机器人避障建模论文概要.docx

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机器人避障建模论文概要

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等与队外的任何人（包括指导教师研究、讨论与赛题有关的问题.

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理.

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写:

D

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话:

13286005

所属学校（请填写完整的全名:

黄冈职业技术学院

参赛队员（打印并签名:

1.王欢

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名:

数模教练组

日期:

2012年9月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号:

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号:

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用:

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号:

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号:

机器人避障行走路径的优化模型

摘要

在科学探索和紧急抢险中经常会遇到对与一些危险或人类不能直接到达的地域的探测,这些就需要用机器人来完成.而机器人在复杂地形中行进时自动避障是一项必不可少也是最基本的功能.

本文研究了机器人最短避障路径和最短时间的避障路径问题.主要研究了在一个区域中存在12个障碍物,由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点回到出发点的两种情况.我们通过证明具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的,一部分是平面上的自然最短路径即直线段,另一部分是限定区域的部分边界,这两部分是

相切的、互相连接的[1].据此,我们可以认为最短路径一定是由直线段和圆弧组成,因此我们建立了线圆结构,在这种结果上面,我们再运用解析几何的方法建立模型:

AF=2122-210-30080-300ρ+,OE=2

122-0-2100-80ρ+（（（（（（（（[]⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−×−+−×−+−−−+−+−+−−−+−−−+−==22222222222

2122111021008021030080300203000300210300803000210080arccos0210080arccos21030080300arccos-2EFρρπρθρ然后运用matlab软件进行求解,最终得到最短路径:

O→A最短距离为:

471.005,O→B最短距离为:

975.6588

O→C最短距离为:

1092.2892,O→A→B→C→O最短距离为:

2714.3069

对于最短时间路径,采取非线性规划法建立模型:

（0

2

2222201.010（30030012VyxyxVearTr

−+−++++=−,然后运用lingo软件求解,最终得出最短时间:

O→A最短时间为:

84.084919.关键字:

最短路径最短时间路径非线性规划避障路径

一、问题的背景与提出

下图中是一个800×800的平面场景图,在原点O（0,0点处有一个机器人,它只能在该平面场景范围内活动.图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物,障碍物的数学描述如下表:

编号障碍物名称左下顶点坐标其它特性描述

1正方形（300,400边长200

2圆形圆心坐标（550,450,半径70

3平行四边形（360,240底边长140,左上顶点坐标（400,330

4三角形（280,100上顶点坐标（345,210,右下顶点坐标（410,1005正方形（80,60边长150

6三角形（60,300上顶点坐标（150,435,右下顶点坐标（235,3007长方形（0,470长220,宽60

8平行四边形（150,600底边长90,左上顶点坐标（180,680

9长方形（370,680长60,宽120

10正方形（540,600边长130

11正方形（640,520边长80

12长方形（500,140长300,宽60

在题中的平面场景中,障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位,否则将发生碰撞,若碰撞发生,则机器人无法完成行走.

机器人直线行走的最大速度为5个单位/秒.机器人转弯时,最大转弯速度为21.01001ρ−+e

v,其中是转弯半径,如果超过该速度,机器人将发生侧翻,无法完成行走.

建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O（0,0,A（300,300,B（100,700,C（700,640,具体计算:

（1机器人从O（0,0出发,O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径.

（2机器人从O（0,0出发,到达A的最短时间路径.

注:

要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间.

二问题的分析

问题一中要求机器人从定点O（0,0按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的最短路径,我们可以采用穷举法列出O到每个目标点的可能的最短路径,然后比较其大小便可得出O到目标点的最短路径.求机器人从定点O（0,0经过中间的若干点按照一定的规则绕过障碍物回到O点,这时我们考虑的就不仅仅是经过障碍物拐点的问题,也应该考虑经过路径中的目标点处转弯的问题,这时简单的线圆结构就不能解决这种问题,我们在拐点及途中目标点处都采用最小转弯半径的形式,求得最短路径.

问题二中要求机器人从定点O（0,0按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的最短时间路径,我们可以对最短路径模型进行优化,从而求出最短时间路径.

