完整版平面向量典型例题docx.docx
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完整版平面向量典型例题docx
平面向量经典例题:
1.
已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,则实数λ等于()
1
A.-2
B.-3
2
C.-1
D.-3
[答案]
C
[解析]
λa+b=(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa+b与c共线,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1.
2.
(文)已知向量a=(
3,1),b=(0,1),c=(k,3),若a+2b与c垂直,则k=(
)
A.-1
B.-3
C.-3
D.1
[答案]
C
[解析]
a+2b=(
3,1)+(0,2)=(
3,3),
∵a+2b与c垂直,∴(a+2b)·c=
3k+33=0,∴k=-3.
(理)已知a=(1,2),b=(3,-1),且a+b与a-λb互相垂直,则实数λ的值为(
)
6
11
A.-11
B.-6
6
11
C.11
D.6
[答案]
C
[解析]a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ),
∵a+b与a-λb垂直,
∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=6.11
3.设非零向量
a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b间的夹角为()
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
[答案]B
[解析]如图,在?
ABCD中,
∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD为正三角形,∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故选B.
(理)向量a,b满足|a|=1,|a-b|=
3,a与b的夹角为
60°,则|b|=()
2
1
1
A.2
B.3
1
1
C.4
D.5
[答案]
A
[解析]
∵|a-b|=
3,∴|a|2+|b|2-2a·b=
3,∵|a|=1,〈a,b〉=60°,
2
4
设|b|=x,则1+x2-x=
3
1
4
,∵x>0,∴x=.
2
第1页共10页
→→→
)
+AB2=0,则△ABC必定是(
4.若AB·BC
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
[答案]
B
[解析]
→→→2
→→→→→
→→
AB·BC+AB=AB·(BC+AB)=AB·AC=0,∴AB⊥AC,
∴AB⊥AC,∴△ABC为直角三角形.
5.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则用a,b表示c为()
A.-a+3b
B.a-3b
C.3a-b
D.-3a+b
[答案]
B
[解析]
设c=λa+μb,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ),
λ+μ=-2
λ=1
∴
,∴
,∴c=a-3b,故选B.
λ-μ=4
μ=-3
在平行四边形ABCD中,AC与BD交于
O,E是线段OD的中点,AE的延长线与
→
CD交于点F,若AC
→
→
)
=a,BD=b,则AF等于(
1
1
2
1
A.4a+
2b
B.3a+
3b
1
1
1
2
C.2a+4b
D.3a+3b
[答案]B
[解析]
→→
,
∵E为OD的中点,∴BE=3ED
∵DF∥AB,∴|AB|=
|EB|,
|DF|
|DE|
1
2
2
∴|DF|=|AB|,∴|CF|=
|AB|=|CD|,
3
3
3
→
→→
→
2→
2→
∴AF=AC+CF=AC+
3
CD=a+
3
(OD-
→
21
1
21
OC)=a+3(2b-2a)=3a+3b.
6.
若△ABC的三边长分别为
→→
AB=7,BC=5,CA=6,则AB·BC的值为()
A.19
B.14
C.-18
D.-19
[答案]
D
[解析]
72+52-62
19
→→→→
(
-
19
=-19.
据已知得cosB=
=,故AB·BC=|AB|×|BC|×(-cosB)=7×5×
35
2×7×5
35
)
7.
若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则
9x+3y的最小值为()
A.12
B.23
C.32
D.6
[答案]
D
第2页共10页
[解析]
a·b=4(x-1)+2y=0,∴2x+y=2,∴9x+3y=32x+3y≥232x+y=6,等号在x=
1
,y=1时成立.
2
8.
若A,B,C是直线l上不同的三个点,若
→→
→
O不在l上,存在实数x使得x2OA+xOB+BC=0,实数x
为(
)
A.-1
B.0
C.
-1+5
D.
1+5
2
2
[答案]
A
[解析]
→→
→→
→
→→
A、B、C
x2OA+xOB+OC-OB=0,∴x2OA+(x-1)OB+OC=0,由向量共线的充要条件及
→
共线知,1-x-x2=1,∴x=0或-1,当x=0时,BC=0,与条件矛盾,∴x=-1.
9.
(文)已知P是边长为
→→→
2的正△ABC边BC上的动点,则AP·(AB+AC)()
A.最大值为8
B.最小值为2
C.是定值6
D.与P的位置有关
[答案]
C
[解析]
以BC的中点O为原点,直线BC为x轴建立如图坐标系,则B(-1,0),C(1,0),A(0,
→→
3),AB+AC
=(-1,-3)+(1,-3)=(0,-23),
→
3),
设P(x,0),-1≤x≤1,则AP=(x,-
→→→
3)·(0,-2
3)=6,故选C.
∴AP·(AB+AC)=(x,-
→→
(理)在△ABC中,D为BC边中点,若∠A=120°,AB·AC=-1,
→
则|AD|的最小值是()
1
3
A.2
B.2
2
C.2
D.2
[答案]
D
[解析]
→→
→
→
°=-1,
∵∠A=120°,AB·AC=-1,∴|AB|·|AC|cos120·
→
→
→
→
→→
∴|AB
||AC·
2+|AC2≥2|AB
,∵D为BC边的中点,
|=2,∴|AB|
|
|·|AC|=4
→
1→→
→
1→→→→
1→→
1
1
∴AD=(AB+AC),∴|AD|2=
4
(|AB|2+|AC|2+2AB·AC)=(|AB|2+|AC|2-2)≥(4-2)=,
2
4
4
2
→2
∴|AD|≥2.
9.如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分
→1→→别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中AE=AB,AF
3
1→→→
=2AD,AK=λAC,则λ的值为()
第3页共10页
1
1
A.5
B.4
1
1
C.3
D.2
[答案]A
[解析]
如图,取CD的三等分点
M、N,BC的中点Q,则EF
→1→
1
∥DG∥BM∥NQ,易知AK=AC,∴λ=.
