如何写高中数学教案.docx
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如何写高中数学教案
如何写高中数学教案
【篇一:
新课标人教版高中数学必修1优秀教案全套】
备课资料
[备选例题]
【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:
(1)被3除余1的自然数组成的集合;
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;
(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;
(4)设a、b是非零实数,求y=abab的所有值组成的集合.?
?
|a||b||ab|
思路分析:
本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
解:
(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(n∈n).用描述法表示为{x|x=3n+1,n∈n}.
(2)由题意得满足条件的正整数有:
3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.
(3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.
(4)当ab0时,y=abab=-1;当ab0时,则a0,b0或a0,b0.?
?
|a||b||ab|
abababab=3;若a0,b0,则有y==-1.?
?
?
?
|a||b||ab||a||b||ab|若a0,b0,则有y=
∴y=abab的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}.?
?
|a||b||ab|
【例2】定义a-b={x|x∈a,x?
b},若m={1,2,3,4,5},n={2,3,6},试用列举法表示集合n-m.分析:
应用集合a-b={x|x∈a,x?
b}与集合a、b的关系来解决.依据定义知n-m就是集合n中除去集合m和集合n的公共元素组成的集合.观察集合m、n,它们的公共元素是2,3.集合n中除去元素2,3还剩下元素6,则n-m={6}.
答案:
{6}.
(设计者:
张新军)
设计方案
(二)
教学过程
导入新课
思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢?
这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出
课题.
思路2.开场白:
集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-35的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么?
(提问学生)圆是到一个定点的距离等
于定长的点的集合.接着点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?
(1)1~20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.
活动:
教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.
引导过程:
①一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
②集合常用大写字母a,b,c,d,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示.
③集合的表示法:
a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.
⑥元素与集合的关系:
“属于”和“不属于”分别用“∈”和“?
”表示.
元素确定性的符号语言表述为:
对任意元素a和集合a,要么a∈a,要么a?
a.
⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(iso)制定了常用数集的记法:
自然数集(包含零):
n,正整数集:
n*(n+),整数集:
z,有理数集:
q,实数集:
r.
因此字母n、z、q、r不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.
提出问题
(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合a”.
(2)你能写出不等式2-x3的所有解吗?
怎样表示这个不等式的解集?
活动:
学生回答后,教师指出:
①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为a={0,1,2,3,4}.
②描述法:
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示,点集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.应用示例
思路1
1.课本第3页例1.
思路分析:
用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.
点评:
本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:
(1)用字母表示集合;
(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成a={……}的形式.
变式训练
请试一试用列举法表示下列集合:
(1)a={x∈n|且9∈n};9?
x
(2)b={y|y=-x2+6,x∈n,y∈n};
(3)c={(x,y)|y=-x2+6,x∈n,y∈n}.
分析:
本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.
(1)集合a中元素x满足9均为自然数;9?
x
(2)集合b中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;
(3)集合c中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.
答案:
(1)a={0,6,8};
(2)b={2,5,6};
(3)c={(0,6),(1,5),(2,2)}.
2.课本第4页例2.
思路分析:
本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内.
点评:
本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:
(1)用字母分别表示集合和元素,
(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成a={…|…}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.
变式训练
课本p5练习2.
思路2
1.下列所给对象不能构成集合的是()
a.一个平面内的所有点
b.所有大于零的正数
c.某校高一(4)班的高个子学生
d.某一天到商场买过货物的顾客
思路分析:
本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在a中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在b中由于大于零的正数很明确,因此b也能组成一个集合;c中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而d中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.
答案:
c
变式训练
下列各组对象中不能构成集合的是()
a.高一
(1)班全体女生
b.高一
(1)班全体学生家长
c.高一
(1)班开设的所有课程
d.高一
(1)班身高较高的男同学
分析:
判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为a、b、c中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而d中所给对象不确
定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将d中“身高较高的男同学”改为“身高175cm以上的男同学”,则能构成集合.
答案:
d
2.用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数};
(2){所有被3整除的数};
(3){x|x=|x|,x∈z且x5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈z};
(5){(x,y)|x+y=6,x0,y0,x∈z,y∈z}.
思路分析:
用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
答案:
(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(2){x|x=3n,n∈z}.
(3)∵x=|x|,∴x≥0.
又∵x∈z且x5,
∴{x|x=|x|,x∈z且x5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.
(4){-2}.
(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
变式训练
用适当的形式表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;
(2)所有被3整除的数组成的集合;
(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0实数解组成的集合;
(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.
