中考数学压轴题的满分攻略 考典40 几何计算域说理计算问题.docx
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中考数学压轴题的满分攻略考典40几何计算域说理计算问题
2019-2020年中考数学压轴题的满分攻略-考典40几何计算域说理计算问题
【真题典藏】
1.(xx年上海市第24题)参见《考典35梯形的存在性问题》第1题,如图1.
2.(xx年上海市第24题)如图2,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.二次函数y=-x2+bx+3的图像经过点A(-1,0),顶点为B.
(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点B的坐标;
(2)如果点C的坐标为(4,0),AE⊥BC,垂足为点E,点D在直线AE上,DE=1,求点D的坐标.
图1图2
3.(xx年上海市第24题)如图3,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3).
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.
图3
4.(xx年上海市第24题)如图4,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图像经过点A(4,0)、B(-1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,,EF⊥OD,垂足为F.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);
(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.
图4
【满分攻略】
我们用三种方法证明第1题(xx年上海市第24题)的第
(2)题DC//AB:
方法一,由于点在双曲线上,所以.
因为,
,所以,因此DC//AB.
这里依据“三角形一边的平行线判定定理推论”.
方法二,因为
,
,
所以,因此DC//AB.
方法三,如图6,由反比例函数的图形与性质,知△AOC与△BOD的面积相等.
图5中的△ADC与图6中的△AOC的面积相等,图5中的△BCD与图6中的△BOD的面积相等,经过等量代换,图5中的△ACD与△BCD的面积相等.因为这两个三角形是同底CD的,因此它们是同底等高的三角形,所以DC//AB.
图5图6图7
其中方法一和方法二是通过计算进行说理,方法三是说理证明.
第2题(xx年上海市第24题)的第
(2)题求点D的坐标是几何计算.
准备动作:
.
罗列点:
A(-1,0),B(1,4),C(4,0).
画图:
先画直线BC,过点A向BC画垂线,垂足为E.
拿起圆规,以E为圆心,1长为半径画圆,圆与直线AE有几个交点?
这就是行动体现思想,你画图的过程已经体现了分类讨论思想,点D有两个(如图7).
试问有必要画抛物线吗?
解题的过程反复用到数形结合思想——不要问为什么——拿来就用.示范一下:
注意标志性语句的引领作用,体现书写的层次性,吸引阅卷老师的注意力.
第3题(xx年上海市第24题)的第
(1)题做完之后停一停,确认无误之后再作第
(2)题,否则就是徒劳无益.
第
(1)题用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标,无需画图.抛物线的表达式为y=-x2+4x,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4).
第
(2)题的最大障碍就是画示意图了,事实上,无需画出抛物线,如图8,只要顺次画出点A、对称轴、点P的大概位置(在点A的右下方)、点E、点F,就可以直观感受到,四边形OAPE是等腰梯形,四边形OAPF是平行四边形.
说理是关键的一步:
平行四边形OAPF的底边OA=4是确定的,高是点P到x轴的距离,用点P的纵坐标表示为-n,列方程-4n=20容易求的n=-5.解方程-m2+4m=-5,会得到m有两个解,根据题目条件“点P(m,n)在第四象限”舍去不合题意的解.
如果不用上述几何说理的方法,我们也可以根据点的坐标特征进行说理:
这个说理方法的最大困难是用m表示点F的坐标(4-m,n).
图8
第4题(xx年上海市第24题),DE和AD横看成岭侧成峰,DE∶AD=1∶2,既是Rt△ADE的两条直角边的比,也是两个相似的△DEF和△ADO的斜边比.
第
(1)题求得抛物线的解析式y=-2x2+6x+8,与y轴交于点C(0,8).
第
(2)题,如图9,在Rt△ADE中,已知,所以.
已知∠ADE=∠EFD=90°,所以∠DEF与∠ADO都是∠EDF的余角.
因此∠DEF=∠ADO.
所以△DEF∽△ADO.因此,即.
于是得到,.所以.
图9图10
第(3)题难在示意图怎么画?
在森林中认识树木:
当∠ECA=∠OAC时,如果延长CE与x轴交于点M,根据等角对等边,那么△MAC是等腰三角形,MA=MC.这样我们作AC的垂直平分线先找到点M,在MC的适当位置画一个点E,这样示意图就画好了.
如图10,设AC的垂直平分线与x轴交于点M,那么MA=MC,∠MCA=∠MAC.
当∠ECA=∠OAC时,点E在MC上.
由于,而OA=4,OC=8,所以.
因此.所以MO=6.
由EF//MO,得,即.解得t=6.
考典40几何计算说理与说理计算问题
1.如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图像经过点A(4,0)、B(-1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,,EF⊥OD,垂足为F.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);
(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.
图1
2.如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,点P到∠ACB两边的距离相等,且PA=PB.
(1)先用尺规作出符合要求的点P(保留作图痕迹,不需要写作法),然后判断△ABP的形状,并说明理由;
(2)设PA=m,PC=n,试用m、n的代数式表示△ABC的周长和面积;
(3)设CP与AB交于点D,试探索当边AC、BC的长度变化时,的值是否发生变化,若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由.
图2
3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB<AC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点N.动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动.同时动点Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQ⊥MP.设运动时间为t秒(t>0).
(1)△PBM与△QNM相似吗?
以图3为例说明理由;
(2)若∠ABC=60°,厘米.
①求动点Q的运动速度;
②设△APQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式;
(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,以图3为例说明理由.
图3
4.在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠B=90°,将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点M处,将三角板绕点M旋转,三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长),如图4、图5表示三角板旋转过程中的两种情形.