三模型的假设

1.假设机器人在直线上和圆弧上均以最大速度行走,机器人改变速度时的时间忽略不计.

2.假设机器人的体积、质量不计,可以把机器人看作一个点.

3

四符号的说明

符号

符号说明L路径的总长度id第i段切线的长度jl第j段圆弧的长度

r转弯半径EF圆弧的弧长T

时间

五模型的建立与求解

5.1先来证明一个猜想 猜想:

具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的:

一部分是平面上的自然最短路

径（即直线段,另一部分是限定区域的部分边界,这两部分是相切的,互相连接的（即问题分析中的拉绳子拉到最紧时的状况. 

证明:

 假设在平面中有A（a,0和B（-a,0两点,中间有一个半圆形的障碍物 证明从A到B的圆弧路径为AEFB.

平面上连接两点最短的路径是通过这两点的直线段,但是连接两点的线段于障碍物相交,所以设法尝试折线路径.在y轴上取一点C（0,y,若y适当大,则折线ACB与障碍物不相交,折线ACB的长度为:

 2

22yaACB+=（1

显然ACB随着y的减小而减小,减小y得y→1y,即C→1C,使得1AC与BC1与障碍物

相切,切点分别为E和F,显然BAC1是这种折线路径中最短的.由于满足2

0π

α〈〈的角满足,

ααtan〈,所以易知弧度EF小于FEC1的长,即FECEF1〈,从而BACFBEFAE1〈++,记线段AE、弧度EF、线段FB为AEFB,那么AEFB比任何折线路径都短.

下面在考察一条不穿过障碍物的任何一条路径,设其分别于OE和OF的延长线交与P、Q两点,记A和P之间的路径长度为AP,显然AP>|AP|,又由EOAE⊥,所以|AP|>AE,从而AP>AE,同理可得BQ>BF.

4

再来比较PQ之间路径长度PQ和圆弧EF的长度的大小.若PQ之间的路径可有极坐标方程（θρρ=,则有1〉ρ,可得:

∫∫−−≥+=EFddPQ3

22π

θθρρ（2

亦即路径APQB的长度超过路径AEFB的长度.以上证明足以说明了AEFB是满足条件A到B的最短路径.   5.1.1建立O→A的模型

方案一:

图1

在图1中,令半径为ρ1,5号正方形的左上角坐标为D（80,210以D点画半径为ρ的圆,从O,A两点向圆做切线,切点为E（1x,2x、F（x2,y2有AF=2

122-210-30080-300ρ+（3OE

=

2122-0-2100-80ρ+（4

圆弧EF

（（（（（（⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎝

⎛

−+−×−+−×−+−−−+−+−+−−−+−−−+−==22222

222222

2122111021008021030080300203000300210300803000210080arccos0210080arccos21030080300arccos-2EFρρπρθρ总长度L1=AF+OE+EF,

经MATLAB软件计算出xmin=

10lmin=471.005方案二:

在图2中,令半径为2ρ,5号正方形的右下角坐标为G（230,60以G点画半径为2ρ的圆,从O,A4

两点向圆做切线,切点为H（3x,3y、I（4x,5x有AH=2

2

2260300（230300（ρ−−+−（5

5

OI=2

222060（0230（ρ−−+−（6

圆弧IH

（（（（（（[]

（（⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎝

⎛

−+−×−+−×−+−−−+−+−+−−−+−−−+−==22222

222222

2222222060023060300230300203000300603002303000600230arccos0600230arccos60300230300arccos

-2IHρρπρθρ总长度L2=AH+OI+IH,

经MATLAB软件计算出xmin=

10lmin=498.39

因为1L<2L,所以选方案一,则:

E点的坐标方程是:

⎩⎨⎧=−+−+=−+22121

212122210210（80（x1021080yxy（7

经MATLAB软件计算、我们筛选出E点的坐标是⎩⎨⎧==14

.21350.7011

yxF点的坐标方程是:

⎩⎨⎧−−+−=−+−=−+−22222222222210210300（80300（210（80（10210（80

（yxyx经MATLAB软件计算、我们筛选出F点的坐标是⎩⎨⎧==41.21917

.8422

yx5.1.2建立O→B的模型:

