第八章二元一次方程组教案.docx

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第八章二元一次方程组教案

第8章　二元一次方程组

8.1二元一次方程组和它的解

教学目的

1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。

2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。

3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。

重点、难点

1．重点：

了解二元一次方程。

二元一次方程组以及二元一次方程

组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。

2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。

教学过程

一、复习提问

1．什么叫一元一次方程?

什么叫一元一次方程的解?

怎样检验一

个数是否是这个方程的解?

2．列方程解应用题的步骤。

二、新授

问题1：

暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。

比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。

分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场?

又平了几场呢?

这个问题可以用算术方法来解，也可以列一元一次方程来解，请同学们选一种方法试一试。

解后反思：

既然是求两个未知量，那么能不能同时设两个未知数?

学生尝试设勇士队胜了x场，平了y场。

让学生在空格中填人数字或式子：

胜

平

合计

场数

X

Y

得分

那么根据填表结果可知

x十y=7①

3x+y=17②

这两个方程有什么共同的特点?

（都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1）

这里的x、y要同时满足两个条件：

一个是胜与平的场数和是7场；另一个是这些场次的得分一共是17分，也就是说，两个未知数x、y

必须同时满足方程①、②。

因此，把两个方程合在一起，并写成

x+y＝7①

3x+y=17②

上面，列出的两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。

把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。

用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，

平了2场，即x=5，y＝2

这里的x＝5，与y=2既满足方程①即5十2＝7

又满足方程②，即3×5十2＝17

我们就说x＝5与y＝2是二元一次方程组的解。

一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两

个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解的检验范例。

三、巩固练习

1．教科书第25页问题2。

2．补充练习。

四、小结

1．什么是二元一次方程，什么是二元一次方程组?

2．什么是二元一次方程组的解?

如何检验一对数是不是某个方程组的解?

五、作业

教科书第26页习题7.1全部。

8.2消元”----二元一次方程组的解法

第一课时

教学目的

1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。

2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。

3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。

重点、难点

1．重点；用代入法把二元一次方程组转化为一元一次方程。

2．难点：

用代入法求出一个未知数值后，把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便。

教学过程

一、复习

1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解?

2．把3x+y＝7改写成用x的代数式表示y的形式。

二、新授

回顾上一节课的问题2。

在问题2中，如果设应拆除旧校舍xm2，建新校舍ym2，那么根据

题意可列出方程组。

y-x=20000×30%①

y=4x②

怎样求这个二元一次方程组的解呢?

方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中的y也可以看着

4x，即将②代人①（得到一元一次方程，实际上此方程就是设应拆除旧校舍xm2，所列的一元一次方程）。

这样就二元转化为一元，把“未知”转化为“已知”。

你能用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组吗?

让学生自己概括上面解法的思路，然后试着解方程组。

对有困难的同学，教师加以引导。

并总结出解方程的步骤。

1.选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。

2．把③代人另一个方程，得一元一次方程。

3．解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

4．把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

以上解法是通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种解法叫做代人消元法，简称代入法。

三、巩固练习

教科书第29页，练习。

四、小结

1．解二元一次方程组的思路。

2．掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。

五、作业

1．教科书第34页习题7．2题第1题。

第二课时

教学目的

1．使学生进一步理解代人消元法的基本思想和代入法解题的一般

步骤。

2．让学生在实践中去体会根据方程组未知数系数的特点，选择较

为合理、简单的表示方法，将一个未知数表示另一个未知数。

重点、难点

1．重点：

熟练地用代人法解一般形式的二元一次方程组。

2．难点：

准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程。

教学过程

复习

1．方程组2x+5y=-2如何求解?

关键是什么?

解题步骤是什么?

x=8-3y

2．把方程2x-7y＝8

（1）写成用含x的代数式表示y的形式。

（2）写成用含y的代数式表示x的形式。

二、新授

2x-7y=8①

例：

解方程3x-8y-10=0②

分析：

这两个方程中未知数的系数都不是l，那么如何求解呢?

消哪一个未知数呢?

如果将①写成用一个未知数来表示另一个未知数，那么用x表示y，还是用y表示x好呢?

（让学生自己探索、归纳）

因为x的系数为正数，且系数也较小，所以应用y来表示x较好。

尝试解答。

教师板书解方程的过程。

这里是消去x，得关于y的一元二次方程，能否消去y呢?

