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运用概率统计理论求极限
运用概率统计理论求极限
摘要:
文章对槪率统计极限理论展开讨论,分析了利用概率统讣方法在极限求取问题时可取得比较好的效果,分别用大数泄律、强大数泄律、中心极限左理、母函数理论进行极限的求取.另外,文章还介绍了在数列极限求取中,建立概率随机模型的方法,并一一列举实例进行验证.
关键词:
概率统计极限理论中心极限泄理母函数强大数定律
Applyingthetheoryofprobabilityandstatisticstothelimit
StudentmajoringinmathematicsandappliedaathematicsSuZhaotong
TutorWangShaofeng
Abstract:
Inthispaper>thelimittheoryofprobabilityandstatisticsdiscussionandanalysisoftheprobabilityofstatisticalmethodsusedinmathematicstoobtainthelimitproblemcanbeachievedrelativelygoodresults♦respectively,thecentrallimittheorem,andstronglawoflargenumberstheoryandgeneratingfunctionslimitthestrike,another,alsointroducedintheseries,struckinthelimit,theprobabilityofstochasticmodeltoestablishthemethod,andprovideexamplesforauthenticationonebyone・
Keywords:
probabilityandstatistics;centrallimittheory;generatingfunctions;theoryofstronglawoflargenumbers
引言概率统计极限理论是近年来数学研究领域的一个热点问题,也是概率统计学科中的一个主要的分支,而且是概率统计学科知识用于其他分支的重要支撑点,比如在生物信息学领域、计量经济学领域和金融经济学领域等,是一种工程技术所需要的非常重要的工具和理论基础.在国内,关于概率统计极限理论的研究要数浙江大学下属的概率统计专业了,作为国内概率统计极限理论十分重要的研究实验室,它不但为国家培养了概率统计专业领域里的大量人才,也使我国此领域的学术研究在国际上占有一席之地,并拥有了较好的成绩和声誉.从最近儿年来看,概率统计极限理论的发展十分的迅速,特别是基于多学科之间的交义互补思想,LI前其它的理论学科也在努力的和一些应用学科领域建立某种程度上的联系和交义,概率统汁学科在这种大潮中当然不能排除在外,而这样也加速了概率统计学科的突飞猛进的发展.所以,此领域的研究方向和研究方法也随着变得更加的日新月异.文章的主题内容是概率中的极限理论,特别举出儿个实际例子来分析这种集两种学科内容于一身的理论的实用性和可行性,最后对概率统计极限理论的未来发展前景也有所涉及.
1概率统计极限理论目前进展和前沿的发展
斯坦福大学和浙江大学在自正则化极限理论及其应用方面已经有了比较系统的结果或结论,我们在此进行简单的介绍,这些理论主要包括了下面儿个部分:
自正则化Cramer定理、自正则化鞍点逼近、自正则化重对数律、自正则化随机过程的指数不等式和没有矩条件下的自正则化大偏差等这一类领域的研究成果.基于已经较为成熟SteinChen方法,现在已经有一部分学者Stein恒等式和SteinChen方法如何应用在正态逼近中开始尝试着进行探讨.比如,从下面的儿位院士对这一领域的最新研究近况来看:
马志明院士研究了估计无线传感网络中的覆盖概率问题,并重点研究了如何利用SteinChen方法来对收敛速度进行估讣;乂如,严加安院士在两类空间的基础上,研究了泛函表示定理是如何有效的应用在佔计金融风险问题上的;还有陈木法院士对于中心极限定理的研究,他指出在不同的意义下以收敛速度的角度作为切入点,研究了连续Markov过程涉及的收敛速度及相关应用问题.
就LI前概率统计•极限理论的研究,在很大的程度上,强调了与其他学科的有机结合与交叉.如文章所讲的内容,是用在数学中的极限求取问题上的,这种结合对问题的解决是有一定帮助的.这种结合势必会牵涉到概率统汁理论的一些重要理论分支,比如,时间序列、随机过程和风险理论等,这种各个领域理论的交义潜力令我们看到,概率统计极限理论在未来重要的应用价值和越来越广阔的发展前景.
回到今天的重点,文章的研究内容是概率统计方法应用在极限理论中,所以,在了解了概率的相关知识后,接下来很有必要对极限理论做一个简单的介绍,在极限理论中存在着很多种的极限计算方法,不过这些方法不全都是方便和有效的,有一些是比较复杂的和特殊的,比如就有一些形式的数列极限是不容易进行计算的,或者说这种讣算往往是十分困难的.把概率统讣理论的知识,包括它的一些基本性质,加入到极限问题的求取中有时候是可以很容易的进行计算的,尤其是对一些特殊形式的数列极限更有研究的价值,因为它本身就是不容易用其它方法计算的.文章通过实际例子,阐述概率方法在极限计算中的应用.
