届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编解析版第5章 平面向量.docx
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届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编解析版第5章 平面向量.docx
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届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编解析版第5章平面向量
第五章 平面向量
命题探究
解答过程:
答案:
A
解析:
(解法一)如图,以A为原点,以AB,AD所在直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2).
动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,设圆的半径为r,
∵BC=2,CD=1,∴BD==,
∴BC·CD=BD·r,∴r=,
∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=,
设点P的坐标为.
∵=λ+μ,
∴=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),
∴cosθ+1=λ,sinθ+2=2μ,
∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2.
∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴1≤λ+μ≤3,
故λ+μ的最大值为3,故选A.
(解法二)分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,
∴可设P.
则=(0,-1),=(-2,0),=.
又=λ+μ,
∴λ=-sinθ+1,μ=-cosθ+1,
∴λ+μ=2-sinθ-cosθ=2-sin(θ+φ),
其中tanφ=,∴(λ+μ)max=3
目录:
§5.1 平面向量的基本概念与线性运算
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
§5.3 平面向量的数量积及其应用
§5.1 平面向量的基本概念与线性运算
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.平面向量的基本
概念与线性运算
①了解向量的实际背景;
②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;
③理解向量的几何表示;
④掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义
掌握
2015课标Ⅰ,7;
2015陕西,7;
2013四川,12
选择题
填空题
★★☆
2.向量的共线问题
①掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;
②了解向量线性运算的性质及其几何意义
掌握
2015课标Ⅱ,13;
2013陕西,3
选择题
填空题
★★☆
分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.
五年高考
考点一 平面向量的基本概念与线性运算
1.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+
B.=-
C.=+
D.=-
答案 A
2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是( )
A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案 B
3.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= .
答案 2
考点二 向量的共线问题
1.(2013陕西,3,5分)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
2.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
答案
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 平面向量的基本概念与线性运算
1.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC中,G为重心,记a=,b=,则=( )
A.a-bB.a+b
C.a-bD.a+b
答案 A
2.(2017山西大学附中期中,6)如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a+b+c可表示为( )
A.3e1-2e2B.-3e1-3e2C.3e1+2e2D.2e1+3e2
答案 C
3.(2017河北石家庄二中联考,7)M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC中点,则的值为( )
A.B.C.1D.2
答案 B
4.(人教A必4,二,2-2A,12,变式)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m,使得+=m成立,则m=( )
A.2B.3C.4D.5
答案 B
考点二 向量的共线问题
5.(2016河南安阳二模,5)向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为( )
A.B.
C.D.
答案 A
6.(2018北师大附中期中,13)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若∥a,则点B的坐标为 .
答案 (-3,-6)
7.(2017江西九校12月联考,14)已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且=3,则||= .
答案
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:
25分 时间:
20分钟)
选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P是△ABC所在平面上的一点,满足++=2,若S△ABC=6,则△PAB的面积为( )
A.2B.3C.4D.8
答案 A
2.(2017湖北宜昌一中月考,9)已知O为△ABC的外心,D,E分别为AB,AC的中点,||=16,||=10.若=x+y,且32x+25y=25,则||=( )
A.8B.10C.12D.14
答案 B
3.(2017安徽皖智教育月考,8)在矩形ABCD中,AB=,BC=,P为矩形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为( )
A.B.C.D.
答案 B
4.(2016广东茂名二模,9)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是( )
A.24B.8C.D.
答案 B
5.(2016河南中原名校3月联考,8)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=( )
A.-B.-
C.-+D.-+
答案 C
C组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法
1.(2018吉林长春模拟,6)D为三角形ABC所在平面内一点,且=+,则=( )
A.B.C.D.
答案 B
2.(2017安徽池州模拟,7)梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AC交BD于O点,过O点的直线分别交AD、BC于E、F点,=m,=n,则+=( )
A.2B.C.1D.
