江苏省南师大附校学年高二上学期调研测试数学试题Word版含答案.docx
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江苏省南师大附校学年高二上学期调研测试数学试题Word版含答案
南师大附校高二调研测试
数学2015.08.31
注意事项:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分160分,考试时间120分钟.
2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置.
3.答题时,必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置,在其他位置作答一律无效.
4.本卷考试结束后,上交答题卡.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合A={1,2},B={2,3,4},则A∪B=▲.
2.函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是▲.
3.已知tanα=-2,,且
<α<π,则cosα+sinα=▲.
4.已知向量a=(2,1),b=(1,x),且(a+b)⊥a,则实数x的值为▲.
5.已知直线l:
x+my+6=0,若点A(-5,1)到直线l的距离为
,则实数m的值为▲.
6.若A(1,2),B(-3,4),C(2,t)三点共线,则实数t的值为▲.
7.已知圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆,则该圆锥的体积为▲.
8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知C=120︒,c=2
,acosB=bcosA,则△ABC的面积为▲.
9.对于不重合直线a,b,不重合平面α,β,γ,下列四个条件中,能推出α∥β的有▲.(填写所有正确的序号).
①γ⊥α,γ⊥β;②α∥γ,β∥γ;
③a∥α,a∥β;④a∥b,a⊥α,b⊥β.
10.已知函数f(x)=a+
是奇函数,则实数a的值为▲.
11.设f(x)=x2-3x+a.若函数f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数a的取值范围为▲.
12.已知公差不为零的等差数列{an}的前8项的和为8,且a12+a72=a32+a92,则{an}的通项公式为
an=▲.
13.某地一天6时至20时的温度y(︒C)随时间x(小时)的变化近似满足函数y=10sin(
x+
)+20,x∈[6,20].在上述时间范围内,温度不低于20︒C的时间约有▲小时.
14.已知函数f(x)=
若将集合A={x∣f(x)=t,0<t<1}中元素由小到大排列,则前六个元素之和为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(3,5),AB边所在直线的方程为x-3y+8=0,点N(0,6)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求对角线AC所在直线的方程.
16.(本小题满分为14分)
在△ABC中,已知cosA=
,tan(B-A)=
,AC=5.求:
(1)B;
(2)AB边的长.
17.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知点D为棱BC中点.
(1)如果AB=AC,求证:
平面ADC1⊥平面BB1C1C;
(2)求证:
A1B∥平面AC1D.
18.(本小题满分16分)
设等差数列{an}的公差为d(d≠0),已知它的前10项和为110,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
}的前
项和Tn.
19.(本小题满分16分)
如图,某小区进行绿化改造,计划围出一块三角形绿地ABC,其中一边利用现成的围墙BC,长度为a米,另外两边AB,AC使用某种新型材料,∠BAC=120︒.设AB=x米,AC=y米.
(1)求x,y满足的关系式;
(2)若无论如何设计上述三角形绿地确保此材料都够用,则至少需准备长度为多少的此种新型材料?
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ax2-|x-a|.
(1)当a=3时,求不等式f(x)>7的解集;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[3,+∞)上的值域.
高二数学参考答案及评分标准2015.08
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.{1,2,3,4}.2.π.3.
.4.-7.5.1.
6.
.7.
π.8.
.9.②④.10.
.
11.(0,
]12.-2n+10.13.8.14.52.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解
(1)解法一:
因为AB边所在直线的方程为x-3y+8=0,所以kAB=
.……………………2分
又因为矩形ABCD中,AD⊥AB,所以kAD=-
=-3.…………………………4分
所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为:
y-6=-3(x-0),
即3x+y-6=0.…………………………6分
解法二:
因为矩形ABCD中,AD⊥AB,
所以设AD边所在直线的方程为:
3x+y+m=0.…………………………4分
又因为直线AD过点N(0,6),
所以将点N(0,6)代入上式得3×0+6+m=0,解得m=-6.