图2

假设机器人从起点O到目标点B,由图2知路径一定是由圆弧和线段组成,设有m条线段,n条圆弧.那么目标函数可以表示为:

6

∑∑==+=n

jj

miildL1

1

min（8

用此模型就可以对起点到目标点之间的路径进行优化求解.运用matlab求解最短线段与弧长.路径一:

B

→→→→Ο号图右上顶点号图右下顶点号图右下顶点8659188.1060min=L;

路径二:

B

→→→→→→Ο号图左下顶点号图右上顶点号图右下顶点号图右下顶点号图右下顶点877656588.9755

1

61

min=+=∑∑==jjiildL;

路径三:

B

→→→→→→Ο号图左下顶点号图右上顶点号图右下顶点号图右下顶点号图左上顶点877659712

.9955

1

61

min=+=∑∑==jjiildL路径四:

B

→→→→→→Ο号图左下顶点号图右上顶点号图右下顶点号图上顶点号图左下顶点877669712

.9935

1

61

min=∑∑==+=jjiildL通过比较,机器人通过路径二走的路程最短.

表1

起点坐标

终点坐标圆弧的圆心坐标

直线长或弧长线段一（0,0（227.0709,69.5614

237.4868弧形二（227.0709,69.5614

（240,80（230,607.6092线段二（240,80（240,210

130弧形二（240,210

（239.9846,209.4453（230,210

14.9415线段三（239.9846,209.4453（244.6126,297.2437

87.9196弧形三（244.6126,297.2437（244.7897,302.0403（235,3004.7433线段四（244.7897,302.0403（229.9957,469.7055168.3166

弧形四

（229.9957,469.7055

（230,470

（220,470

0.2945

7

线段五（230,470（230,530100弧形五（230,530（227.07,537.07（220,530

7.8707线段

六（227.07,537.07（144.50,591.6598.9787弧形六（144.50,591.65（140.69,596.35（150,6006.1471线段七

（140.69,596.35

（100,700

111.3508

则最短路线为975.6588,总时间为179.3427.5.1.3建立O→C的模型

图3给出了O到C点的可能的最短路径.O到C的路径是由多条直线段和多段圆弧组成的,我们可以分别求出各条直线和各段圆弧的长,然后相加,就可求出各路径的长,再相互比较可得到最短路径.

图3

∑∑==+=m

in

ji

ildL1

1

min我们通过MATLAB求得机器人在最短路径中每段直线段和圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间（表2.

表2

起点坐标终点坐标

圆弧的圆心坐标直线长或弧长机器人行

走时间

线段

一（0,0（227.0709,60.5614237.486847.4974

圆弧

一（227.0709,60.5614（232.1693,50.2381（230,605.45923.0974线段

二

（232.1693,50.2381（412.1693,90.2381179.513235.9026圆弧（412.1693,90.2381（418.3448,94.4897（410,100

8.43093.3723

二线段（418.3448,94.4897（491.6552,205.5103126.2093三圆弧（491.6552,205.5103（492.2017,206.2599（500,2001.9822三线段（492.2017,206.2599（727.9377,513.9179387.5888四圆弧（727.9377,513.9179（730,520（720,5206.5381四线段（730,520（730,60080五圆弧（730,600（727.7178,606.3689（720,6006.8916五线段（727.7178,606.3589（700，640）43.689六由此可得机器人行走的总距离为1092.2892，总时间为223.3330.5.1.4建立O→A→B→C→O的模型25.24180.792877.51772.6152162.75668.7178图4机器人从定点O（0,0经过中间的A、B、C三点按照一定的规则绕过障碍物到达目标点，这使我们考虑的就不仅仅是经过障碍物拐点的问题，也应该考虑经过路径中的目标点处转弯的问题，这时简单的线圆结构就不能解决这种问题，我们在拐点及途中目标点处都采用最小转弯半径的形式，最终求得最短路径.具体情况见表3.表3起点坐标线段一圆弧一线段二圆弧二（0,0）（70.506,213.1406）（76.6064,219.4066）（291.0754,296.7803）终点坐标（70.506,213.1406）（76.6064,219.4066）（291.0754,296.7803）（297.2537,309.0814）8圆弧的圆心坐标直线长或弧长224.4994机器人行走时间44.89983.620445.59986.0728（80,210）9.051227.9992（287.6818,306.1869）15.1822

