春学期八年级数学竞赛试题.docx
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春学期八年级数学竞赛试题
班级:
_______________ 姓名:
_______________
2017年春学期八年级数学竞赛试题
一.选择题(每小题5分,共25分)
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,若CD=m,AB=2n,则△ABD的面积是 ( )
A.mnB.5mnC.7mnD.6mn
2.若满足不等式20<5﹣2(2+2x)<50的最大整数解为a,最小整数解为b,则a+b之值为何?
( )
A.﹣15B.﹣16C.﹣17D.﹣18
3.如图,△ABC中,D、E两点分别在AC、BC上,DE为BC的中垂线,BD为∠ADE的角平分线.若∠A=58°,则∠ABD的度数为何?
( )
A.58B.59C.61D.62
4.若不等式组
的解集为x<2m﹣2,则m的取值范围是( )
A.m≤2B.m≥2C.m>2D.m<2
5.如图,直线y=﹣x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2,则关于x的不等式﹣x+m>nx+4n>0的整数解为 ( )
A.﹣1B.﹣5C.﹣4D.﹣3
二.填空题(每小题5分,共25分)
6.已知不等式组
,在同一条数轴上表示不等式①,②的解集如图所示,则b﹣a的值为 .
7.如图,△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,BC的垂直平分线交AB于点D,连结DC,如果AD=3,BD=8,那么△ADC的周长为 .
8.如图,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,AB=3,BC=5,P是折线BAC上动点(不与B,C重合),过P作BC的垂线l交BC于D,连接AD.当△ACD是等腰三角形时,BP的长是 .
9.如图,AB=12,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动 分钟后△CAP与△PQB全等.
10.若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,
则m= .
三.解答题(每题10分,共50分)
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22.5°,斜边AB的垂直平分线交AC于点D,点F在AC上,点E在BC的延长线上,CE=CF,连接BF,DE.线段DE
和BF在数量和位置上有什么关系?
并说明理由.
12.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:
(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.
15.某校高一新生中有若干住宿生,分住若干间宿舍,若每间住4人,则还有21人无房住;若每间住7人,则有一间不空也不满,已知住宿生少于55人,求住宿生人数.
13.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于D,BC边的垂直平分线EN交BC于E,DM与EN相交于点F
(1)若△CMN的周长为20cm,求AB的长;
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
14.为了更好的保护美丽图画的邛海湿地,西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台,对邛海湿地周边污水进行处理,每台A型污水处理设备12万元,每台B型污水处理设备10万元.已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨,2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨.
(1)求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)经预算,市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元,每周处理污水的量不低于4500吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?
最少是多少?
2017年04月11日noname的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2017春•兰陵县校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,若CD=m,AB=2n,则△ABD的面积是( )
A.mnB.5mnC.7mnD.6mn
【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:
如图,过点D作DE⊥AB于E,
∵BD是∠ABC的平分线,∠C=90°,
∴DE=CD=m,
∴△ABD的面积=
×2n×m=mn,
故选:
A.
2.(2016•台湾)如图,△ABC中,D、E两点分别在AC、BC上,DE为BC的中垂线,BD为∠ADE的角平分线.若∠A=58°,则∠ABD的度数为何?
( )
A.58B.59C.61D.62
【分析】根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义得到∠1=∠2=∠3,求出∠4和∠C,根据三角形内角和定理计算即可.
【解答】解:
∵BD是∠ADE的角平分线,
∴∠1=∠2,
∵DE是BC的中垂线,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2=∠3,又∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠1=∠2=∠3=60°,
∴∠4=∠C=90°﹣60°=30°,
∴∠ABD=180°﹣∠A﹣∠4﹣∠C=180°﹣58°﹣30°﹣30°=62°.
故选:
D.
3.(2016•台湾)若满足不等式20<5﹣2(2+2x)<50的最大整数解为a,最小整数解为b,则a+b之值为何?
( )
A.﹣15B.﹣16C.﹣17D.﹣18
【分析】根据不等式20<5﹣2(2+2x)<50可以求得x的取值范围,从而可以得到a、b的值,进而求得a+b的值.
【解答】解:
∵20<5﹣2(2+2x)<50,
解得,
,
∵不等式20<5﹣2(2+2x)<50的最大整数解为a,最小整数解为b,
∴a=﹣5,b=﹣12,
∴a+b=(﹣5)+(﹣12)=﹣17,
故选C.