让学生

试一试，然后通过比较，使学生明白本题消x较简单。

三、巩固练习

教科书第30页，练习1、2

（1）

（2）　　

四、小结

　对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：

　1．选择未知数的系数是1或－l的方程；

　2．若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代人没有变形的方程中去。

这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。

对运算的结果养成检验的习惯。

五、作业

教科书第30页，第2题的（3）、（4）。

第三课时

教学目的

1．使学生进一步理解解方程组的消元思想。

2．使学生了解加减法是消元法的又一种基本方法，并使他们会用加减法解一些简单的二元一次方程组。

重点、难点

1，重点：

用加减法解二元一次方程组。

2．难点：

两个方程相减消元时对被减的方程各项符号要做变号处理。

教学过程

一、复习

1．解二元一次方程组的基本思想是什么?

2．用代人法解方程组

3x+5y=5①

3x-4y=23②

学生口述解题过程，教师板书。

二、新授

对复习2的反思并引入新课。

用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一个未知数，才能把二元转化为熟悉的一元方程求解，为了消元，除了代入法还有其他的方法吗?

（让学生主动探求解法，适当时教师可作以下引导）

观察方程组在这个方程组中，未知数x的系数有什么特点?

怎样才能把这个未知数消去?

你的根据是什么?

这两个方程中未知数x的系数相同，都是3，只要把这两个方程的左边与左边相减、右边与右边相减，就能消去x从而把它转化为一元一次方程。

把方程①两边分别减去方程②的两边，相当于把方程①的两边分别减去两个相等的整式。

为了避免符号上的错误（3x+5y）-（3x-4y）=5-23

板书示范时可以如下：

3x+5y-3x+4y=-18

解：

把①－②得9y＝－18

y=－2

把y＝－2代入①，得3x+5×（－2）=5

解得x=5

∴x＝5这结果与用代入法解的结果一样

y=－2也可以通过检验

从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？

让学生自己概括一下。

例2.解方程组3x+7y=9①［怎样解这个方程组呢?

用什么4x-7y=5②方法消去一个未知数?

先消哪个未　　　　　　　　　　　　　　　知数比较方便？

①+②，得7x=14［两个方程中，未知数y的系数是互为相反

x=2数，而互为相反数的和为零，所以应把方程

将x=2代入①，得①的两边分别加上方程②的两边］

6+7y＝9

y＝

∴x＝2

y＝

以上两个例子是通过将两个方程相加（或相减），消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。

三、巩固练习

教科书第31页，练习1、2。

四、小结：

今天我们又学习了解二元一次方程组的另一种方法――加减法，它是通过把两个方程两边相加（或相减）消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程。

请同学们归纳一下，什么样的方程组用“代入法”，什么样的方程组用“加减法”。

五、作业：

教科书第31页练习3、4。

第四课时：

教学目的

使学生了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组。

1．重点：

将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。

2．难点：

将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。

教学过程

一、复习

下列方程组用加减法可消哪一个元，如何消元，消元后的一元一次方程是什么?

3x+4y＝-3.4　4x－2y＝5.6

6x-4y＝5.27x－2y＝7.7

二、新授

例l.解方程组9x+2y=15①

3x+4y=10②

分析如果用加减法解，直接把两个方程的两边相减能消去一个未知数吗?

如果不行，那该怎么办呢?

当两个方程中某个未知数系数的绝对值相等时，可用加减法求解，你有办法将两个方程中的某个系数变相同或相反吗?

方程②中y的系数是方程①中y系数的2倍，所以只要将①×2

例2．解方程组

3x－4y＝10①

15x+6y＝42②

这个方程组中两个方程的x,y系数都不是整数倍。

那么如何把其中一个未知数的系数变为绝对值相等呢?

该消哪一个元比较简便呢?

（让学生自主探索怎样适当地把方程变形，才能转化为例3或例4那样的情形。

）

分析：

（1）若消y，两个方程未知数y系数的绝对值分别为4、6，要使它们变成12（4与6的最小公倍数），只要①×3，②×2

（2）若消x，只要使工的系数的绝对值等于15。

（3与5的最小公倍数，因此只要①×3，②×2）

请同学们用加减法解本节例2中的方程组。

2x－7y＝8

3x－8y－10＝0

做完后，并比较用加减法和代人法解，哪种方法方便?