2概率统计理论在极限求取中的应用
在通常悄况下,我们遇到的数学极限问题都是非常简单的,然而,当遇到的是比较复杂的一些极限求取问题时,除了可以利用罗必达法则和等价无穷小关系等来求解之外,还可以运用概率统计的思想.这种解题的思路只适用于在实际中遇到的十分复杂的
极限求取问题,尤其是用一般方法很难解出的情况,此时,往往数学分析中的其他方法显得无能为力.下面仅从求取极限的角度来分析概率统汁理论是如何应用在极限中的,并用儿个实例来进行详细说明.
通过概率统计理论在解决数学极限求取问题的成功应用,沟通和建立了数学这个学科内部不同领域之间的有机联系与巧妙结合,进而让我们看出概率统计方法在各个领域做到实际应用的可行性和广泛性.文章通过概率统讣方法来进行难度很大的极限的讣算,以期使这种计算变得更加的简便.
2.1利用大数定律求极限
大数定律讨论的是关于独立随机变量序列的平均结果的极限,给出了取平均值的理论依据.
定义1概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理,称为大数定律.
S£)=l・
定理1(切比雪夫大数定律)设…〃”…,是一列相互独立同分布的随机变量,它们的方差有界,即存在常数c>0,使有Da§c,i=\2…,则对Vw>0,
limP(
n—
xr)Y
定理2(强大数定律)设{XJ是一相互独立的随机变量序列,且工令vs,
〃■】rl
P胆=°
=1.
定理3(控制收敛定理)若{XJ为随机变量序列,|Xn| 且P(limXn=X)=h贝0limEXn=EX. “TOO“fX 涉及多重积分求取的问题,通常是比较困难的,如果再加上求极限的话,那么就会变得更困难.随机变量的引入,基于上述的强大数定律和控制收敛定理,可以使这种问题较易处理. 例1求证q>p>0时,limJ 证明假设{XJ是独立同分布的随机变量序列,xn(n>l)服从(0,1)上的均匀分 布,则斗,疳…穿独立同分布,心卩…X/独立同分布. 而且乞牛S故[V}满足定理2的条件.H-1力 因此,根据强大数定律,可得 1n1”1 Plim-YX/=-yEX/=—— 幺”幺0+1 同样道理,可以推断出 1”1n1 =1. 因此可知,ZX,辽EXJ;jQ-ijt-i 进而I': : : : : 二: : : : 满足定理3的条件, 可得 limE 斗+弓+…+押 邸+疋+…+心 =E p+1 9+1 根据数学期望性质,题LI得证. 2.2利用中心极限定理求极限 中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理.这组定理是数理统汁学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件. 定义2概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理. 定理4(独立同分布下Lindeberg-Levy中心极限定理)若x]9x2••-是一列独立同分 布的随机变量,且存在EXK=a.DXK=cr2>0,k=l,2,3…,则对一切x都有 limP 工Xk-miny/nc 定理5(独立不同分布下李雅普诺夫中心极限定理)设鼻冬…和是相互独立,且 有有限的数学期望与方差,EgsD〈=b;令B,文分,若存在b>0,使当2S ]ft1nn 时,耳刃工£悅-->0,则随机变量乙=丄(工占-工H)的分布函数Fn(x)yxeR,JIBrJt-1A-l 都有 £ 2 <0 工e2dy, 工X厂M 证明假设{Xn}是独立同分布的随机变量序列,Xn(n>l)服从参数2二1的Poisson分布,那么存在EXn=l,方差DXn=1,n>l,故{Xn}满足定理4的条件,进而可得出下面的结果: limP 另外,由于Poisson分布是可加的,因此,£x,服从参数为n的Poisson分布.J-1 进而可得出下面的结果: \nnnknnk P工X卫=》p(x严矿工才”十乞占. \)DA-0尺・&.()K・ 题LI得证. 例3设xpx2,…,兀…,为一列独立的随机变量,对每个nil,Xn服从(-n,n) 上的均匀分布.试证: 对 Vxe 叱出严‘汕g)⑵冲) 证明因为随机变量apx2,…,兀…,是独立但不是同分布的,故可验证它是否满足定理3的条件・因为无服从(-匕k)上的均匀分布(k=l,2,…,m…), bj=E(Xk2)-(EXk)2=J: 詁=» nnL-1 町=工6,=》可=我”⑺+1)(2〃+1), 又g犷心「欽筹 当取b=l时, E|Xg-/41'Q=扌£«3=£/(“+1尸, 此时 恤占£EX-从L巳型 ”人“p? (n+l)(2H+l)]2 随机变量xpx2,…,a>…满足定理5的条件. 