小学奥数走停问题.docx
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小学奥数走停问题.docx
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小学奥数走停问题
教學目標
1、學會化線段圖解決行程中的走停問題
2、能夠運用等式或比例解決較難的行程題
3、學會如何用枚舉法解行程題
知識點撥
本講中的知識點較為複雜,主要講行程過程中出現休息停頓等現象時的問題處理。
解題辦法比較駁雜。
例題精講
模組一、停一次的走停問題
【例1】甲、乙兩車分別同時從A,B兩城相向行駛,6時後可在途中某處相遇。
甲車因途中發生故障拋描,修理2.5時後才繼續行駛,因此從出發到相遇經過7.5時。
甲車從A城到B城共用多長時間?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】12.5時。
由題意推知,兩車相遇時,甲車實際行駛5時,乙車實際行駛7.5時。
與計畫的6時相遇比較,甲車少行1時,乙車多行1.5時。
也就是說甲車行1時的路程,乙車需行1.5時。
進一步推知,乙車行7.5時的路程,甲車需行5時。
所以,甲車從A城到B城共用7.5+5=12.5(時)。
【答案】12.5時
【例2】龜兔賽跑,同時出發,全程6990米,龜每分鐘爬30米,兔每分鐘跑330米,兔跑了10分鐘就停下來睡了215分鐘,醒來後立即以原速往前跑,問龜和兔誰先到達終點?
先到的比後到的快多少米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】先算出兔子跑了
(米),烏龜跑了
(米),此時烏龜只餘下
(米),烏龜還需要
(分鐘)到達終點,兔子在這段時間內跑了
(米),所以兔子一共跑
(米).所以烏龜先到,快了
(米).
【答案】
米
【例3】快車與慢車分別從甲、乙兩地同時開出,相向而行,經過5時相遇。
已知慢車從乙地到甲地用12.5時,慢車到甲地停留1時後返回,快車到乙地停留2時後返回,那麼兩車從第一次相遇到第二次相遇共需多長時間?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】11時36分。
快車5時行的路程慢車需行12.5-5=7.5(時),所以快車與慢車的速度比為7.5∶5=3∶2。
因為兩車第一次相遇時共行甲、乙兩地的一個單程,第二次相遇時共行三個單程,所以若兩車都不停留,則第一次相遇到第二次相遇需10時。
現在慢車停留1時,快車停留2時,所以第一次相遇後
時,兩車間的距離快車還需行
分,這段距離兩車共行需
(分)。
第一次相遇到第二次相遇共需11時36分。
【答案】11時36分
【例4】郵遞員早晨7時出發送一份郵件到對面山裏,從郵局開始要走12千米上坡路,8千米下坡路.他上坡時每小時走4千米,下坡時每小時走5千米,到達目的地停留1小時以後,又從原路返回,郵遞員什麼時候可以回到郵局?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】從整體上考慮,郵遞員走了12+8=20千米的上坡路,走了12+8=20千米的下坡路,所以共用時間為:
20÷4+20÷5=9(小時),郵遞員是下午7+10-12=5(時)回到郵局。
【答案】5時
【例5】一輛汽車原計畫6小時從A城到B城。
汽車行駛了一半路程後,因故在途中停留了30分鐘。
如果按照原定的時間到達B城,汽車在後一半路程的速度就應該提高12千米/時,那麼A、B兩城相距多少千米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】3汽車行駛了一半路程即行駛了3小時,那麼他後一半路程行駛了2.5小時,2.5小時比原來2.5小時多行駛2.5×12=30千米。
則原來的速度為30÷(3-2.5)=60(千米)。
那麼A、B兩地相距60×6=360(千米)
【答案】360千米
【巩固】一輛汽車從甲地開往乙地,每分鐘行750米,預計50分鐘到達.但汽車行駛到路程的3/5時,出了故障,用5分鐘修理完畢,如果仍需在預定時間內到達乙地,汽車行駛餘下的路程時,每分鐘必須比原來快多少米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】當以原速行駛到全程的3/5時,總時間也用了3/5,所以還剩下50×(1-3/5)=20分鐘的路程;修理完畢時還剩下20-5=15分鐘,在剩下的這段路程上,預計時間與實際時間之比為20:
15=4:
3,根據路程一定,速度比等於時間的反比,實際的速度與預定的速度之比也為4:
3,因此每分鐘應比原來快750×4/3-750=250米.