答案 B
3.(2016河南开封二模,14)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,则|c|的最大值M= .
答案 +1
方法2 向量共线问题的解决方法
4.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=,b=(cosα,1),且a∥b,则cos2α=( )
A.B.-C.D.-
答案 C
5.(2017湖北恩施月考,14)设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量=2e1+tanα·e2,=e1-e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则= .
答案 0
6.(2016天津和平二模,11)在△ABC中,过中线AD的中点E作一条直线分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y(x>0,y>0),则4x+y的最小值为 .
答案
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.平面向量基本定理
了解平面向量的基本定理及其意义
了解
2017江苏,12;
2015北京,13;
2013北京,13
选择题
填空题
★☆☆
2.平面向量的坐标运算
①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;
③理解用坐标表示的平面向量共线的条件
掌握
2016课标全国Ⅱ,3;
2015江苏,6;
2014陕西,13;
2013重庆,10
选择题
填空题
★★☆
分析解读 1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.
五年高考
考点一 平面向量基本定理
1.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .
答案 ;-
2.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= .
答案 4
考点二 平面向量的坐标运算
1.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8B.-6
C.6D.8
答案 D
2.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 .
答案 -3
3.(2014陕西,13,5分)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ= .
答案
教师用书专用(4—5)
4.(2013重庆,10,5分)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案 D
5.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为 .
答案
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 平面向量基本定理
1.(2018江西南昌二中月考,9)D是△ABC所在平面内一点,=λ+μ(λ,μ∈R),则“0<λ<1,0<μ<1”是“点D在△ABC内部(不含边界)”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.(2018江西新余一中四模,7)已知△OAB,若点C满足=2,=λ+μ(λ,μ∈R),则+=( )
A.B.
C.D.
答案 D
3.(人教A必4,二,2-3B,3,变式)正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为( )
A.B.-C.1D.-1
答案 A
4.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=( )
A.B.
C.1D.
答案 A
5.(2017河南安阳调研,13)已知G为△ABC的重心,令=a,=b,过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点,且=ma,=nb,则+= .
答案 3
考点二 平面向量的坐标运算
6.(2018海南海口模拟,5)已知两个非零向量a与b,若a+b=(-3,6),a-b=(-3,2),则a2-b2的值为( )
A.-3B.-24C.21D.12
答案 C
7.(2017河北冀州模拟,7)已知向量a=,b=(4,4cosα-),若a⊥b,则sin=( )
A.-B.-C.D.
答案 B
8.(2017福建四地六校4月联考,13)已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点,且=(+-),则||等于 .
答案 2
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:
15分 时间:
10分钟)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018四川德阳三校联考,11)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,I是△ABC的内心,若=m+n(m,n∈R),则=( )
A.B.C.2D.
答案 B
2.(2017安徽安庆模拟,6)已知a,b∈R+,若向量m=(2,12-2a)与向量n=(1,2b)共线,则+的最大值为( )
A.6B.4C.3D.
答案 A
二、填空题(共5分)
3.(2016河北石家庄二模,15)在△ABC中,||=3,||=5,M是BC的中点,=λ(λ∈R),若=+,则△ABC的面积为 .
答案
C组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 平面向量基本定理及其应用策略
1.(2018河南林州一中调研,9)已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点P在△COD的内部(不含边界).若=x+y,则实数对(x,y)可以是( )
A.B.
C.D.
答案 D
2.(2017山西大学附中模拟,15)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD长为半径的圆弧DE上运动(如图所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是 .
答案 [-1,1]
方法2 平面向量的坐标运算技巧
3.(2018重庆一中月考,10)给定两个单位向量,,且·=-,点C在以O点为圆心的圆弧AB上运动,=x+y,则x-y的最小值为( )
A.-B.-1C.-2D.0
答案 B
4.(2016江西赣州二模)设向量=(x+2,x2-cos2α),=,其中x,y,α为实数,若=2,则的取值范围为( )
A.[-6,1]B.[-1,6]
C.[4,8]D.(-∞,1]
答案 A
方法3 方程的思想方法
5.(2017山西临汾一中月考,4)已知向量a=(2,m),b=(1,1),若a·b=|a-b|,则实数m=( )
A.B.-C.D.-
答案 D
6.(2018吉林长春期中,15)向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ(λ,μ∈R),则= .
