成都中考27专练老师用.docx

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成都中考27专练老师用

2013级数学专题复习：

几何综合题解法探究二

成都市数学中考B卷27，专练

一．垂直定理基本图形的应用

1.如图，圆O中有直径AB、EF和弦BC，且BC和EF交于点D，点D是弦BC的中点，CD=4，DF=8

（1）求圆O的半径及线段AD的长；

（2）求sin角DAO的值

分析：

（1）由点D是弦BC的中点，EF是直径，根据垂径定理的推论，即可得CB⊥EF且BD=CD=4，然后利用勾股定理，即可求得⊙O的半径R；再连续AC，过D作DH⊥AB交AB于H，由AB是直径，即可得∠ACB=90°，继而可求得线段AD的长；

（2）在Rt△DHB中，由DH=DB•sin∠DBH，可求得DH的长，又由sin∠DAO=DH/AD，求得

解答：

（1）∵D是BC的中点，EF是直径，∴CB⊥EF且BD=CD=4。

∵DF=8， ∴OD=8-R，∵OB2-OD2=DB2，∴R2-（8-R）2=42，

∴R=5．连接AC，过D作DH⊥AB交AB于H．

∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∵CB=2CD=8，AB=10，∴AC=6．

∴∠ACD=90°，AC=6，CD=4，∴AD=2*√13 

（2）∵Rt△DHB中，DH=DB•sin∠DBH=4×3/5=12/5。

∴sin∠DAO=DH/AD=6*√13/65

2．如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG.

（1）求证：

AB⊥CD；

（2）若sin∠HGF＝

，BF＝3，求⊙O的半径长.

解

（1）证明：

如图，连接OF，

∵HF是⊙O的切线，

∴∠OFH=90°.………………………………1分

即∠1+∠2=90º.

∵HF=HG，∴∠1=∠HGF.

∵∠HGF=∠3，∴∠3=∠1.

∵OF=OB，∴∠B=∠2.

∴∠B+∠3=90º.

∴∠BEG=90º.

∴AB⊥CD.…………………………………………………………………………3分

3.已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．

（l）求证：

PA•PB=PO•PE；

（2）若kE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．

4.．如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=

，求⊙O的半径．

解答：

（1）证明：

连接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等边三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF=