【答案】250米
【例6】一列火車出發1小時後因故停車0.5小時,然後以原速的3/4前進,最終到達目的地晚1.5小時.若出發1小時後又前進90公里再因故停車0.5小時,然後同樣以原速的3/4前進,則到達目的地僅晚1小時,那麼整個路程為多少公里?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】出發1小時後因故停車0.5小時,然後以原速的
前進,最終到達目的地晚1.5小時,所以後面以原速的
前進的時間比原定時間多用
小時,而速度為原來的
,所用時間為原來的
,所以後面的一段路程原定時間為
小時,原定全程為4小時;出發1小時後又前進90公里再因故停車0.5小時,然後同樣以原速的
前進,則到達目的地僅晚1小時,類似分析可知又前進90公里後的那段路程原定時間為
小時.所以原速度行駛90公里需要1.5小時,而原定全程為4小時,所以整個路程為
公里.
【答案】
公里
【例7】一輛汽車從甲地開往乙地,每分鐘行750米,預計50分鐘到達.但汽車行駛到路程3/5時,出了故障,用5分鐘修理完畢,如果仍需在預定時間內到達乙地,汽車行駛餘下的路程時,每分鐘必須比原來快多少米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】當以原速行駛到全程的
時,總時間也用了
,所以還剩下
分鐘的路程;修理完畢時還剩下
分鐘,在剩下的這段路程上,預計時間與實際時間之比為
,所以相應的速度之比為
,因此每分鐘應比原來快
米.
【答案】
米
【例8】甲每分鐘走80千米,乙每分鐘走60千米.兩人在A,B兩地同時出發相向而行在E相遇,如果甲在途中休息7分鐘,則兩人在F地相遇,已知為C為AB中點,而EC=FC,那麼AB兩地相距多少千米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】由速度比甲:
乙=4:
3得AE:
BE=4:
3即假設AE為4份,則BE為3份.因為C為中點,且EC=FC所以AF=3份.在速度比不變的情況下,同樣的時間甲走3份路程,乙應該走3×
=
份路程.那麼,在甲休息時,乙多走的7分鐘路程就相當於4份-
份=
份.AB總距離為:
(60×7)÷
×7=1680千米
【答案】1680千米
【巩固】一輛貨車從甲地開往乙地需要7小時,一輛客車從乙地開往甲地需要9小時,兩車同時從兩地相對開出。
中途貨車因故停車2小時,相遇時,客車比貨車多行30千米。
甲、乙兩地相距多少千米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】240
【答案】240
【例9】一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地,大轎車的速度是小轎車速度的0.8倍.已知大轎車比小轎車早出發17分鐘,它在兩地中點停了5分鐘後,才繼續駛往乙地;而小轎車出發後中途沒有停,直接駛往乙地,最後小轎車卻比大轎車早4分鐘到達乙地.又知大轎車是上午10時從甲地出發.求小轎車追上大轎車的時間.
