云南普洱西盟一中1213学年高一上期末考试数学解析版.docx
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云南普洱西盟一中1213学年高一上期末考试数学解析版
2012-2013学年云南省普洱市西盟一中高一(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={2,4,5},B={1,3,5},则A∩B=( )
A.∅B.{1,2,3,4,5}C.{5}D.{1,3}
考点:
交集及其运算.
专题:
计算题.
分析:
根据两个集合AB,直接利用两个集合的交集的定义求得A∩B.
解答:
解:
∵集合A={2,4,5},集合B={1,3,5},
则A∩B={2,4,5}∩{1,3,5}={5},
故选C.
点评:
本题主要考查两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.
2.(5分)下列函数是幂函数的是( )
A.y=2x2B.y=x﹣2C.y=x2+xD.y=1
考点:
幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
专题:
计算题.
分析:
直接利用幂函数的定义判断即可.
解答:
解:
根据幂函数的解析式为:
y=xα,(α≠0)可知选项A、C、D不满足题意,
故选B.
点评:
本题考查幂函数的定义以及表达式的形式,基本知识的考查.
3.(5分)下列计算中正确的是( )
A.
=8B.
=10C.
D.
考点:
根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
专题:
计算题.
分析:
直接利用开偶次方经过是非负数,可奇次方可正可负判断选项即可.
解答:
解:
因为开偶次方经过是非负数,可奇次方可正可负.所以
=﹣8,A不正确;
=10正确;
<0不正确;
不正确;
故选B.
点评:
本题考查根式与分数指数幂的运算法则,基本知识的考查.
4.(5分)(2011•泸州一模)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则∁U(S∪T)等于( )
A.φB.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}
考点:
交、并、补集的混合运算.
专题:
计算题.
分析:
先求出S∪T,接着是求补集的问题.
解答:
解:
∵S∪T={1,3,5,6},
∴CU(S∪T)={2,4,7,8}.
故选B.
点评:
本题属于数集为平台,求集合的并集补集的基础题,也是高考常会考的题型.
5.(5分)下列函数中,与函数y=x相等的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
判断两个函数是否为同一函数.
专题:
计算题.
分析:
通过函数的定义域与对应法则,直接判断是否是相同的函数即可.
解答:
解:
函数y=x的定义域为R,选项中A,D定义域不是R,是A、D不正确.
选项C的对应法则不同,C不正确.
故选B.
点评:
本题考查函数是否是相同的函数的判断方法,基本知识的考查.
6.(5分)(2011•南充一模)若集合S={a,b,c}(a、b、c∈R)中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
考点:
集合的确定性、互异性、无序性;三角形的形状判断.
专题:
阅读型.
分析:
由集合元素的特点可知a,b及c互不相等,所以a,b及c构成三角形的三边长,得到三角形的三边长互不相等,此三角形没有两边相等,一定不能为等腰三角形.
解答:
解:
根据集合元素的互异性可知:
a,b及c三个元素互不相等,
若此三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是等腰三角形.
故选D.
点评:
此题考查了三角形形状的判断、集合元素的互异性、等腰三角形等基础知识,考查转化思想.属于基础题.
7.(5分)函数y=f(x)的图象在[a,b]内是连续的曲线,若f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内( )
A.只有一个零点B.无零点C.至少有一个零点D.无法确定
考点:
函数零点的判定定理.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据根的存在性定理进行判断.
解答:
解:
若函数y=f(x)的图象在[a,b]内是连续的曲线,若f(a)•f(b)<0,
则根据根的存在性定理可知,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少含有一个零点.
故选C.
点评:
本题主要考查根的存在性定理的理解和应用.
8.(5分)设f(x)=3x+3x﹣8,计算知f
(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则函数的零点落在区间( )
A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定
考点:
函数零点的判定定理.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
利用根的存在性定理进行判断.
解答:
解:
因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,
所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间(1.25,1.5).
故选B.
点评:
本题主要考查函数零点区间的判断,比较基础.
9.(5分)下列函数中,图象过定点(0,1)的是( )
A.y=x24B.y=log23xC.y=3xD.
考点:
指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
把x=0代入函数的解析式,求得只有y=3x的函数值为1,由此可得结论.
解答:
解,把x=0代入函数的解析式,求得只有y=3x的函数值为1,故只有函数y=3x的图象过点(0,1),
故选C.
点评:
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,判断一个点是否在函数的图象上的方法,属于中档题.
10.(5分)如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
A.
B.
C.
D.
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
专题:
阅读型.
分析:
利用所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的,从而得到轴截面的图形.
解答:
解:
图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的,
故轴截面的上部是直角三角形,下部为直角梯形构成,
故选D.