(1)直角三角板绕点M旋转过程中,当BE=时,△MEC是等腰三角形;
(2)直角三角板绕点M旋转到图1的情形时,求证:
MD=ME;
(3)如图6,若将直角三角板的直角顶点M在斜边AC上移动,设AM∶MC=m∶n(m、n为正数),试判断MD、ME的数量关系,并说明理由.
图4图5图6
考典40几何计算说理与说理计算问题
1.
(1)y=-2x2+6x+8.
(2)如图1,在Rt△ADE中,已知,所以.
已知∠ADE=∠EFD=90°,所以∠DEF与∠ADO都是∠EDF的余角.
因此∠DEF=∠ADO.
所以△DEF∽△ADO.因此,即.
于是得到,.所以.
图1图2
(3)如图2,设AC的垂直平分线与x轴交于点M,那么MA=MC,∠MCA=∠MAC.
当∠ECA=∠OAC时,点E在MC上.
由于,而OA=4,OC=8,所以.
因此.所以MO=6.
由EF//MO,得,即.解得t=6.
2.
(1)求作点P的作图痕迹如图3所示.△PAB是等腰直角三角形,证明如下:
作PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为M、N.
因为点P在∠ACB的平分线上,所以PM=PN.
又因为PA=PB,所以Rt△APM≌Rt△BPN(HL).因此∠1=∠2.
又因为∠2与∠BPM互余,所以∠1与∠BPM互余,即∠APB=90°.
所以△PAB是等腰直角三角形.
(2)如图4,在等腰直角三角形PAB中,PA=m,所以AB=m.
在等腰直角三角形MPC中,PC=n,所以CM=n.
由Rt△APM≌Rt△BPN,得AM=BN.所以CA+CB=2CM=n.
因此△ABC的周长=AB+CA+CB=m+n.
△ABC的面积可以这样割补:
S△ABC=S正方形MPNC-S△PAB.
(3)如图5,作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,那么四边形CEDF是正方形,CD=DE=DF.
设AD=x,BD=y.
由,,两式相加,得.
于是得到.
图3图4图5
3.
(1)如图6,∠B与∠1都是∠C的余角,所以∠B=∠1.
∠BMP与∠NMQ都是∠PMN的余角,所以∠BMP=∠NMQ.
所以△PBM∽△QNM.
(2)①当∠ABC=60°时,∠C=30°,.
由△PBM∽△QNM,得.
而已知BM=CM,所以.
因为,所以NQ=t.因此点Q的运动速度为每秒1厘米.
②在Rt△ABC中,∠B=60°,,所以AC=12,.
在Rt△CMN中,,∠C=30°,所以CN=8.
因此AN=4,AQ=4+t.
如图7,当P在BA上时,0≤t≤4,.
此时
.
如图8,当P在BA的延长线上时,t>4,.
此时
.
图6图7图8
(3)如图9,过点C作AB的平行线交BM的延长线于P′,
那么△QCP′是直角三角形,P′Q2=P′C2+CQ2.
因为P′C//AB,M是BC的中点,所以BP=CP′,PM=P′M.
所以QM垂直平分PP′,PQ=P′Q.
于是得到PQ2=BP2+CQ2.
图9
第(3)题容易想到代数方法,通过计算得到结论:
,
,
.
所以PQ2=BP2+CQ2.
4.
(1)0,2,或.
(2)如图10,△MGD≌△MHE,MD=ME.
(3)如图11,△AGM和△MHC都是等腰直角三角形,Rt△AGM∽Rt△MHC.
因此.又因为△MGD∽△MHE,所以.
图10图11
后叙
一、这不是一本中考的试题集,这是一本关于中考解题策略的书,如叙家常.
二、本书分三部分,我们把每一部分概论中的第一句话摘录如下:
简单题错失一道将悔恨不已,因此要加强简单题的准确性训练.
简答题丢失一步将满分无望,因此要加强简答题的规范性训练.
压轴题多练一道就自信一分,因此要加强压轴题的规律性训练.
三、我们摘录每一部分的高频词语和经典语句:
第一部分的高频词语有:
粗心,不要口算,即刻回头检查.
第二部分的经典语句有:
没有不会的,只有不对的;重温课本;想好了再写——时间诚可贵,答对价更高;标志性语句的引领,表明书写的层次,吸引阅卷老师的眼球;踩分点;中考的版面有限,不能写到框外,要注意扑捉命题意图哦!
第三部分的经典语句有:
导航仪不代表体力——想的对不等于能做对;拿起尺、规画图,答案就在图形中;你的思想还不成熟——数形结合思想,分类讨论思想;歇歇脚再走,否则徒劳无益.
四、一位上高一的学生来看我,说他离梦想的那所市重点高中就差0.5分,要是再降1分,他肯定被录取了.
我笑笑.
他纳闷.
我解释说,例如数学,上海考生约10万人,减去极端高分和极端低分2万人,那么分数集中在100—140分之间的40分,平均每分xx人.
中考1分意味着什么呢?
五、这本书剖析近6年的中考数学题目——应该注意的问题、容易出现的失误、思维的出发点、书写的规范——你标记了多少认同的地方?
六、本书最牛的一句话——选择放弃也是一种好的策略,保证其他题目准确无误也是高分——压轴题中你不会的那道小题,可能绝大多数人都不会.例如xx年最后两道压轴题皆因辅助线而难倒众生,其实第25题第
(2)题需要添加的辅助线,本来是常见的联结两个中点构造三角形的中位线,但是因为图形中其它线条的干扰,使众多考生没有发现这条辅助线.如果添加了这条辅助线,那么问题一下子就解决了.
七、或许你做对了,但是你写的字让人误解或者费解,吃亏的不是别人.这句话开始说过,这里再说一次;这句话语文老师一定也说过,理化和英语老师同样说过.
八、好运留给有准备的人——祝你好运!
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