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】小轎車晚於大轎車從甲地出發,先於大轎車到達乙地,說明兩車一定在中間某時間相遇.如圖13-4,A(甲地)與B(乙地)中點記為C.則相遇地點可能在AC之間,可能在C點,也可能在CB之間.另一方面,大轎車先出發17分鐘,晚到4分鐘,中間又停了5分鐘,一共比小轎車多走16分,而大轎車的速度是小轎車的0.8倍.從這裏可以求出從A到B大、小轎車在不停的情況下各需要多少時間,再根據三種情況按順序判斷相遇地點在哪里.大轎車的速度是小轎車的0.8倍,可以知道大轎車不停頓地從A到B所用的時間是小轎車的1.25倍;而由分析得出小轎車比大轎車少用16分鐘,用差倍問題可以得出走完全程小轎車需要用時:
16÷(1.25-1)=64分鐘.大轎車用時:
64×1.25=80分鐘.大轎車從A到C用時80÷2=40分鐘,在C停留5分鐘,離開C時10時45分.而小轎車在10時17分出發,經過64÷2=32分鐘到達C,即10時49分到達C.也就是說,小轎車在C時,與大轎車相差大轎車4分鐘行駛的路程.而另一方面,小轎車10時17+64分,即11時21分到達B,此時大轎車距小轎車相差也是大轎車4分鐘的行駛的路程,只不過這一次小轎車在前面.小轎車由在大轎車後面大轎車4分鐘的路程,變為大轎車前距大轎車4分鐘路程,易知小轎車一定在這兩個時刻的中點與大轎車相遇,即10點49分與11時21分的中點相遇.即11時5分小轎車追上大轎車.
【答案】11時5分
【例10】甲、乙兩地相距100千米,小張先騎摩托車從甲地出發,1小時後小李駕駛汽車從甲地出發,兩人同時到達乙地.摩托車開始速度是每小時50千米,中途減速後為每小時40千米.汽車速度是每小時80千米,汽車曾在途中停駛10鐘.那麼小張駕駛的摩托車減速是在他出發後的多少小時?
.
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】汽車從甲地到乙地的行駛時問為100÷80=1.25小時=1小時15分鐘,加上中途停駛的10分鐘,共用時1小時25分鐘.而小張先小李1小時出發,但卻同時到達,所以小張從甲到乙共用了2小時25分鐘,即2最小時.以下給出兩種解法:
方法一:
設小張駕駛的摩托車減速是在他出發後
小時,有50×
+40×
解得
.所以小張駕駛的摩托車減速是在他出發後
小時.
方法二:
如果全程以每小時50千米的速度行駛,需100÷50=2小時的時間,全程以每小時40千米的速度行駛,需100÷40=2.5小時.依據雞兔同籠的思想知,小張以每小時50千米的速度行駛了
的路程,即行駛了100
千米的路程,距出發
小時.
【答案】
小時
模組二、停多次的走停問題
【例11】一列客車和一列貨車同時從兩地相向開出,經過18小時兩車在某處相遇,已知客車每小時行50千米,貨車每小時比客車少行8千米,貨車每行3小時要停駛1小時。
問:
兩地之間的鐵路長多少千米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】1488
【答案】1488
【例12】甲、乙兩人分別從相距35.8千米的兩地出發,相向而行.甲每小時行4千米,但每行30分鐘就休息5分鐘;乙每小時行12千米,則經過________小時________分的時候兩人相遇.
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】經過2小時15分鐘的時候,甲實際行了2小時,行了4×2=8千米,乙則行了
千米,兩人還相距35.8-27-8=0.8千米,此時甲開始休息,乙再行0.8÷12×60=4分鐘就能與甲相遇.所以經過2小時19分的時候兩人相遇.
【答案】2小時19分
【巩固】甲乙兩人同時從A地出發,以相同的速度向B地前進。
甲每行5分鐘休息2分鐘;乙每行210米休息3分鐘。
甲出發後50分鐘到達B地,乙到達B地比甲遲了10分鐘。
已知兩人最後一次的休息地點相距70米,兩人的速度是每分鐘行多少米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】50
【答案】50
【例13】在400米的環行跑道上,A,B兩點相距100米。
甲、乙兩人分別從A,B兩點同時出發,按逆時針方向跑步。
甲甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒鐘。
那麼甲追上乙需要時間是多少秒?