线段三圆弧三线段四圆弧四线段五圆弧五线段六圆弧六线段七圆弧七线段八圆弧八线段九圆弧九线段十圆弧十线段十一圆弧十一线段十二圆弧十二线段十三圆弧十三线段十四圆弧十四线段十五圆弧十五线段十六圆弧十六线段十七（297.2537,309.0814）（229.5719,532.8946）（225.4967,538.3538）（144.5033,591.6462）（140.6916,596.3458）（105.7133,685.4465）（115.6079,699.0835）（270.5862,689.9828）（272.0119,689.7955）（366.7444,670.3384）（369.3239,670）（429.3239,670）（435.109,671.8432）（533.9915,738.2997）（539.5695,740）（669.5695,740）（679.3272,732.1881）（699.4778,642.3288）（701.5176,638.158）（727.7178,606.3689）（730,600）（730,520）（727.9377,513.9179（492.2017,206.2599（491.6552,205.5103（418.3448,94.4897（412.1693,90.2381（232.1693,50.2381（227.0709,60.5614（229.5719,532.8946）（225.4967,538.3538）（144.5033,591.6462）（140.6916,596.3458）（105.7133,685.4465）（115.6079,699.0835）（270.5862,689.9828）（272.0119,689.7955）（366.7444,670.3384）（369.3239,670）（429.3239,670）（435.109,671.8432）（533.9915,738.2997）（539.5695,740）（669.5695,740）（679.3272,732.1881）（699.4778,642.3288）（701.5176,638.158）（727.7178,606.3689）（730,600）（730,520）（727.9377,513.9179）（492.2017,206.2599（491.6552,205.5103（418.3448,94.4897（412.1693,90.2381（232.1693,50.2381（227.0709,60.5614（0,0）（230,60（410,100（500,200（720,520（720,600（709.2354,644.5159（670,730（540,730（430,680（370,680）（270,680）（115.0217,689.1007）（150,600）（220,530）233.82296.147496.953620.035495.72056.1424155.24531.439296.712.609606.169119.13945.917413013.50292.09094.685641.20236.8916806.5381387.58881.9822126.20938.4309179.51325.4592237.486846.76452.458919.39078.014119.14412.458931.0490.575619.3421.0436122.467623.82782.3669265.400818.41811.87428.24042.7566162.615277.51770.792825.24183.372335.90263.097447.4974由此可得机器人行走的总距离为2714.3069，总时间为565.9679.5.2最短时间模型机器人从定点O（0,0）按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的最短时间路径，圆弧上半径（）越大，机器人在弧线上的速度越大，则建立下面模型：

设经过O点与圆弧的切线与经过A点与圆弧的切线的切点分别为9，圆弧的圆心角为a，

则两条切线的交点坐标为经过两个切点的弦的终点坐标为目标函数为：

，22，ar1+e（10−0.1rT=+V0约束条件为：

（2（x2+y2+（300−x+（300−y22V022⎧2r2−（x2−x1−（y2−y1cosa=⎪2r2⎪300（y2+x2y1y2−y1⎤⎡300（y2+x2x1x2−x1⎤⎪（y2−y1⎡⎪（x−x∗⎢300x−xy−300y+xy−2⎥⎢300x−xy−300y+xy−2⎥=（−121112121112121⎣⎦⎣⎦⎪222⎪⎛300（y2+x2y1y2−y1⎞⎛300（y2+x2x1x2−x1⎞⎛y2−y1⎞⎜⎟+⎜⎟+⎜−−−y1⎟⎪2⎟⎜300x1−x1y2−300y1+x2y12⎟⎝2s.t=⎨⎜300x1−x1y2−300y1+x2y1⎠⎝⎠⎝⎠⎪222⎞⎛⎞300（y2+x2