分析:
元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.答案:
(1){x||x|≤3,x∈z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};
(2){x|x=3n,n∈z};(3){5,-2};3
(4){(x,y)|y=x+6}.
3.已知集合a={x|ax2-3x+2=0,a∈r},若a中至少有一个元素,求a的取值范围.
思路分析:
对于方程ax2-3x+2=0,a∈r的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合a的元素也不相同,所以首先要分类讨论.
解:
当a=0时,原方程为-3x+2=0?
x=2,符合题意;3
?
a?
0,9解得a≠0且a≤.8?
9?
8a?
0.当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则?
综上所得a的取值范围是{a|a≤
4.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组?
9}.8?
2x-3y?
14,的解集;
?
3x?
2y?
8
(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;
(4)所有正方形;
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.
分析:
本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方
?
2x-3y?
14,程组?
的解为x=4,y=-2.故
(1)宜用列举法;
(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个3x?
2y?
8?
数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法为好.
解:
(1){(4,-2)};
(2){x|x=3k+2,k∈n且x1000};
(3){(x,y)|x0且y0};
(4){正方形};
(5){(x,y)|x-1或x1}.
知能训练
课本p5练习1、2.
拓展提升
1.已知a={x∈r|x=|a||b||c||ab||ac||bc||abc|,abc≠0},用列举法表示集?
?
?
?
?
?
abcabacbcabc
合a.
分析:
解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.
解:
题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:
(1)a、b、c全为正时,x=7;
(2)a、b、c两正一负时,x=-1;
(3)a、b、c一正两负时,x=-1;
(4)a、b、c全为负时,x=-1.
∴a={7,-1}.
注意:
(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况),解题时应考虑全面.
2.已知集合c={x|x=a+b,a∈a,b∈b}.
(1)若a={0,1,2,3},b={6,7,8,9},求集合c中所有元素之和s;
(2)若a={0,1,2,3,4,…,2005},b={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合c中所有元素之和s;
(3)联系高斯求s=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出
(2)中的s.
思路分析:
先用列举法写出集合c,然后解决各个小题.
答案:
(1)列举法表示集合c={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得s=6+7+8+9+10+11+12=63.
(2)列举法表示集合c={5,6,7,…,2013,2014},由此可得s=5+6+7+…+2013+2014.
课堂小结
在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:
(1)本节课我们学习过哪些知识内容?
(2)你认为学习集合有什么意义?
(3)选择集合的表示法时应注意些什么?
【篇二:
高中数学教案精选】
高中数学教案选
教学章节:
数学归纳法........................................................................................................................................................2教学章节:
数学归纳法应用................................................................................................................................................4教学章节:
充要条件.............................................................................................................................................................6教学章节:
椭圆的定义.......................................................................................................................................................11教学章节:
椭圆及其标准方程..........................................................................................................................................14教学章节:
椭圆及其标准方程..........................................................................................................................................17教学章节:
椭圆的简单几何性质......................................................................................................................................20教学章节:
椭圆的几何性质..............................................................................................................................................23教学章节:
椭圆及其标准方程..........................................................................................................................................27教学章节:
椭圆及其标准方程..........................................................................................................................................30
教学章节:
数学归纳法
教学目标:
理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学
归纳法”证明简单的恒等式。
初步掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质。
培养学生对于数学内在美的感悟能力。
教学重点:
使学生理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒
等变换的运用)。
教学难点:
如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设。
教学过程:
一、引入:
问题1:
这个盒子里有十个乒乓球,如何证明里面的球全为橙色?
问题2:
请大家回忆,课本是如何得出等差数列的通项公式的?
二、归纳法:
教师引导学生明了以上两个问题的异同点。
由此,得出归纳法的概念:
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
同时指明了完全归纳法与不完全归纳法的区别。
[投影]通过数学家费马运用不完全归纳得出错误结论的事例来说明不完全归纳法的缺憾之处仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的,因为有可能产生不正确的结论。
[提问]如何解决不完全归纳法存在的问题呢?
引导学生得出:
只有经过严格的证明,不完全归纳得出的结论才是正确的。
三、数学归纳法:
[提问]若盒子里的乒乓球有无数个,如何证明它们全是橙色球呢?
在学生讨论未果的基础上,教师给出方法供学生参考:
①证明第一次拿出的乒乓球是橙色的;②构造一个命题并证明,此命题的题设是:
“若某一次拿出的球是橙色的”,结论是:
“下次拿出的球也是橙色的”。
以上两步都被证明,则盒子中的乒乓球全是橙色的。
(该命题并不是孤立地研究“某一次”、“下一次”取的是橙球,而且由“某次取出的是橙球”来得到“下一次取出的也是橙球”的逻辑必然性,即一种递推关系)
教师引导学生讨论:
以上两个步骤如果都得到证明,是否能说明全部的乒乓球都是橙色的?