【考點】行程問題之走停問題【難度】4星【題型】填空
【解析】甲實際跑100/(5-4)=100(秒)時追上乙,甲跑100/5=20(秒),休息10秒;乙跑100/4=25(秒),休息10秒,甲實際跑100秒時,已經休息4次,剛跑完第5次,共用140秒;這時乙實際跑了100秒,第4次休息結束。
正好追上。
【答案】140秒
【例14】繞湖一周是24千米,小張和小王從湖邊某一地點同時出發反向而行,小王以每小時4千米的速度每走1小時後休息5分鐘,小張以每小時6千米的速度每走50分鐘休息10分鐘,兩人出發多長時間第一次相遇?
【考點】行程問題之走停問題【難度】4星【題型】填空
【解析】2時40分
【答案】2時40分
【例15】小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘,下山時每走30分鐘休息5分鐘.已知小紅下山的速度是上山速度的2倍,如果上山用了3時50分,那麼下山用了多少時間?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】上山用了3時50分,即60×3+50=230(分),由230÷(30+10)=5……30,得到上山休息了5次,走了230-10×5=180(分).因為下山的速度是上山的2倍,所以下山走了180÷2=90(分).由90÷30=3知,下山途中休息了2次,所以下山共用90+5×2=100(分)=1時40分.
【答案】1時40分
【巩固】某人上山時每走30分休息10分,下山每走30分休息5分。
已知下山的速度是上山速度的1.5倍,如果上山用了3時50分,那麼下山用多少時間?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】2時15分
【答案】2時15分
【例16】甲、乙兩站相距420千米,客車和貨車同時從甲站出發駛向乙站,客車每小時行60千米,貨車每小時行40千米.客車到達乙站後停留1小時,又以原速返回甲站.則兩車迎面相遇的地點離乙站有多少千米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】兩車相遇時,
千米,要用公式
,應使得兩車的時間保持一致,而客車中途停留了1小時,可以看作貨車提前行駛1小時,所以將此間貨車行駛的40千米減去,取
千米,
客車行駛的時間
小時,因此客車行駛了
千米,相遇地點距離乙站60千米.
【答案】60千米
【例17】乙二人從A、B兩地同時出發相向而行,甲每分鐘行80米,乙每分鐘行60米.出發一段時間後,二人在距離中點120米處相遇.如果甲出發後在途中某地停留了一會兒,二人還將在距中點120米處相遇.問:
甲在途中停留了多少分鐘?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】第一次,甲比乙多走的路程
米,根據公式
,可知兩人的相遇時間為
min,兩地相距
米;兩次相遇地點關於中點對稱,則可知,乙第二次比第一次多走的路程也是
米,所以乙比第一次多用了
分鐘;甲第二次比第一次少走的路程也是240米,甲比第一次少用了
分鐘,所以甲在途中停留了
分鐘.
【答案】
分鐘
【例18】甲、乙兩人同時從A、B兩點出發,甲每分鐘行80米,乙每分鐘行60米,出發一段時間後,兩人在距中點的C處相遇;如果甲出發後在途中某地停留了7分鐘,兩人將在距中點的D處相遇,且中點距C、D距離相等,問A、B兩點相距多少米?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】甲、乙兩人速度比為80:
60=4:
3,相遇的時候時間相等,路程比等於速度之比,相遇時甲走了全程的4/7,乙走了全程的3/7.第二次甲停留,乙沒有停留,且前後兩次相遇地點距離中點相等,所以第二次乙行了全程的4/7,甲行了全程的3/7.由於甲、乙速度比為4:
3,根據時間一定,路程3/7×3/4比等於速度之比,所以甲行走期間乙走了,所以甲停留期間乙行了4/7-3/7×3/4=1/4,所以A、B兩點的距離為60×7÷1/4=1680(米).
