八下期中易错题提高题集锦附详细解答.docx
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八下期中易错题提高题集锦附详细解答
20XX年04月17日彭sir的初中数学组卷
参考答案与试题解析
2.(2014•达州)如图,在四边形ABCD中,∠A+∠D=α,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P,则∠P=( )
A.
90°﹣
α
B.
90°+
α
C.
D.
360°﹣α
解:
∵四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°﹣(∠A+∠D)=360°﹣α,
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线,
∴∠PBC+∠PCB=
(∠ABC+∠BCD)=
(360°﹣α)=180°﹣
α,
则∠P=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣(180°﹣
α)=
α.
故选:
C.
15.(2014•滕州市校级模拟)
(1)如图1,点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点,若S△PAB=S1,S△PBC=S2,S△PCD=S3,S△PAD=S4则S1、S2、S3、S4的关系为S1=S2=S3=S4.请你说明理由;
(2)变式1:
如图2,点P是平行四边形ABCD内一点,连接PA、PB、PC、PD.若S△PAB=S1,S△PBC=S2,S△PCD=S3,S△PAD=S4,则S1、S2、S3、S4的关系为 S1+S3=S2+S4 ;
(3)变式2:
如图3,点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若S△PAB=S1,S△PBC=S2,S△PCD=S3,S△PAD=S4,则S1、S2、S3、S4的关系为 S1•S3=S2•S4 .请你说明理由.
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AP=CP,
又∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同,
∴S△PAB=S△PBC,
即S1=S2,
同理可证S2=S3S3=S4,
∴S1=S2=S3=S4;
(2)S1+S3=S2+S4;
(3)S1•S3=S2•S4;
理由:
∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同,
∴
即
,
∵△PAD中AP边上的高与△PCD中CP边上的高相同,
∴
即
,
∴
,
∴S1•S3=S2•S4
16.(2013•淄博)分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,△ABE,△CDG,△ADF.
(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的关系(只写结论,不需证明);
(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF,EF,
(1)中结论还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°,
∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,
∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA,
∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣(180°﹣∠CDA)=90°+∠CDA,
∴∠FDG=∠EAF,
∵在△EAF和△GDF中,
,
∴△EAF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,
∴∠GFE=90°,
∴GF⊥EF,GF=EF;
(2)GF⊥EF,GF=EF成立;
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°,
∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,
∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,
∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°,
∴∠EAF+∠CDF=45°,
∵∠CDF+∠GDF=45°,
∴∠FDG=∠EAF,
∵在△GDF和△EAF中,
,
∴△GDF≌△EAF(SAS),
∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,
∴∠GFE=90°,
∴GF⊥EF,GF=EF.
17.(2013•牡丹江)在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:
DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③,请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF= 2或10 .
解:
(1)证明:
∵DF∥AC,DE∥AB,
∴四边形AFDE是平行四边形.∴AF=DE,∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠FDB=∠B∴DF=BF∴DE+DF=AB=AC;
(2)图②中:
AC+DE=DF.图③中:
AC+DF=DE.
(3)当如图①的情况,DF=AC﹣DE=6﹣4=2;当如图②的情况,DF=AC+DE=6+4=10.
故答案是:
2或10.
18.(2013•涉县模拟)理论探究:
已知平行四边形ABCD的面积为100,M是AB所在直线上一点.
(1)如图1:
当点M与B重合时,S△DCM= 50 ;
(2)如图2,当点M与B与A均不重合时,S△DCM= 50 ;
(3)如图3,当点M在AB(或BA)的延长线上时,S△DCM= 50 ;
拓展推广:
如图4,平行四边形ABCD的面积为a,E、F分别为DC、BC延长线上两点,连接DF、AF、AE、BE,求出图中阴影部分的面积,并说明理由.