4.(2016•大庆校级自主招生)若不等式组
的解集为x<2m﹣2,则m的取值范围是( )
A.m≤2B.m≥2C.m>2D.m<2
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集,根据不等式和不等式组解集得出m≥2m﹣2,求出即可.
【解答】解:
,
由①得:
x<2m﹣2,
由②得:
x<m,
∵不等式组的解集为x<2m﹣2,
∴m≥2m﹣2,
∴m≤2.
故选A.
5.(2014•孝感)如图,直线y=﹣x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2,则关于x的不等式﹣x+m>nx+4n>0的整数解为( )
A.﹣1B.﹣5C.﹣4D.﹣3
【分析】满足不等式﹣x+m>nx+4n>0就是直线y=﹣x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可.
【解答】解:
∵直线y=﹣x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2,
∴关于x的不等式﹣x+m>nx+4n的解集为x<﹣2,
∵y=nx+4n=0时,x=﹣4,
∴nx+4n>0的解集是x>﹣4,
∴﹣x+m>nx+4n>0的解集是﹣4<x<﹣2,
∴关于x的不等式﹣x+m>nx+4n>0的整数解为﹣3,
故选:
D.
二.填空题(共5小题)
6.(2016•句容市一模)如图,△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,BC的垂直平分线交AB于点D,连结DC,如果AD=3,BD=8,那么△ADC的周长为 19 .
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质证明CA=CD=DB=8,根据三角形周长公式计算即可.
【解答】解:
∵BC的垂直平分线交AB于点D,
∴DB=DC,
∴∠DCB=∠B=40°,
∵∠A=80°,∠B=40°,
∴∠ACB=60°,
∴∠ACD=20°,
∴∠ADC=80°,
∴CA=CD=DB=8,
∴△ADC的周长=AD+AC+CD=19,
故答案为:
19.
7.(2016•驻马店模拟)如图,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,AB=3,BC=5,P是折线BAC上动点(不与B,C重合),过P作BC的垂线l交BC于D,连接AD.当△ACD是等腰三角形时,BP的长是
或
.
【分析】作AE⊥BC于E,由等腰三角形的性质得出BE=CE=
BC=
,分两种情况:
①当DC=AC=3时,BD=BC﹣DC=2,证出PD∥AE,得出△PBD∽BE,得出对应边成比例,即可得出结果;
②当DA=DC时,由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=∠DAC,证出△DAC∽△ABC,得出比例式求出DC,得出BD,再证明△PBD∽△ABE,得出对应边成比例,即可得出结果.
【解答】解:
作AE⊥BC于E,如图所示:
∵AB=AC,
∴BE=CE=
BC=
,
分两种情况:
①当DC=AC=3时,BD=BC﹣DC=5﹣3=2,
∵PD⊥BC,
∴PD∥AE,
∴△PBD∽△ABE,
∴
,即
,
解得:
BP=
;
②当DA=DC时,∠C=∠DAC,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠C=∠DAC,
∴△DAC∽△ABC,
∴
,即
,
解得:
DC=
,
∴BD=BC﹣DC=5﹣
=
,
∵PD⊥BC,
∴PD∥AE,
∴△PCD∽△ACE,
∴
,即
,
解得:
PD=
,
∴PB=
=
;
故答案为:
或
.
8.(2016秋•玉田县期末)如图,AB=12,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动 4 分钟后△CAP与△PQB全等.
【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12﹣x)m,分两种情况:
①若BP=AC,则x=4,此时AP=BQ,△CAP≌△PBQ;②若BP=AP,则12﹣x=x,得出x=6,BQ=12≠AC,即可得出结果.
【解答】解:
∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,
∴∠A=∠B=90°,
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;
则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12﹣x)m,
分两种情况:
①若BP=AC,则x=4,
AP=12﹣4=8,BQ=8,AP=BQ,
∴△CAP≌△PBQ;
②若BP=AP,则12﹣x=x,
解得:
x=6,BQ=12≠AC,
此时△CAP与△PQB不全等;
综上所述:
运动4分钟后△CAP与△PQB全等;
故答案为:
4.
9.(2016•烟台)已知不等式组
,在同一条数轴上表示不等式①,②的解集如图所示,则b﹣a的值为
.
【分析】根据不等式组
,和数轴可以得到a、b的值,从而可以得到b﹣a的值.
【解答】解:
,
由①得,x≥﹣a﹣1,
由②得,x≤b,
由数轴可得,原不等式的解集是:
﹣2≤x≤3,
∴
,
解得,
,
∴
,
故答案为:
.
10.(2016春•榆林校级月考)若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,则m= 1 .