答案 2
7.(2016浙江温州二模,13)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,M,N分别为线段BC,CD(不包括端点)上的点,且满足+=1,若=x+y,则x+y的最小值为 .
答案
§5.3 平面向量的数量积及其应用
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.数量积的定义
(1)平面向量的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
②了解平面向量的数量积与向量投影的关系;
③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
(2)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
理解
2017浙江,10;
2016天津,7;
2015湖北,11;
2014课标Ⅱ,3
选择题
填空题
★★★
2.平面向量的
长度问题
掌握
2017课标全国Ⅰ,13;
2017浙江,15;
2016北京,4;
2014浙江,8
选择题
填空题
★★★
3.平面向量的夹角、
两向量垂直及数
量积的应用
掌握
2017课标全国Ⅱ,12;
2017山东,12;
2016山东,8;
2015重庆,6;
2014重庆,4
选择题
填空题
★★★
分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.
五年高考
考点一 数量积的定义
1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( )
A.I1 C.I3 答案 C 2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( ) A.-B.C.D. 答案 B 3.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( ) A.1B.2 C.3D.5 答案 A 4.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·= . 答案 9 教师用书专用(5) 5.(2013湖北,6,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为( ) A.B. C.-D.- 答案 A 考点二 平面向量的长度问题 1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D 2.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( ) A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 答案 D 3.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 答案 2 教师用书专用(4) 4.(2013天津,12,5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为 . 答案 考点三 平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用 1.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos A.4B.-4 C.D.- 答案 B 2.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( ) A.-a2B.-a2 C.a2D.a2 答案 D 3.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( ) A.13B.15C.19D.21 答案 A 4.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 . 答案 教师用书专用(5—8) 5.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( ) A.B.C.D.π 答案 A 6.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=( ) A.20B.15C.9D.6 答案 C 7.(2014重庆,4,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( ) A.-B.0C.3D. 答案 C 8.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①S有5个不同的值 ②若a⊥b,则Smin与|a|无关 ③若a∥b,则Smin与|b|无关 ④若|b|>4|a|,则Smin>0 ⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为 答案 ②④ 三年模拟 A组 2016—2018年模拟·基础题组 考点一 数量积的定义 1.(2018北京朝阳期中,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则·=( ) A.5B.-5C.1D.-1 答案 D 2.(2017福建龙岩二模,7)已知向量与的夹角为60°,且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数的值为( ) A.B.C.6D.4 答案 A 3.(2017江西抚州七校联考,7)在Rt△AOB中,·=0,||=,||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若·=,则向量在向量上的投影为( ) A.B.1 C.1或D.或 答案 D 4.(2017广东惠州调研,13)已知|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则(a-2b)·(a+b)= . 答案 12 考点二 平面向量的长度问题 5.(2018全国名校大联考,10)设向量a,b,c满足|a|=|b|=2,a·b=-2, A.4B.2C.D.1 答案 A 6.(2017福建漳州八校4月联考,5)在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,则·的值为( ) A.3B.-3C.-D. 答案 D 7.(2017湖南永州一模,11)已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),则的最大值为( ) A.B.C.D.3 答案 A 8.(2016江西赣南五校二模,6)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+且||=||,则向量在方向上的投影为( ) A.B.C.-D.- 答案 A 考点三 平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用 9.(2018福建三明一中期中,8)已知O是△ABC所在平面上一点,满足||2+||2=||2+||2,则点O( ) A.在过点C且与AB垂直的直线上 B.
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