由此,得出数学归纳法的基本概念:
它是自然数相关问题的一种证明方法。
[提问]在现实生活中有没有相似的“递推”思想的实例呢?
[提问]这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢?
[投影]给出问题2的数学归纳法的证明,将每一步骤标号,引导学生对比上一问题与此问题类似之处,进而得出数学归纳法的证题思路和步骤。
教师再通过投影明确数学归纳法的“奠基步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论”。
四、例题讲解:
例1、数列{an},其通项公式为an=2n-1,请猜测该数列的前n项和公式sn,并用数学归纳法证明该结论。
教师板演学生的解题步骤。
师生共同归结:
1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,它适用于与自然数有关的问题。
2、两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能成立;
3、在证明递推步骤时,必须使用归纳假设,必须进行恒等变换。
第3点可结合学生完成情况来阐明。
五、反馈练习:
用数学归纳法证明:
a组:
1、1+2+3+?
+n=n(n+1)/2(n∈n);
2、首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式为:
an=a1qb组:
1、1+2+2+?
+2=2-1(n∈n);
2、s=1/(1?
3)+1/(3?
5)+1/(5?
7)+?
+1/[(2n-1)?
(2n+1)](n∈n)六、知识小结:
投影:
七、作业:
p1211、①②预习课本p115-117
2
n-1
n
n-1
(n∈n)
教学章节:
数学归纳法应用
教学目标:
使学生能掌握用“归纳法”去猜想有关命题的条件、结论。
教学重点:
如何用“归纳法”去推导、猜想。
教学难点:
。
教学过程:
(一)创设问题情境
问题1:
“管中窥豹,略见一斑”的含义是什么?
(比喻可以从观察到事物的一部分情况推测到事物的全体情况)
例:
看一下广交会上的出口商品,就可以了解到我国目前的经济发展情况。
问题2:
用了解同学们的作业情况,可以用什么方法?
(二)师生共同探索
上述推理所采用的方法实际上就是归纳法,它是由一系列有限的特殊事例去推导出一般的结论。
归纳法可以帮助我们从特殊事例中去发现一般规律。
例1、已知数列:
1
1?
22?
33?
4
34
1
1
.......,
1n(n?
1)
......计算得:
s1=
12
s2?
23
s3?
……,由此可猜测Sn=_____________
例2:
观察下列式子:
1+
1
2
23223
则可归纳出________________
3
1+
1
2
+
1
2
5
1+
12
2
+
13
2
+
14
2
?
74
……
教师引导学生观察上述两例的变化规律,可得:
例1的Sn=1+
nn?
1
,例2的
1
2
23
(三)学生讨论归纳
+
1
2
+……+
1n
2
?
2n?
1n
(n?
2)
下列各题由学生进行分组讨论,然后教师进行提问1、对一切自然数n,猜出使t
n
?
n成立的最小自然数t。
2
2、平面上有几条直线,其中无两条平行,无三条共点,问:
①这n条直线共有几个交点f(n)?
(
12
n(n?
1)
2
②这n条直线互相分割成多少条线段(或射线)?
(n条)
③平面被这n条直线分割成多少块区域?
(
n?
n?
2
2
2
)
3、已知数列{an}中,a1=
13
an+1=
an?
13?
an
。
求a2,a3,a4,猜测通项公式an
(an?
2n2n?
4
)
4、设数列{an}的各项均为正整数,a1=1,设sn=a1+a2+……+an,若对自然数n总有
)2
小结:
上述各题均属结论探索法,即由条件去归纳探索、满足条件的结论。
下面题目,则属条件探索法,即由成立的结论去探索命题的条件。
5、(89年全国理科高考题)是否存在常数a、b、c,使得等式
1?
2?
2?
3?
.....?
n(n?
1)(a=3,b=11,c=10)
(四)归纳小结
归纳法是一种常用的推理方法,它是由一系列有限的事例去推理一般的结论。
虽然它得到的结论不一定正确,但却是我们解决问题和发现规律的桥梁。
用归纳法得出的结论是否正确,还须用数学归纳法加以证明。
(五)作业布置
1、已知数列{an}满足sn=2n-an(n?
n),求出此数列的前四项,作出猜想求出an,再证明之。
2、
- 配套讲稿:
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