点评:
本题考查旋转体的结构特征,旋转体的轴截面的形状.
11.(5分)一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是( )
A.8πcm2B.12πcm2C.16πcm2D.20πcm2
考点:
球内接多面体;球的体积和表面积.
分析:
先根据正方体的顶点都在球面上,求出球的半径,然后求出球的表面积.
解答:
解:
正方体体积为8,可知其边长为2,体对角线为
=2
,
即为球的直径,所以半径为
,表面积为4π
2=12π.
故选B.
点评:
本题考查学生的空间想象能力,以及对球的体积和表面积公式的考查,是基础题.
12.(5分)设集合A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},则集合A∩B的真子集的个数为( )
A.32个B.16个C.8个D.7个
考点:
子集与真子集;交集及其运算.
专题:
计算题.
分析:
集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B,由此利用集合A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},能求出集合A∩B真子集的个数.
解答:
解:
∵A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},
∴集合A∩B={1,2,3}.
集合的真子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},∅.共有7个.
故选D.
点评:
本题考查集合的交集及其运算,考查集合的子集个数问题,对于集合M的子集问题一般来说,若M中有n个元素,则集合M的子集共有2n个.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)用“<”或“>”号填空:
0.50.8 < 0.50.7;log125 = log1215.
考点:
对数函数的单调性与特殊点.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据函数y=0.5x在R上是减函数,可得0.50.8与0.50.7的大小关系;由函数y=log12x在(0,+∞)
上是增函数,可得log125=log125,从而得到答案.
解答:
解:
由于函数y=0.5x在R上是减函数,可得0.50.8<0.50.7.
由函数y=log12x在(0,+∞)上是增函数,可得log125=log125,
故答案为<;=.
点评:
本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于基础题.
14.(5分)球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 8 倍.
考点:
球的体积和表面积.
专题:
计算题.
分析:
设球原来的半径为r,则扩大后的半径为2r,求出球原来的体积和后来的体积,计算球后来的体积与球原来的体积之比.
解答:
解:
设球原来的半径为r,则扩大后的半径为2r,球原来的体积为
,球后来的体积为
=
,
球后来的体积与球原来的体积之比为
=8,
故答案为8.
点评:
本题考查求得体积的计算公式的应用.关键是设出原来的半径,求出后来的半径.
15.(5分)函数f(x)=loga
(a>0且a≠1),f
(2)=3,则f(﹣2)的值为 ﹣3 .
考点:
函数的值.
专题:
计算题.
分析:
利用f(﹣x)=﹣f(x),结合即可求得答案.
解答:
解:
∵f(x)=loga
(a>0且a≠1),
∴f(x)+f(﹣x)=loga
+
=
=loga1
=0,
∴f(﹣x)=﹣f(x),又f
(2)=3,
∴f(﹣2)=﹣f
(2)=﹣3,
故答案为:
﹣3.
点评:
本题考查函数的奇偶性,判断函数f(x)为奇函数是关键,属于基础题.
16.(5分)函数f(x)=ax2﹣x﹣1仅有一个零点,则实数a的取值范围
.
考点:
函数零点的判定定理.
专题:
计算题.
分析:
本题采用直接法,先对二次项系数进行讨论:
①a=0;②a≠0;再对②充分利用二次函数的根的判别式解决问题.
解答:
解:
若a=0,则f(x)=﹣x﹣1,令f(x)=﹣x﹣1=0,得x=﹣1,符合题意;
若a≠0,则f(x)=ax2﹣x﹣1是二次函数,
∴f(x)有且仅有一个零点⇔△=1+4a=0
综上所述,a=0或
故答案为:
.
点评:
本题主要考查了二次函数的图象和图象变化及数形结合思想,属于基础题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)
(1)解方程:
x2﹣3x﹣10=0
(2)解方程组:
.
考点:
因式分解定理.
专题:
计算题.
分析:
(1)分解方程左边的二次三项式,可得(x﹣5)(x+2)=0,进而根据两因式积等0,则各因式均可能为0,求出原方程的解.
(2)利用加减消元法,消去x,先求出y值,代入任一方程求出x值,可得方程组的解.
解答:
解:
(1)∵x2﹣3x﹣10=0
∴(x﹣5)(x+2)=0
解是x=5或x=﹣2
(2)
①×3﹣②×2得:
5y=5
解得y=1,
代入①可得x=2
故方程组的解集为
点评:
本题考查的知识点是一元二次方程的解法和二元一次方程组的解法,前者的方式是利用因式分解达到降次的目的,后者的解答思路是消元.
18.(12分)已知集合A={x|x是小于8的正整数},B={1,2,3},C={3,4,5,6},求A∩B,A∩C,A∩(B∪C),A∪(B∩C)
考点:
交、并、补集的混合运算.