5
5
11.
已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为(
)
1
B.2
A.2
C.-2
D.-
1
2
[答案]
C
[解析]
ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),
由条件知(2m-4)·(-1)-(3m+8)×4=0,∴m=-2,故选C.
12.
→→
→→
等于()
在△ABC中,C=90°,且CA=CB=3,点M满足BM=2MA,则CM·CB
A.2
B.3
C.4
D.6
[答案]
B
[解析]
→→
→→
→
CM·CB=(CA+AM)·CB
→
1→→
→→
1→→
=(CA+AB)·CB=CA·CB+
AB·CB
3
3
1→
→
1
2×3×
2
=3.
=|AB|·|CB|·cos45°=×3
2
3
3
→→
13.在正三角形ABC中,D是BC上的点,AB=3,BD=1,则AB·AD=
________.
[答案]
15
2
[解析]
→→→
→→
由条件知,|AB|=|AC|=|BC|=3,〈AB,AC〉=60°,
2→
〈AB,CB〉=60°,CD=3CB,→→→
→→→→→→→→2→
2
15
.
∴AB·AD=AB·(AC+CD)=AB·AC+AB·CB=3×3×cos60°+×3×3×cos60°=
2
3
3
14.
已知向量a=(3,4),b=(-2,1),则a在b方向上的投影等于________.
25
。
[解析]
a在b方向上的投影为
a·b
-2
2
5
[答案]
-
5
=
=-
5.
|b|
5
2π
15.
已知向量
a与b的夹角为
,且|a|=1,|b|=4,若(2a+λb)⊥a,则实数λ=________.
3
[答案]
1
2π
2π
[解析]
,|a|=1,|b|=4,∴a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉=1×4×cos
=-2,∵(2a+λb)
∵〈a,b〉=3
3
第4页共10页
⊥a,∴a·(2a+λb)=2|a|2+λa·b=2-2λ=0,∴λ=1.
→→→→→→→
16.已知:
|OA|=1,|OB|=3,OA·OB=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设OC=mOA+nOB(m,
+
m
n∈R),则n=________.
[答案]
3
[解析]
→→→→→→→
设mOA=OF,nOB=OE,则OC=OF+OE,
→
→
→
∵∠AOC=30°,∴|OC|·cos30°=|OF|=m|OA|=m,
→
→
→
3n,
|OC|sin30·°=|OE|=n|OB|=
m
→
m
两式相除得:
|OC|cos30°1
=
3,∴
=3.
=
→
=
tan30
n
3n
°
|OC|sin30°
17.(文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,
→
且OA=
→
-2i+j,OB=4i+3j,则△OAB的面积等于________.
[答案]
5
[解析]
由条件知,i2=1,j2=1,i·=j
→→
=(-2i+j)·(4i+3j)=-8+3=-
→→→
0,∴OA·OB
5,又OA·OB=|OA
→
→
→
→
→
|·|OB|·cos〈OA,OB〉=5
5cos〈OA,OB〉,
→
→
5
→
→
2
5
∴cos〈OA,OB〉=-
5,∴sin〈OA,OB〉=
5
,
∴S△OAB=
1→→
→
→
1
2
5
=5.
2
|OA|·|OB|sin·〈OA,OB〉=×5×5×
5
2
(理)三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条
件是________(只写序号)
→→
③b=3,c=3
3,B=30°④tanA+tanB+tanC>0.
①sinA+cosA=1②AB·BC<0
5
[答案]
④
[解析]
→→
→→
若A为锐角,则sinA+cosA>1,∵sinA+cosA=1,∴A为钝角,∵AB·BC<0,∴BA·BC>0,
5
∴∠B为锐角,由∠B为锐角得不出△ABC为锐角三角形;由正弦定理
b=c
得,
3
=3
3,∴sinC
sinBsinC
sin30°sinC
=3,∴C=60°或120°,∵c·sinB=3
3,3<33
3,∴△ABC有两解,故①②③都不能得出△
ABC为
2
2
2<3
锐角三角形.
④由
tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=
tanAtanBtanC>0,及A、B、C∈(0,π),A+B+C=π知A、B、C均为锐角,
∴△ABC为锐角三角形.
18.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x).
(1)若a⊥b,求x的值.
(2)若a∥b,求|a-b|.
[解析]
(1)若a⊥b,
第5页共10页
则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,
整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,则x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2,
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
∴|a-b|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|=-22+02=2,
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
∴|a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)|=
22+-42=25.
1
19.已知向量a=(sinx,-1),b=(3cosx,-2),函数f(x)=(a+b)·a-2.
(1)求函数f(x)的最小正周期T;
π
3倍,得到
(2)将函数f(x)的图象向左平移
6上个单位后,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的
函数g(x)的图象,求函数
g(x)的解析式及其对称中心坐标.
[解析]
(1)f(x)=(a+b)·a-2=a2+a·b-2=sin2x+1+
3sinxcosx+
1-2
2
=
1-cos2x
3
1
=
3
1
cos2x=sin(2x-
π
2
+
2
sin2x-
2
sin2x-
2
6
),
2
2π
∴周期T=2=π.
(2)向左平移
π
π
π
π
3倍得,
个单位得,y=sin[2(x+)-]=sin(2x+),横坐标伸长为原来的
6
6
6
6
2
π2π
3kππ
g(x)=sin(3x+6),令3x+6=kπ得对称中心为(2
-4,0),k∈Z.
20.(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m=(c-a,b-a),n=(a+b,c),
若m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)若sinA+sinC的取值范围.
c-a
=
b-a
,
[解析]
(1)由m∥n知a+b
c
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