实践应用:
如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD,PQ、MN分别平行于DC、AD,它们相交于点O,其中S四边形AMOP=300m2,S四边形MBQO=400m2,S四边形NCQO=700m2,现进行绿地改造,在绿地内部作一个三角形区域MQD(连接DM、QD、QM,图中阴影部分)种植不同的花草,求出三角形区域的面积.
解:
(1)设点M到CD的距离等于h,则平行四边形ABCD的面积=CD•h=100,
S△DCM=
CD•h=
×100=50;
(2)与
(1)同理可得S△DCM=
×100=50;
(3)与
(1)同理可得S△DCM=
×100=50;
拓展推广:
根据
(1)的结论,S△ABE=
S▱ABCD=
a,
S△ADF=
S▱ABCD=
a,
∴阴影部分的面积=
a+
a=a;
实践应用:
设平行四边形POND的面积为x,
则
=
,
解得x=525,
根据前面信息,S△AMD=
×(525+300)=412.5,
S△MBQ=
×400=200,
S△CDQ=
×(525+700)=612.5,
∴三角形区域的面积=300+400+700+525﹣412.5﹣200﹣612.5=1925﹣1225=700m2
20.(2013春•吴兴区校级期末)如图,在▱ABCD中,BD为对角线,EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F,交BD于点O.
(1)试说明:
BF=DE;
(2)试说明:
△ABE≌△CDF;
(3)如果在▱ABCD中,AB=5,AD=10,有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发,沿△BAE和△DFC各边运动一周,即点P自B→A→E→B停止,点Q自D→F→C→D停止,点P运动的路程是m,点Q运动的路程是n,当四边形BPDQ是平行四边形时,求m与n满足的数量关系.(画出示意图)
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF,∵EF垂直平分BD,∴OB=OD,
在△OBF和△ODE中,
,∴△BOF≌△DOE(ASA),∴BF=DE;
(2)∵四边新ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠A=∠C,AD=BC,∵BF=DE,∴AE=CF,在△ABE和△CDF中,
,∴△ABE≌△CDF(SAS),
(3)解:
∵EF垂直平分BD,∴BF=DF,∵△ABE≌△CDF,∴DF=BE,AE=CF,
∴△DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15,△ABE的周长也是15,
①当P在AB上,Q在CD上,∵AB∥CD,∴∠BPO=∠DQO,∵∠POB=∠DOQ,OB=OD,∴△BPO≌△DQO,∴BP=DQ,∴m+n=BP+DF+CF+CQ=DF+CF+CQ+DQ
=DF+CF+CD=15
②当P在AE上,Q在CF上,
∵AD∥BC,∴∠PEO=∠QFO,∵△EOD≌△FOB,∴OE=OF,∵∠PEO=∠QFO,∠EOP=∠FOQ,∴△PEO≌△QFO,∴PE=QF,∵AE=CF,∴CQ=AP,
m+n=AB+AP+DF+PQ=CD+CQ+DF+FQ=DF+CF+CD=15;
③当P在BE上,Q在DF上,∵AD=BC,AE=CF,∴DE=BF,∵DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,∴BE=DF,BE∥DF,∴∠PEO=∠FQO,
∵∠EOP=∠FOQ,OE=OF,∴△PEO≌△FQO,∴PE=FQ,
∴m+n=AB+AE+PE+DQ=CD+CF+QF+DQ=DF+CF+CD=15.
21.(2013春•宁江区期末)如图,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH.
(1)求证:
四边形AFHD为平行四边形;
(2)若CB=CE,∠BAE=60°,∠DCE=20°,求∠CBE的度数.
证明:
(1)∵BF=BE,CG=CE,∴BC
FG,
又∵H是FG的中点,
∴FH=
FG.
∴BC
FH.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD
BC.
∴AD
FH.
∴四边形AFHD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAE=60°,
∴∠BAE=∠DCB=60°.
又∵∠DCE=20°,
∴∠ECB=∠DCB﹣∠DCE=60°﹣20°=40°.