所以AD边所在直线的方程为:
3x+y-6=0.…………………………6分
(2)由
解得
即A(1,3),…………………………10分
所以对角线AC所在直线的方程:
=
,
即x-y+2=0.…………………………14分
16.解
(1)解法一:
在△ABC中,因为cosA=
,所以tanA=
,…………………………2分
所以tanB=tan[(B-A)+A]=
=
=1.…………………………4分
因为B∈(0,π),所以B=
.…………………………6分
解法二:
在△ABC中,因为cosA=
,所以tanA=
,…………………………2分
所以tan(B-A)=
=
=
,解得tanB=1.…………………………4分
因为B∈(0,π),所以B=
.…………………………6分
(2)在△ABC中,由cosA=
,B=
,
可得sinA=
,sinB=cosB=
,…………………………9分
从而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
.…………………………11分
由正弦定理
=
,代入得
=
,从而AB=7.…………………………14分
解法二:
作CD⊥AB,垂足为D,由AC=5,cosA=
,
所以CD=3,AD=4,…………………………9分
又B=
,所以BD=CD=3,…………………………12分
所以AB=3+4=7.…………………………14分
17.证明
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.
因为AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.………………………2分
因为AB=AC,D为BC中点,所以AD⊥BC.…………………4分
因为BC⊂平面BB1C1C,CC1⊂平面BB1C1C,BC∩CC1=C,
所以AD⊥平面BB1C1C.…………………………6分
因为AD⊂平面AC1D,
所以平面AC1D⊥平面BB1C1C.……………………………8分
(2)连结A1C,设A1C∩AC1=E,连结DE.
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C为平行四边形,
所以E为A1C中点.…………………………10分
因为D为BC中点,所以DE∥A1B.…………………………12分
因为DE⊂平面AC1D,A1B⊄平面AC1D,
所以A1B∥平面AC1D.…………………………14分
18.解
(1)设{an}的前n项和为Sn,则由S10=110,得2a1+9d=22.①…………………………4分
由a1,a2,a4成等比数列,得a22=a1a4.②…………………………6分
由①②解得
所以an=2n;…………………………8分
(2)
=
=
(
-
),…………………………12分
所以Tn=
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]=
.…………………………16分
19.解
(1)在△ABC中,由余弦定理得a2=x2+y2-2xycos120︒,
即x2+y2+xy=a2;…………………………5分
(2)由x2+y2+xy=a2,得(x+y)2=a2+xy,即(x+y)2-a2=xy.…………………………8分
由xy≤(
)2,得(x+y)2-a2≤(
)2,…………………………12分
解得(x+y)2≤
a2,即x+y≤
a,…………………………14分
当且仅当x=y=
a时取等号.
答:
至少需要准备
a米材料,才能确保能够围成上述三角形绿地.…………………………16分
20.解
(1)当a=3时,不等式f(x)>7,即3x2-|x-3|>7,
①当x≥3时,原不等式化为3x2-x-4>0,
解得x<-1或x>
,此时取x≥3;…………………………2分
②当x<3时,原不等式化为3x2+x-10>0,
解得x<-2或x>
,此时取x<-2或
<x<3.…………………………4分
综上,所求不等式解集为{x∣x<-2或x>
}.…………………………6分
(2)(Ⅰ)当0<a≤3时,f(x)=ax2-x+a=a(x-
)2+a-
.
①若
<3,即
<a≤3时,f(x)在[3,+∞)上单调增,值域为[f(3),+∞),
即[10a-3,+∞);…………………………8分
②若
≥3,即0<a≤
时,值域为[f(
),+∞),
即[a-
,+∞).…………………………10分
(Ⅱ)当a>3时,f(x)=
①当x≥a时,f(x)=ax2-x+a=a(x-
)2+a-
,图象开口向上,
对称轴x=
在[a,+∞)的左边,则f(x)在[a,+∞)上为增函数,
所以f(x)∈[f(a),+∞),即[a3,+∞).…………………………12分
②当3≤x<a时,f(x)=ax2+x-a=a(x+
)2-a-
,图象开口向上,
对称轴x=-
在区间[3,a)的左边,f(x)在[3,a)上为增函数,
所以f(x)∈[f(3),f(a)),即f(x)∈[8a+3,a3).…………………………14分
所以当a>3时,f(x)∈[a3,+∞)∪[8a+3,a3),
即f(x)∈[8a+3,+∞).
综上所述,当0<a≤
时,f(x)值域为[a-
,+∞);
当
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