故对Vxe尺limP /l->X X,手宀丁2如+1)(2〃+1) 71->X /y, limPYX, "T*\K-l 所以 VxeR.limP工笛S—丿2〃(料+1)(2“+1)=\J2dy. "T°°A.I6—x 2.3利用母函数求极限 定义3如果随机变量X的分布列是P(X=K)=a,R=0丄2,3…,那么 P(S)=XpkSk(O 一个母函数可以唯一确定分布列.因此,通过建立合适的随机变量模型,从母函数切入,可以比较顺利地解决极限求取问题. 例4已知k为非负整数,n为正整数,Ovpvl,若limn(l-/? )=2. n—>oc 求ilklimC: 二”(1一〃)*=~e~A•"TOOk! 证明首先,如果随机变量X服从Pascal分布的话,那么其分布列就是下面的形 式: P(X=K)=C^.iPn(1-P)kR=0,1,2,3…, 而其母函数是只(S)=——廿一-, 卩-s(l-”)] 另外,如果它的随机变量Y服从参数为几的Poisson分布,那么概率分布列为 吃=«)=—不仃=0丄2,3••“ 且其母函数为PY(S)=e^s>. 要想证明题LI,只要证明下式,即 lim&(S)=3(S). n—^c __P__[l-S(l-p)]n =4(S), 山limn(l—”)=2可矢口,n^x Px(S)= 则可得lim耳(S)=«(S),题目得证. n—>oc 2.4利用概率随机模型求复杂数列极限 我们在此处介绍的方法是利用预先建立的合适的随机模型,加入概率统计理论的方法可以确定一类结构复杂的数列极限,利用实例对这种方法进行说明. 例5设下式成立: Sn4+1 2・3丿3・4 +…+1 3・4丿4・5 /? (/? +1)y(/? +2)(/7+1) 7 求证limS=—・ nc “TOO3 证明解决以上问题需要建立下面的随机模型: 我们假设现在有两个袋子,一个装两个红球,一个装一个红球和两个口球,并进行有放回的拿取.从两袋中分别取出一球,如果取到的两个都是红球的话,那么成功: 如果不是上述情况,那就再在两个袋中分别放进一个口球,再接着按照上面的规则进行操作,一直到成功停止. 记A二“取球成功S4=“一直到第k次取球时候才成功”,£=123….则 P(AJ气 其中k=2、3…. 因为各个Ak两两互斥,所以可得P(A)=^P(Ak)=JimS„.k-1 另外山A的对立事件入二“取球不成功”可知 肋)=呱±1竺...(〃一1如2)」 —2・33-4n(n+1)3 从而可得 3讨论 因为极限的求取有时候是非常困难的,而方法乂是林林总总、多种多样,文章从概率统计论的角度来解决这些比较复杂的极限,山实例可知,得到了比较好的讣算效果.文章介绍了概率统计•极限理论,特别是一些重要的概率统计方法在数学极限求取问题中的应用,分析了中心极限定理、强大数定律、母函数理论进行极限的求取等.由以上的理论和实例可以看出,概率统计极限理论有着重要的应用价值以及发展前景,为不同的理论方法的融合提供了很好的示范. 参考文献: [1]华东师范大学编.数学分析(上册)[M].上海: 高等教冇出版社,1999. [2]刘玉琏,傅沛仁,林汀,刘宁编.数学分析(上册)[M].第5版.北京: 高等教冇出版社,2007. [3]魏宗舒等编.概率论与数理统计教程[M].第2版.北京: 髙等教冇岀版社,1983. [4]萌诗松,程依明,濮晓龙编.概率论与数理统计教程[M].北京: 高等教育岀版社,2004. [5]周概容•概率论与数理统计[M].北京: 高等教育出版社,1984. [6]中山大学数学力学系.概率论与数理统计[M].北京: 髙等教育岀版社,1980. [7]贾兆丽•概率方法在数学证明中的应用[J].安微工业大学学报,2002,19 (1). [8]汪嘉冈•现代概率论基础[M].上海: 复旦大学岀版社,1988. [9]苏淳.槪率论.第一版[M].北京: 科学出版社,2004. [10]中山大学统计科学系•槪率论与数理统计[M].北京: 高等教育岀版社,2005. 致谢: 在论文写作过程中,我感到学术研究着实艰辛.自去年寒假开始,我通过翻阅书籍、上网等方式查阅了大量资料,收获颇丰.多亏王副教授和张舒昕组长多次催促,才使我最终完成此文.本次毕业论文设汁能够顺利完成,首先要感谢指导我的王绍锋副教授.他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从选题到论文的最终完成,王老师都始终给予我细心地指导和不懈地支持.在此,谨向王老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.我还要感谢在论文写作过程中给予我支持与帮助的同学们,谢谢你们!
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