教师讲评：

应先整理为一般式。

三、巩固练习

教科书第33页，练习1.3。

四、小结（教师说出条件部分，学生回答结论部分）。

加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。

五、作业

教科书第33页练习2.4。

第五课时（习题课）：

教学目的

1．使学生进一步理解二元一次方程（组）的解的概念。

2．使学生能够根据题目特点熟练地选用代入法或加减法解二元一次方程组。

教学过程

一、复习

1．什么是二元一次方程，二元一次方程组以及它的解?

2．解二元一次方程组有哪两种方法?

它们的实际是什么?

3．举例说明解二元一次方程组什么情况下用代人法，什么情况下用加减法?

[当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为l或有一个方程的常数项是。

时，用代人法；当两个方程中某人未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法。

）

二、课堂练习

1．方程2x+39＝3与下面哪个方程所组成的方程组的解是

x=3

y＝－1

A．41+6y=－6B．x－2y=5

C．3x＋4y＝4D．以上都不对

2．方程组3x－7y=7的解是否满足方程2x+3y＝－5

5x＋2y=2

[满足，解法一，先求出方程组的解为x=

把x,y值代入方

y=-

程2x+3y=-5的左边，左边=2×

+3×（-

）=-5=右边，解法二，不用求解，因为方程2x+3y＝－5，是方程组中的第二个方程减去第一个方程得到的，所以方程组的解必满足方程2x＋3y＝－5]

3．解下列方程组应消哪个元，用哪一种方法较简便?

（1）　2x-3y=-5①［消x，用代入法，

　3x=2y②由②得x=

y再代入①］

（2）　2x+3y=5①［消x用加减法，

4x-2y=1②①×②－②］

（3）　　3x+2y-2=0①［整体代入，消y，

－2x=－

②由①得3x+2y=2代入②］

4．解方程组

（1）　6x+5z=25①

3x+2z=10②

（2）

－

=0①

－

=

②

（3）

+

=3①

－

=－1②

探索简便方法：

（1）可以用加减法，①－②×2，也可以用代人法，由②得3x＝l0－2x，代人①得2×（10－2z）+5z＝25

（2）原方程组先整理为4x－y=2③除用加减法解外。

注

3x－4y=－2④

意到这两个方程的常数项互为相反数，因此③+④得

7x-7y=0即x=y,再用代入法求解。

（3）可以与

（2）一样先把原方程组整理，也可以直接加减.

5.用适当的方法解方程组

（1）

+

=

5x+7y=

（2）5x-2y=50

15%x+6%y=5

（3）

+1=

2x-3y=4

三、作业

教科书第39页复习题l、2、①②③。

第六课时：

8.3实际问题与二元一次方程组：

教学目的

1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

2．通过应用题的教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性，体会列方程组往往比列一元一次方程容易。

3．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力。

重点、难点、关键

1、重、难点：

根据题意，列出二元一次方程组。

2、关键：

正确地找出应用题中的两个等量关系，并把它们列成方程。

教学过程

一、复习

我们已学习了列一元一次方程解决实际问题，大家回忆列方程解应用题的步骤，其中关键步骤是什么?

[审题；设未知数；列方程；解方程；检验并作答。

关键是审题，寻找出等量关系]

在本节开头我们已借助列二元一次方程组解决了有2个未知数的实际问题。

大家已初步体会到：

对两个未知数的应用题列一次方程组往往比列一元一次方程要容易一些。

二、新授

例l：

某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：

每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务?

如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元?

分析：

解决这个问题的关键是先解答前一个问题，即先求出安排精加和粗加工的天数，如果我们用列方程组的办法来解答。

可设应安排x天精加工，y加粗加工，那么要找出能反映整个题意的两个等量关系。

引导学生寻找等量关系。

（1）精加工天数与粗加工天数的和等于15天。

（2）精加工蔬菜的吨数与粗加工蔬菜的吨数和为140吨。

指导学生列出方程。

对于有困难的学生也可以列表帮助分析。

例2：

有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

求：

3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?

分析：

要解决这个问题的关键是求每辆大车和每辆小车一次可运货多少吨?

