦定理
1
=
sin45°sin120°
,
得x=6a,∴S△ABC=×a×6a=6a
2
.
2
2
2
方法技巧
用斜二测画法画直观图的技巧
1.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中仍然与x′轴或y′轴平行.
2.原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线.
3.原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点,然后用平滑曲
线连接.
冲关针对训练
用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边AB平行于y轴,BC,AD平行于x轴.已
知四边形ABCD的面积为22cm
2
,则原平面图形的面积为(
)
A.4cm
C.8cm
答案C
2
B.42cm
2
2
2
D.82cm
解析依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯形,上下底面的长与BC,AD
相等,高为梯形ABCD的高的22倍,所以原平面图形的面积为8cm.故选C.
2
题型3空间几何体的三视图
角度1已知几何体识别三视图
(xx·湖南长沙三校一模)已知点E,F,G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,
典例
CC1,DD1的中点,点M,N,Q,P分别在线段DF,AG,BE,C1B1上.以M,N,Q,P为顶点的
三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是(
)
答案C
解析当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时,三棱锥P-MNQ的俯视
图为A;当M,N,Q,P是所在线段的中点时,三棱锥P-MNQ的俯视图为B;当M,N,Q,P
位于所在线段的非端点位置时,存在三棱锥P-MNQ,使其俯视图为D.不管M,N,P,Q在什
么位置,三棱锥P-MNQ的俯视图都不可能是正三角形.故选C.
角度2已知三视图还原几何体
(xx·河北名师俱乐部模拟)某几何体的三视图如图所示,记A为此几何体所
典例
有棱的长度构成的集合,则(
)
A.3∈AB.5∈AC.26∈AD.43∈A
答案D
解析由三视图可得,该几何体的直观图如图所示,其中底面是边长为4的正方形,AF
⊥平面ABCD,AF∥DE,AF=2,DE=4,可求得BE的长为43,BF的长为25,EF的长为
25,EC的长为42.故选D.
方法技巧
1.已知几何体,识别三视图的技巧
已知几何体画三视图时,可先找出各个顶点在投影面上的投影,然后再确定线在投影面
上的实虚.
2.已知三视图,判断几何体的技巧
(1)一般情况下,根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组合体.
(2)根据俯视图确定是否为旋转体,确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置.
(3)综合三个视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体.
提醒:
对于简单组合体的三视图,应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.
冲关针对训练
(xx·文登市三模)空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为(
)
答案A
解析由已知三视图的上部分是锥体,是三棱锥,三棱锥的底面是等腰三角形,但不是
直角三角形,排除B,C.等腰三角形的一个顶点在正方体一条棱的中点,故排除D.故选A.
1.(xx·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等
腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有
若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(
)
A.10B.12C.14D.16
答案B
解析观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面
是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角
三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中共有2个梯形,且这两个梯形全等,梯
1
形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2××(2+4)×2=12.故
2
选B.
2.(xx·全国卷Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相
28π
垂直的半径.若该几何体的体积是
,则它的表面积是(
)
3
A.17πB.18πC.20πD.28π
答案A
1
解析由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则
8
7
4
28
3
7
4
7
该几何体的体积为×πR
8
3
,即
π=×πR
3
3
,解得R=2.故其表面积为×4π×2
8
2
+
3
8
3×1×π×2
4
2
=17π.故选A.
3.(xx·山西模拟)某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示,若俯视图中的多边形为
正六边形,则该几何体的侧(左)视图的面积为(
)
15
A.
2
B.6+3
C.3+33
2
D.43
答案A
解析由题图可知该几何体的侧视图如图,则该几何体的侧(左)视图的面积为3×2+
1
2
15
×3×3=,故选A.
2
4.(xx·济宁模拟)点M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1,A1D1的中点,用过A,
M,N和D,N,C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1,则该几何体的正
视图、侧视图、俯视图依次为图2中的(
)
A.①②③B.②③④C.①③④D.②④③
答案B
解析由正视图的定义可知:
点A,B,B1在后面的投影点分别是点D,C,C1,线段AN
在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段,另外线段AM在后
面的投影线要画成实线,被遮挡的线段DC1要画成虚线,正视图为②;同理可得侧视图为③,
俯视图为④.故选B.
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(
)
答案D
解析由俯视图是圆环可排除A,B,C,进一步将已知三视图还原为几何体,故选D.
2.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,M,E是AB的三等分点,G,N是CD
的三等分点,F,H分别是BC,MN的中点,则四棱锥A′-EFGH的侧视图为(
)
答案C
解析侧视图中A′E,A′G重合,A′H成为A′N,A′F,A′B重合,侧视图为向左
倾斜的三角形.故选C.
3.(xx·临沂模拟)如图甲,将一个正三棱柱ABC-DEF截去一个三棱锥A-BCD,得到
几何体BCDEF,如图乙,则该几何体的正视图(主视图)是(
)
答案C
解析由于三棱柱为正三棱柱,故平面ADEB⊥平面DEF,△DEF是等边三角形,所以CD
在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线,CD的投影与底面不垂直.故选C.