专题:
计算题.
分析:
直接利用交集、并集、补集的求解方法求解即可.
解答:
解:
因为集合A={x|x是小于8的正整数},B={1,2,3},C={3,4,5,6},
所以A∩B={1,2,3},
A∩C={3,4,5,6},
A∩(B∪C)={1,2,3,4,5,6},
A∪(B∩C)={1,2,3,4,5,6,7}
点评:
本题考查集合的基本运算,基本知识的考查.
19.(12分)
(1)求函数y=1+
的定义域;
(2)解不等式log2(2x+3)>log2(5x﹣6)
考点:
对数函数的单调性与特殊点;函数的定义域及其求法.
专题:
函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析:
(1)由函数的解析式可得可得
,解得x的范围,即可求得函数的定义域.
(2)由不等式可得2x+3>5x﹣6>0,解得x的范围,求得函数的定义域.
解答:
解:
(1)由函数y=1+
可得
,解得﹣3≤x≤1,
故函数的定义域为[﹣3,1].
(2)由不等式log2(2x+3)>log2(5x﹣6),可得2x+3>5x﹣6>0,
解得<x<3,故函数的定义域为(,3).
点评:
本题主要考查对数不等式的解法,求函数的定义域,属于中档题.
20.(12分)
(1)计算:
log45.log56.log67.log78;
(2)证明:
函数f(x)=x2+1在(﹣∞,0)上是减函数.
考点:
函数单调性的判断与证明;对数的运算性质.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)把要求的式子利用换底公式运算求得结果.
(2)先求出函数的导数,再根据当x<0时,f′(x)<0,可得函数f(x)在(﹣∞,0)上是减函数.
解答:
解:
(1)log45.log56.log67.log78=
=
=
=.
(2)证明:
由函数f(x)=x2+1,可得f′(x)=2x,
当x<0时,f′(x)=2x<0,
故函数f(x)在(﹣∞,0)上是减函数.
点评:
本题主要考查对数的运算性质的应用,函数的单调性的证明方法,属于基础题.
21.(12分)为了鼓励居民节约用水,西盟县改革居民用水的计费方法.每月的收费标准如下:
月用水量不超过20m3时,按2元/m3计费;月用水量超过20m3时,其中的20m3按2元/m3计费,超过的部分按3.6元/m3计费.设每户月用水量为xm3,应交水费为y元.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下:
月份
四月份
五月份
六月份
缴费金额/元
30
34
43.6
问小明家第二季度共用水多少立方米?
考点:
根据实际问题选择函数类型.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)由题意,当用水量0<x≤20时,y=2x.当用水量x>20时,前20m3按2元/m3计费,超过的部分按3.6元/m3计费,由此列式即可得到y关于x的分段函数式;
(2)四月份和五月份的用水量除以单价均不超过20m3,六月份的用水量除以单价超过了20m3,所以六月份的用水量为20+(43.6﹣2×20)÷3.6m3,作和后可求小明家第二季度得用水量.
解答:
解:
(1)由题意可得,
当0<x≤20时,y=2x
当x>20时,y=2×20+3.6(x﹣20)=3.6x﹣32
所以y与x的函数表达式为
;
(2)四月份用水为,30÷2=15m3
五月份用水为,34÷2=17m3
六月份用水为,20+(43.6﹣2×20)÷3.6=21m3
第二季度共用水为:
15+17+21=53m3
答:
小明家第二季度共用水53立方米.
点评:
本题考查了根据实际问题选择函数模型,考查了分段函数的求法,考查了学生的“建模能力”和根据实际问题分析和解决问题的能力,是中档题.
22.(12分)直角三角形两直角边边长分别为3和4,将此三角形绕其斜边旋转一周,求得到的旋转体的表面积和体积.
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
由题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成.利用解三角形知识,算出圆锥的底面半径,结合锥体的侧面公式得到旋转体的表面积S=
,再由锥体的体积公式,算出体积为V=
.
解答:
解:
根据题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成
它的底面半径等于直角三角形斜边上的高,高分别等于两条直角边在斜边的射影长
∵两直角边边长分别为3和4,
∴斜边长为
=5,
由面积公式可得斜边上的高为h=
=
可得所求旋转体的底面半径r=
因此,两个圆锥的侧面积分别为
S上侧面=π×
×4=
;S下侧面=π×
×3=
∴旋转体的表面积S=
+
=
由锥体的体积公式,可得旋转体的体积为V=π×
×5=
点评:
本题给出直角三角形旋转一周,求转成的几何体的体积和表面积.着重考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识,属于基础题.
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