∠AOF=30°

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，

∴EG=

BE=5

又Rt△ADE∽Rt△CGE

∴sin∠ECG=sin∠A=

，

∴CE=

=13

∴CG=

=12，

又CD=15，CE=13，

∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得

=

∴AD=

•CG=

∴⊙O的半径为2AD=

．

二．弧的中点的应用

1.图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．

（1）△ABC的形状是------------------，理由是--------------------

（2）求证：

BC平分∠ABE；

（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的

（1）⊿ABC的形状是【直角三角形】，理由是【直径所对的圆周角为直角】

（2）证明：

连接OC

∵CD是圆O的切线

∴OC⊥CD

∵BE⊥CD

∴OC//BE

∴∠OCB=∠EBC

∵OB=OC=半径

∴∠OCB=∠OBC

∴∠OBC=∠EBC

即BC平分∠ABE

（3）解：

∵∠A=60º，∠ACB=90º

∴∠ABC=∠EBC=30º

∴AC=½AB=OA=2

根据勾股定理

BC=√（AB²-AC²）=2√3

∵∠EBC=30º，∠BEC=90º

∴CE=½BC=√3

2.AB是圆O的直径，AE交圆O于点F,且与圆O的切线CD互相垂直，垂足为D。

（1）求证角EAC=角CAB

（2）若CD=4,AD=8

若CD=4,AD=8,求圆O的半径； 求tan角BAE的值

3.（2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

（1）求证：

△ABE∽△ADB；

（2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：

（1）证明：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，

又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB，

（2）∵△ABE∽△ADB，∴

，

∴AB2=AD·AE=（AE＋ED）·AE=（2＋4）×2=12

∴AB=

．

（3）直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，

∴

，

BF=BO=

，

∵AB=

，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，

∴直线FA与⊙O相切．

4.．（2012•湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．

（1）如图1，求证：

△PCD∽△ABC；

（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？

请在图2中画出△PCD并说明理由；

（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵PD⊥CD，

∴∠D=90°，

∴∠D=∠ACB，

∵∠A与∠P是

对的圆周角，

∴∠A=∠P，

∴△PCD∽△ABC；

（2）解：

当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，

理由：

∵AB，PC是⊙O的半径，

∴AB=PC，

∵△PCD∽△ABC，

∴△PCD≌△ABC；

（3）解：

∵∠ACB=90°，AC=AB，

∴∠ABC=30°，

∵△PCD∽△ABC，

∴∠PCD=∠ABC=30°，

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴

=

，

∴∠ACP=∠ABC=30°，

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．

典型例题

1.如图，在圆O中，AB是直径，P为AB上一点，∠NPB=45°

（1）若AP=2，BP=6，求MN的长

（2）若MP=3，NP=5，求AB的长

（3）当P在AB上运动时（保持∠NPM的度数不变），试问（PM^2+PN^2）/AB^2的值是否发生变化若不变，请求其值；若变化，请求出其值的范围。

1因直径AB=AP+BP=2+6=8，所以半径OA=8/2=4，OP=OA-AP=4-2=2.又角MPB=45度，故作OH垂直MN，垂足为H，三角形OHP是等腰直角三角形。

OH=HP，而OH^2+PH^2=OP^2,所以，OH=PH=OP/（根号2）=根号2.再，过圆心的垂直弦平分弦，故MH=NH，连接OM，在直角三角形OHM中，利用勾股定理，MH^2=MO^2-OH^2=4^2-（根号2）^2=14,MH=根号14,因此，MP=根号14-根号2，NP=根号14+根号2，MN=2根号14.2若MP=3，NP=5，那么，MN=3+5=8，MH=8/2=4，PH=1.由于三角形OHP是等腰直角三角形，OH=HP=1，在直角三角形MHO中利用勾股定理，OM^2=OH^2+MH^2=1+4^2=17,所以，OM=根号17，直径AB=2根号17.

3因MH=NH，OH=HP，OH垂直MN，那么PM^2+PN^2=（MH-HP）^2+（PH+HN）^2=（MH-HP）^2+（MH+HP）^2=2（MH^2+HP^2）=2（MH^2+HO^2）=2OM^2所以，（PM^2+PN^2）/AB^2=2OM^2/（2OM）^2=1/2.可见，P变化时，比值不变，总为1/2.

2.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，A是弧BDC中点，AE⊥AC于A，与圆O及CD的延长线分别交于E、F，且BF=AD，EM切圆O与M：

如图，已知四边形ABCD内接于圆O，A是弧BDC中点，AE⊥AC于A，与圆O及CD的延长线分别交于E、F，且BF=AD，EM切圆O与M：

1.△ADC∽△EBA

2.AC²=1/2*BC*CE

3.若AB=2，EM=3，求tan∠CAD

1，

∵BF=AD

∴∠EAB=ACD

∵∠EBA=∠D（圆内接四边形外角等于内对角）

∴△ADC∽△EBA

2，

∵A是弧BDC中点，且AH过圆心O，

∴AH为BC的中垂线

又知AE⊥AC

∴△EAC∽△AHC

∴AC:

EC=CH:

AC

AC^2=CE*CH=1/2CE*BC

3

由EM是○O的切线得：

ME^2=EF*AE=（AE-AF）*AE

即：

9=AE^2-AE*AF

连接CFAB=AC

角AFC=角ACB

△AEC∽△AFC

AC^=AE*AF

所以：

求得AE^2=13，AE=√13

所以：

tan∠5=AC/AE=2/√13

即：

tan∠DAC=2/√13