第五章测量误差的基本知识精.docx
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第五章测量误差的基本知识精
第五章测量误差的基本知识§5.1测量误差概述§5.2衡量精度的标准§5.3误差传播定律
§5.4等精度直接观测最可靠值
§5.1测量误差概述
测量实践中可以发现,测量结果不可避免的存在误差,比如:
1、对同一量多次观测,其观测值不相同。
2、观测值之和不等于理论值:
三角形α+β+γ≠180°
闭合水准∑h≠0
一、测量误差的来源
1.仪器误差
2.观测误差观测条件
3.外界条件的影响等精度观测:
观测条件相同的各次观测。
非等精度观测:
观测条件不相同的各次观测。
粗差:
因读错、记错、测错造成的错误。
(要杜绝)
二、测量误差的分类1、系统误差—误差的大小、符号相同或按
一定的规律变化。
在相同的观测条件下,无论在个体和群体上,呈现出以下特性:
误差的绝对值为一常量,或按一定的规律变化;误差的正负号保持不变,或按一定的规律变化;误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。
例:
钢尺—尺长、温度、倾斜改正
经纬仪—c角、i角注意:
系统误差具有累积性,对测量成果影响较大。
消除和削弱的方法:
(1)用计算方法加以改正。
如尺长误差;
(2)用一定的观测方法加以抵消或削弱。
如盘左盘右法;
(3)将系统误差限制在允许范围内。
如校正仪器。
2、偶然误差
在相同的观测条件下,对某个固定量作一系列的观测,若误差出现的符号和大小均不一定,这类误差称为偶然误差。
偶然误差的特性
①在一定的条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;(有界性)
②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多;(密集性、区间性)
③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等,可相互抵消;
④同一量的等精度观测,其偶然误差的算术平均值,随着观测次数的增加而趋近于零,
误差处理的原则:
1、粗差:
舍弃含有粗差的观测值,并重新进行观测。
2、系统误差:
按其产生的原因和规律加以改正、抵
消和削弱。
3、偶然误差:
根据误差特性合理的处理观测数据
减少其影响。
§5.2衡量精度的标准
精度:
又称精密度,指在对某量进行多
次观测中,各观测值之间的离散程度。
中误差
评定精度的标准容许误差
相对误差
一、中误差
定义在相同条件下,对某量(真值为X)进行n次独立观测,观测值l1,l2,……,ln,偶然误差(真误差)Δ1,Δ2,……,Δn,则中误差m的定义为:
2+...+∆n,∆i式中[∆∆]=2∆12+∆22+∆3=li-x
例:
试根据下表数据,分别计算各组观测值的中误差。
(其中真值为
180)
0+2+1+(-3)+4+3+(-2)+(-1)+2+(-4)m1=±=±2.5''102222222222
第二组观测值的中误差:
(-1)2+22+(-6)2+02+(-1)2+72+12+02+(-3)2+(-1)2m2=±=±3.2''10m1 说明: 中误差越小,观测精度越高 二、相对误差 相对误差K是中误差的绝对值m与相应观测值D之比,通常以分子为1的分式来表示,称其为相对(中)误差。 即: 一般情况: 角度、高差的误差用m表示, 量距误差用K表示。 [例]已知: D1=100m,m1=±0.01m,D2=200m,m2=±0.01m,求: K1,K2 解: 注: 经纬仪测角时,不能用相对误差来衡量测角精度,因为测角误差与角度大小无关。 三、容许误差(极限误差) 定义由偶然误差的特性可知,在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 这个限值就是容许(极限)误差。 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差; 即Δ容=2m或Δ容=3m。 极限误差的作用: 区别误差和错误的界限。 偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个,占总数的35%,绝对值大于两倍中误差18˝的只有一个,占总数 中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。 §5.3误差传播定律 误差传播定律: 阐述观测值的中误差与观测值 一、一般函数 z=f(x1,x2,x3,⋅⋅⋅,xn) 式中: xi为独立观测值;m1,m2,m3,⋅⋅⋅,mn 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分,并用“Δ”替代“d”,得 (i= 1,2,⋅⋅⋅,n)是函数F对xi的偏导数,因此上式是线性函数,其中误差为: [例]已知: 测量斜边S=50.00±0.05m,测得倾角解: 1.函数式 2.全微分 3. 求中误差 D =Scosα 二、线性函数的误差传播定律设线性函数为: z=k1x1±k2x2±±knxn式中x1,x2,xn为独立的直接观测值, x1,x2,xn相应的k1,k2,kn为常数, 观测值的中误差为m1 m2,mn。 三、运用误差传播定律的步骤 求观测值函数中误差的步骤: 1.列出观测值函数的表达式: Z=f(x1,x2,⋅⋅⋅xn) 2.对函数式全微分,得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式: ∂f式中,()是用观测值代入求得的值。 ∂xi 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差: 注意: 在误差传播定律的推导过程中,要求观 测值必须是独立观测值。 误差传播定的几个主要公式: 函数名称 倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数函数式z=kx函数的中误差mz=±kmx222mz=±m1+m2++mnz=x1±x2±±xnz=k1x1±k2x2±±knxnZ=f(x1,x2,⋅⋅⋅xn)22222mz=±k12m1+k2m2++knmn∂f22∂f22∂f22mZ=±()m1+()m2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()mn∂x1∂x2∂xn §5.4等精度直接观测最可靠值 一、求最或然值 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次,观测值为l1、l2……ln,中误差为m1、m2…mn,则其算术平均值(最或然值、似真值)L为: 二、算术平均值中误差mL 因为 式中,1/n为常数。 由于各独立观测值的精度相同,设其中误差均为m。 设平均值的中误差为mL,则有 故 由此可知,算术平均值的中误差为观 倍。 三、精度评定 第一公式条件: 观测值真值 x已知 第二公式 条件: 观测值真值 x未知, 算术平均值L已知 其中Vi—观测值改正数,Vi=L-li 例题: 设用经纬仪测量某个角6测回,观测值列于 表中。 试求观测值的中误差及算术平均值中误差。 算术平均值L中误差是:
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