∵CE=CB,
∴∠CBE=∠BEC=
(180°﹣∠ECB)=
(180°﹣40°)=70°.
23.(2011•贵阳)[阅读]
在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为
.
[运用]
(1)如图,矩形ONEF的对角线相交于点M,ON、OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为 (2,1.5) .
(2)在直角坐标系中,有A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点,求点D的坐标.
解:
(1)M(
,
),即M(2,1.5).
(2)如图所示:
根据平行四边形的对角线互相平分可得:
设D点的坐标为(x,y),
∵以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形,
①当AB为对角线时,
∵A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4),
∴BC=
,∴AD=
,
∵﹣1+3﹣1=1,2+1﹣4=﹣1,
∴D点坐标为(1,﹣1),
②当BC为对角线时,
∵A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4),
∴AC=2
,BD=2
,
D点坐标为(5,3).
③当AC为对角线时,
∵A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4),
∴AB=
,CD=
,
D点坐标为:
(﹣3,5),
综上所述,符合要求的点有:
D'(1,﹣1),D″(﹣3,5),D″′(5,3).
25.(2011•广阳区一模)
(1)如果△ABC的面积是S,E是BC的中点,连接AE(图1),则△AEC的面积是
;
(2)在△ABC的外部作△ACD,F是AD的中点,连接CF(图2),若四边形ABCD的面积是S,则四边形AECF的面积是
;
(3)若任意四边形ABCD的面积是S,E、F分别是一组对边AB,CD的中点,连接AF,CE(图3),则四边形AECF的面积是
.
拓展与应用
(1)若八边形ABCDEFGH的面积是100,K,M,N,O,P,Q分别是AB,BC,CD,EF,FG,GH的中点,连接KH,MG,NF,OD,PC,QB(图4),则图中阴影部分的面积是 50 ;
(2)四边形ABCD的面积是100,E,F分别是一组对边AB,CD上的点,且AE=
AB,CF=
CD,连接AF,CE(图5),则四边形AECF的面积是
.
(3)▱ABCD的面积为2,AB=a,BC=b,点E从点A出发沿AB以每秒v个单位长的速度向点B运动.点F从点B出发沿BC以每秒
个单位的速度向点C运动.E、F分别从点A,B同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.请问四边形DEBF的面积的值是否随着时间t的变化而变化?
若不变,请写出这个值 1 ,并写出理由;若变化,说明是怎样变化的.
解:
(1)△AEC的面积是
S;
(2)四边形AECF的面积是
S;
(3)四边形AECF的面积是
S.
拓展与应用
(1)图中阴影部分的面积是50;
(2)四边形AECF的面积是
;
(3)这个值是1;连接BD.
∵S△BED=
S△ABD,S△BFD=
S△BCD.
∴S△BED+S△BFD=
S△ABD+
S△BCD,
∵S△ABD=S△BCD,
∴S△BED+S△BFD=S△ABD=1.
26.(2011秋•江都市期末)如图
(1),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N.
(1)试说明:
FG=
(AB+BC+AC);
(2)①如图
(2),BD、CE分别是△ABC的内角平分线;②如图(3),BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线.
则在图
(2)、图(3)两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由.
解:
(1)证明:
∵AF⊥BD,∠ABF=∠MBF,
∴∠BAF=∠BMF,
∴MB=AB,
∴AF=MF,
同理可说明:
CN=AC,AG=NG
∴FG是△AMN的中位线,
∴FG=
MN=
(MB+BC+CN)=
(AB+BC+AC)
(2)解:
图
(2)中,FG=
(AB+AC﹣BC)
图(3)中,FG=
(AC+BC﹣AB)
①如图
(2),延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,
由
(1)中可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG,
∴FG=
MN=
(BM+CN﹣BC)=
(AB+AC﹣BC),
②如图(3)延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,同样由
(1)中可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG,
∴FG=
MN=
(CN+BC﹣BM)=
(AC+BC﹣AB),解答正确一种即可
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