【分析】根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0,|m|=1,从而可求得m的值.
【解答】解:
∵(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,
∴m+1≠0,|m|=1.
解得:
m=1.
故答案为:
1.
三.解答题(共5小题)
11.(2017春•崇仁县校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22.5°,斜边AB的垂直平分线交AC于点D,点F在AC上,点E在BC的延长线上,CE=CF,连接BF,DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系?
并说明理由.
【分析】连接BD,延长BF交DE于点G,根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD,求出∠CBD=45°,证明△ECD≌△FCB,根据全等三角形的性质解答即可.
【解答】解:
DE=BF,DE⊥BF.理由如下:
连接BD,延长BF交DE于点G.
∵点D在线段AB的垂直平分线上,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=22.5°.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=22.5°,
∴∠ABC=67.5°,
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°,
∴△BCD为等腰直角三角形,
∴BC=DC.
在△ECD和△FCB中,
,
∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS),
∴DE=BF,∠CED=∠CFB.
∵∠CFB+∠CBF=90°,
∴∠CED+∠CBF=90°,
∴∠EGB=90°,即DE⊥BF.
12.(2016秋•宁江区期末)如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:
(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.
【分析】
(1)根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°,根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°,根据垂直的定义得到答案;
(2)作NM⊥AD,根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM,等量代换得到答案.
【解答】解:
(1)∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴2∠MAD+2∠ADM=180°,
∴∠MAD+∠ADM=90°,
∴∠AMD=90°,
即AM⊥DM;
(2)作NM⊥AD交AD于N,
∵∠B=90°,AB∥CD,
∴BM⊥AB,CM⊥CD,
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴BM=MN,MN=CM,
∴BM=CM,
即M为BC的中点.
13.(2016秋•宝应县期中)如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于D,BC边的垂直平分线EN交BC于E,DM与EN相交于点F
(1)若△CMN的周长为20cm,求AB的长;
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
【分析】
(1)根据线段的垂直平分线的性质得到MA=MC,NB=NC,根据三角形的周长公式计算即可;
(2)根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°,由∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,计算即可.
【解答】解:
(1)∵DM是AC边的垂直平分线,
∴MA=MC,
∵EN是BC边的垂直平分线,
∴NB=NC,
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20cm;
(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC,
∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°,
∴∠A+∠B=70°,
∵MA=MC,NB=NC,
∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,
∴∠MCN=40°.
14.(2016•凉山州)为了更好的保护美丽图画的邛海湿地,西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台,对邛海湿地周边污水进行处理,每台A型污水处理设备12万元,每台B型污水处理设备10万元.已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨,2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨.
(1)求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)经预算,市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元,每周处理污水的量不低于4500吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?
最少是多少?
【分析】
(1)根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨,2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨,可以列出相应的二元一次方程组,从而解答本题;
(2)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以得到购买方案,从而可以算出每种方案购买资金,从而可以解答本题.
【解答】解:
(1)设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨,B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨,
解得,
即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨,B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨;
(2)设购买A型污水处理设备x台,则购买B型污水处理设备(20﹣x)台,
则
解得,12.5≤x≤15,
第一种方案:
当x=13时,20﹣x=7,花费的费用为:
13×12+7×10=226万元;
第二种方案:
当x=14时,20﹣x=6,花费的费用为:
14×12+6×10=228万元;
第三种方案;当x=15时,20﹣x=5,花费的费用为:
15×12+5×10=230万元;
即购买A型污水处理设备13台,则购买B型污水处理设备7台时,所需购买资金最少,最少是226万元.
15.(2016春•衡阳县期中)某校高一新生中有若干住宿生,分住若干间宿舍,若每间住4人,则还有21人无房住;若每间住7人,则有一间不空也不满,已知住宿生少于55人,求住宿生人数.
【分析】假设宿舍共有x间,则住宿生人数是4x+21人,若每间住7人,则有一间不空也不满,说明住宿生若住满(x﹣1)间,还剩的人数大于或等于1人且小于7人,所以可列式1≤4x+21﹣7(x﹣1)<7,解出x的范围分别讨论.
【解答】解:
设有宿舍x间.住宿生人数4x+21人.
由题意得4x+21<55,
∴x<8.5
1≤4x+21﹣7(x﹣1)<7
解得7<x≤9.
∴7<x<8.5.
因为宿舍间数只能是整数,所以宿舍是8间.
当宿舍8间时,住宿生53人,
答:
住宿生53人.
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- 学期 八年 级数 竞赛 试题