如果设一辆大车每次可以运货x吨，一辆小车每次可以运货y吨，那么能反映本题意的两个等量头条是什么？

指导学生分析出等量关系。

2辆大车一次运货＋3辆小车一次运货＝15.5

5辆大车一次运货＋6辆小车一次运货＝35

根据题意，列出方程，并解答。

教师指导。

三、巩固练习

教科书第34页练习l、2、3。

第3题：

首先让学生明白什么叫充分利用这船的载重量与容量，让学生找出两个等量关系。

四、小结

列二元一次方程组解应用题的步骤。

1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。

2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。

3．根据两个等量关系，列出方程组。

4．解方程组。

5．检验作答案。

五、作业

1．教科书第35页，习题7.2第2、3、4题。

8.3实践与探索

第一课时：

教学目的

通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

重点、难点

1，重点：

让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。

2．难点：

寻找相等关系以及方程组的整数解问题。

教学过程

一、复习

列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?

其中什么是关键?

二、新授

问题1．第35页实践与探索中的第一个问题。

学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。

鼓励学生进行质问和大胆创新。

学生有困难，教师加以引导：

1．本题有哪些已知量?

（1）共有白卡纸20张。

（2）一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个。

（3）1个盒身与2个盒底盖配成一套。

2．求什么?

（1）用几张白卡纸做盒身?

几张白卡纸做盒底盖?

3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。

那么可做盒身多少个?

盒底盖多少个?

[2x个盒身，3y个盒底盖]

4．找出2个等量关系。

（1）用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数：

20。

（2）已知（3）可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身和盒底盖正好配套。

根据题意，得

x+y＝20

3y=2×2x

解出这个方程组。

以上结果表明不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。

如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢?

用8张白卡纸做盒身，可做8×2二16（个）

用1l张白卡纸做盒底盖，可做3×11＝33（个）

将余下的l张白卡纸剪成两半，一半做盒身，另一半做盒底，一共

可做17个包装盒，较充分地利用了材料。

三、巩固练习

某农场300名职工耕种5l公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：

农作物品种

每公顷需劳动力

每公顷需投入资金

水稻

4人

1万元

棉花

8人

1万元

蔬菜

5人

2万元

已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?

先让学生自主探索，与伙伴交流。

对有困难的学生教师加以引导。

（提问式）

1．本题中有哪些已知量?

（1）安排种三种农作物的人数共300名；

（2）安排种三种农作物的土地共51公顷；

（3）每种农作物每公顷所需要的职工数；

（4）每种农作物每公顷需要投入的资金；

（5）三种农作物需要的资金和为67万元。

2．求什么?

分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?

如果设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，那么由已知

（2）可知，种蔬菜有（51-x-y）公顷。

这样根据已知，（3）可得种水稻4x人，棉花8y人，蔬菜5（51-x-y）人.根据已知（4）可得，种三种农作物所需的资金分别为x万元、y万元2（51-x-y）万元已知量中的

（1）、（5）就是两个等量关系

因此，列方程组

4x+8y+5（51-x-y）＝300

x+y+2（51-x-y）=67

本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。

四、作业

教科书习题7.3，第1题。

第二课时：

教学目的

让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流．去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展。

1．重点：

让学生实践与探索，运用方程或方程组解决几何图形中的数量关系。

2．难点：

寻找相等关系。

教学过程

一、复习提问

列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么?

二、新授

上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决。

今天我们再宋探索一个有趣的问题。

请同学们打开课本第35页，阅读问题2。

让学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可以提出以下问题：

这里讲的“其中的奥秘”，是指什么?

“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2mm的小正方形的洞?

其中的道理是什么?

教师可以作以下引导：

1．观察小明的拼图，你能发现小长方形的长xmm与宽ymm之间的数量关系吗?

（根据矩形的对边相等，得3x＝5y）

2．再观察小红的拼图，你能写出表示小矩形的长xmm与宽ymm的另一个关系式吗?

因为AB＝CD+DE+FG，所以有x+25y=2x+2

即2y-x＝2

解方程组3x=5y

2y-x=2

8个小矩形的面积和＝8xy＝8×10×6=480（mm2）

大正方形的面积=（x+2y）2＝（10+2×6）2＝484（mm2）

484－480＝4＝22

因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm的小正方形。

问题：

有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明那样成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？

三、做一做。

把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种，谈谈你的感受。

问题1：

设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组

y＝

x

x＋y＝

问题2：

设小明的爸爸前年存了x元，利息税为y元，由题意得：

y＝2.43%·x·2·20%

2.43%x·2－y＝48.6

问题3：