4.(xx·江西景德镇质检)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1上、下底面中心分别为O1,
O2,将正方体绕直线O1O2旋转一周,其中由线段BC1旋转所得图形是(
)
答案D
解析由图形的形成过程可知,在图形的面上能够找到直线,在B,D中选,显然B不
对,因为BC1中点绕O1O2旋转得到的圆比B点和C1点的小.故选D.
π
5.(xx·内江模拟)如图,已知三棱锥P-ABC的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=,
2
侧面PAB⊥底面ABC,AB=PA=PB=2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是
(
)
A.3,1,2B.3,1,1C.2,1,2D.2,1,1
答案B
π
解析∵三棱锥P-ABC的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=,侧面PAB⊥底面ABC,
2
AB=PA=PB=2;
∴x是等边△PAB边AB上的高,x=2sin60°=3,
1
1
y是边AB的一半,y=AB=1,z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线,z=AB=1;
2
2
∴x,y,z分别是3,1,1.故选B.
6.(xx·南昌二模)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),
1,1,0
(1,0,1),(0,1,1),2
,绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,
)
则得到侧(左)视图可以为(
答案B
解析满足条件的四面体如下图,
依题意投影到yOz平面为正投影,所以侧(左)视方向如图所示,所以得到侧(左)视图效
果如上图.故选B.
7.(xx·湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发,经正方体的表
面,按最短路线爬行到顶点C1的位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线
的正视图的是(
)
A.①②
答案D
B.①③C.③④D.②④
解析由点A经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1的位置,共有6种路线(对
应6种不同的展开方式),若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内,连接AC1,则AC1
是最短路线,且AC1会经过BB1的中点,此时对应的正视图为②;若把平面ABCD和平面CDD1C1
展到同一个平面内,连接AC1,则AC1是最短路线,且AC1会经过CD的中点,此时对应的正
视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现.故选D.
8.(xx·山西康杰中学模拟)已知某锥体的正视图和侧视图如图所示,其体积为23,
3
则该锥体的俯视图可能是(
)
答案C
=3,因为该锥体的体积为23,所以该
解析由正视图得该锥体的高是h=2-1
22
锥体的底面面积是S=
3
2323
3
=3=2,A项的正方形的面积是2×2=4,B项的圆的面积是π×1
3
2
=π,C项的
1
3
h
3
1
大三角形的面积是×2×2=2,D项图形不满足三视图“宽相等”原则,所以不可能是该锥
2
体的俯视图.故选C.
9.早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法,其中商鞅铜方升是公
元前344年商鞅督造的一种标准量器,其三视图如图所示(单位:
寸),若π取3,其体积为
12.6(立方寸),则图中的x为(
)
A.1.2B.1.6C.1.8D.2.4
答案B
解析由三视图知,商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的,利用体积及已
1
1
2
×x=16.2-3x+πx=
4
知线段长度即可求出x.故其体积为(5.4-x)×3×1+π×2
12.6,又π=3,故x=1.6.故选B.
10.(xx·辽宁六校联考)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中
水面的高度h随时间t变化的可能图象是(
)
答案B
解析根据所给的三视图可知原几何体是倒放的圆锥,设圆锥的底面半径为R,高为H,
h
3
1
3vH
2
t,这是一个幂
水流的速度是v,则由题意得vt=πH
2
R
2
h.当vt>0时,解得h=
3
πR
2
3
型函数,所以容器中水面的高度h随时间t变化的图象类似于幂函数y=x的图象,故选
B.
二、填空题
11.如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的
直观图,则原图形的周长是________cm.
答案8
解析根据直观图的画法可知,在原几何图形中,OABC为平行四边形,且有OB⊥OA,
OB=22,OA=1,所以AB=3.从而原图的周长为8cm.
12.如图,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,
点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是
(填出所有可能的序号).
答案①②③
解析空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①;在平面BCC′B′上
的投影是②;在平面ABCD上的投影是③,而不可能出现的投影为④的情况.
13.一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是________.
答案23
解析由三视图可知该四面体为D-BD1C1,由直观图可知面积最大的面为△BDC1.在正三
1
角形BDC1中,BD=22,所以面积S=×(22)×
2
3=23.
2
2
14.(xx·大连模拟)某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的
是________.
答案27
解析由三视图可知该四面体为V-ABC,如图所示.其中AE⊥BE,VC⊥平面ABE.EC=
CB=2,AE=23,VC=2,所以VB
=20,VA=20=25.AB
27>25,所以该四面体的六条棱的长度中,最大的为27.
2
=VC
2
+CB
2
=8,AC
2
=AE
2
+EC
2
=(23)
+2=16,所以VA
222
=AC
2
+VC
2
=16+2
2
2
=AE
2
+EB
2
=(23)=28,所以AB=28=
+4
22
三、解答题
15.已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.
(1)画出该三棱锥的直观图;
(2)求出侧视图的面积.
解
(1)如下图所示.
(2)根据三视图间的关系可得BC=
23,
∴侧视图中VA=
2×3×23
2
4
2
-3
2
=23.
1
∴S△VBC=×23×23=6.
2
16.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8,
高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.
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- 高考 数学 一轮 复习 课时 二倍 三角函数 教学