【答案】1680米
【例19】某公共汽車線路中間有10個站。
車有快車及慢車兩種,快車車速是慢車車速的1.2倍。
慢車每站都停,快車則只停靠中間1個站,每站停留時間都是3分。
當某次慢車發出40分後,快車從同一始發站開出,兩車恰好同時到達終點。
問:
快車從起點到終點共用多少時間?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】68分。
慢車比快車多停9個站,即多停27分,所以慢車比快車行駛的時間多40-27=13(分)。
因為快車速度是慢車的1.2倍,所以快車追上慢車多行13分的路程需要13÷(1.2-1)=65(分)。
再加上快車停車的3分,快車從起點到終點共用65+3=68(分)。
【答案】68分
【例20】甲、乙兩地鐵路線長1000公里,列車從甲行駛到乙的途中停6站(不包括甲、乙),在每站停車5分鐘,不計在甲乙兩站的停車時間,行駛全程共用11.5小時。
火車提速10%後,如果停靠車站及停車時間不變,行駛全程共用多少小時?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】解答
【關鍵字】希望杯,五年級,二試
【解析】6站,共停5×6=30分鐘=0.5小時,
原來速度為1000÷(11.5-0.5)=
千米/小時
現在速度為
×(1+10%)=100千米/小時
行駛全程需要1000÷100=10小時
加上停止的0.5小時,行駛全程共用10.5小時
【答案】10.5小時
【例21】甲、乙兩人同時從A地到B地去。
甲騎車每分行250米,每行駛10分後休息20分;乙不間歇地步行,每分行100米。
結果在甲即將休息的時刻兩人同時到達B地。
問:
A,B兩地相距多遠?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】10000米。
出發後10分,甲、乙相距(250-100)×10=1500(米)。
以後甲平均每分行
米,乙要追上甲
醚,需要
(分)。
乙從出發共行了100分,所以A,B兩地相距 100×100=10000(米)。
【答案】10000米
【例22】騎車人沿公共汽車路線前進,他每分行300米,當他離始發站3000米時,一輛公共汽車從始發站出發,公共汽車每分行700米,並且每行3分到達一站停車1分。
問:
公共汽車多長時間追上騎車人?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】11分。
提示:
列表計算:
【答案】11分
【例23】龜兔進行
米跑步比賽。
兔每分鐘跑
米,龜每分鐘跑
米,兔每跑
分鐘歇
分鐘,誰先到達終點?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】龜所用的時間是
(分鐘),兔子跑的時間是
(分鐘),歇了
(分鐘),共用
(分鐘)。
所用的時間相同,因此同時到達。
【答案】同時到達
【例24】龜兔賽跑,全程6千米,兔子每小時跑15千米,烏龜每小時跑3千米,烏龜不停的跑,但兔子邊跑邊玩,它先跑1分鐘後玩20分鐘,又跑2分鐘後玩20分鐘,再跑3分鐘後玩20分鐘……問它們誰勝利了?
勝利者到終點時,另一個距離終點還有多遠?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】烏龜不停的跑,所以烏龜跑完全程需要
(小時),即120分鐘,由於兔子邊跑邊玩,
,也就是兔子一共跑了
(分鐘),跑了
(千米),即烏龜到達終點時,兔子剛剛跑了5千米,所以烏龜勝利了,領先兔子
(千米)
【答案】
千米
【巩固】龜兔賽跑,全程5.2千米,兔子每小時跑20千米,烏龜每小時跑3千米.烏龜不停地跑;但兔子卻邊跑邊玩,它先跑了1分鐘然後玩15分鐘,又跑2分鐘然後玩15分鐘,再跑3分鐘然後玩15分鐘,…….那麼先到達終點的比後到達終點的快多少分鐘?
【考點】行程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空
【解析】烏龜到達終點所需時間為5.2÷3×60=104分鐘.
兔子如果不休息,則需要時間5.2÷20×60=15.6分鐘.
而兔子休息的規律是跑1、2、3、…分鐘後,休息15分鐘.
因為15.6=1+2+3+4+5+0.6,所以兔子休息了5×15=75分鐘,即兔子跑到終點所需時間為15.6+75=90.6分鐘.
顯然,兔子先到達,先烏龜104-90.6=13.4分鐘達到終點.
【答案】兔子先到達,先烏龜104-90.6=13.4分鐘達到終點
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