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离散习题答案详解
第一章命题逻辑基本概念
课后练习题答案
1、是命题的为
(1)、
(2)、(3)、(6)、(7)、(10)、(11)、(12)、(13)
是简单命题的为
(1)、
(2)、(7)、(10)、(13)
是真命题的为
(1)、
(2)、(3)、(10)、(11)
真值现在不知道的为(13)
2、3略
4.将下列命题符号化,并指出真值:
(1)p∧q,其中,p:
2是素数,q:
5是素数,真值为1;
(2)p∧q,其中,p:
是无理数,q:
自然对数的底e是无理数,真值为1;
(3)p∧┐q,其中,p:
2是最小的素数,q:
2是最小的自然数,真值为1;
(4)p∧q,其中,p:
3是素数,q:
3是偶数,真值为0;
(5)┐p∧┐q,其中,p:
4是素数,q:
4是偶数,真值为0.
5.将下列命题符号化,并指出真值:
(1)p∨q,其中,p:
2是偶数,q:
3是偶数,真值为1;
(2)p∨q,其中,p:
2是偶数,q:
4是偶数,真值为1;
(3)p∨┐q,其中,p:
3是偶数,q:
4是偶数,真值为0;
(4)p∨q,其中,p:
3是偶数,q:
4是偶数,真值为1;
(5)┐p∨┐q,其中,p:
3是偶数,q:
4是偶数,真值为0;
6.
(1)(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中,小丽从筐里拿一个苹果,q:
小丽从筐里拿一个梨;
(2)(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中,p:
刘晓月选学英语,q:
刘晓月选学日语;.
7.因为p与q不能同时为真.
8.设p:
2<1,q:
3<2
(1)p→q,真值为1
(2)p→┐q,真值为1
(3)┐q→p,真值为0
(4)┐q→p,真值为0
(5)┐q→p,真值为0
(6)p→q,真值为1
9.
(2)、(6)真值为0,其余为1
10.
(1)、(4)真值为0,其余为1
11、12略
13.设p:
今天是星期一,q:
明天是星期二,r:
明天是星期三:
(1)p→q,真值为1(不会出现前件为真,后件为假的情况);
(2)q→p,真值为1(也不会出现前件为真,后件为假的情况);
(3)pq,真值为1;
(4)p→r,若p为真,则p→r真值为0,否则,p→r真值为1.
14略
15、p、q为真命题,r为假命题,(4)的真值为1,其余为0
16、(4)的真值为1,其余为0
17、真
18、小王会唱歌,小李不会跳舞
19、
(1)(4)(6)为重言式,(3)为矛盾式,其余为非重言式的可满足式
20、
(1)01,10,11
(2)00,10,11
(3)00,01,10
(4)01,10,11
21、
(1)011;
(2)010,110,101,100;(3)100,101
22、无成真赋值
23、无成假赋值
24、均为重言式
25、均为矛盾式
26、前者为矛盾式,后者为重言式
27略;28不能;29略;30不能
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第二章命题逻辑等值演算
本章自测答案
3、
(1)矛盾式;
(2)重言式;(3)可满足式
5.
(1):
∨∨,成真赋值为00、10、11;
(2):
0,矛盾式,无成真赋值;
(3):
∨∨∨∨∨∨∨,重言式,000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值;
7.
(1):
∨∨∨∨⇔∧∧;
(2):
∨∨∨⇔∧∧∧;
8.
(1):
1⇔∨∨∨,重言式;
(2):
∨⇔∨∨∨∨∨∨;
(3):
∧∧∧∧∧∧∧⇔0,矛盾式.
11.
(1):
∨∨⇔∧∧∧∧;
(2):
∨∨∨∨∨∨∨⇔1;
(3):
0⇔∧∧∧.
12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.
第三章命题逻辑的推理理论
本章自测答案
6.在解本题时,应首先将简单陈述语句符号化,然后写出推理的形式结构*,其次就是判断*是否为重言式,若*是重言式,推理就正确,否则推理就不正确,这里不考虑简单语句之间的内在联系
(1)、(3)、(6)推理正确,其余的均不正确,下面以
(1)、
(2)为例,证明
(1)推理正确,
(2)推理不正确
(1)设p:
今天是星期一,q:
明天是星期三,推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*1)
在本推理中,从p与q的内在联系可以知道,p与q的内在联系可以知道,p与q不可能同时为真,但在证明时,不考虑这一点,而只考虑*1是否为重言式.
可以用多种方法(如真值法、等值演算法、主析取式)证明*1为重言式,特别是,不难看出,当取A为p,B为q时,*1为假言推理定律,即
(p→q)∧p→q⇒q
(2)设p:
今天是星期一,q:
明天是星期三,推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*2)
可以用多种方法证明*2不是重言式,比如,等值演算法、主析取范式(主和取范式法也可以)等
(p→q)∧q→p
⇔(┐p∨q)∧q→p
⇔q→p
⇔┐p∨┐q
⇔⇔∨∨
从而可知,*2不是重言式,故推理不正确,注意,虽然这里的p与q同时为真或同时为假,但不考虑内在联系时,*2不是重言式,就认为推理不正确.
9.设p:
a是奇数,q:
a能被2整除,r:
a:
是偶数
推理的形式结构为
(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p)(记为*)
可以用多种方法证明*为重言式,下面用等值演算法证明:
(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)
⇔(┐p∨┐q)∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)
⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r
⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)
⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r
⇔1
10.设p:
a,b两数之积为负数,q:
a,b两数种恰有一个负数,r:
a,b都是负数.
推理的形式结构为
(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)
⇔(┐p∨q)∧┐p→(┐q∧┐r)
⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)
⇔p∨(┐q∧┐r)
⇔∨∨∨
由于主析取范式中只含有5个W极小项,故推理不正确.
11.略
14.证明的命题序列可不惟一,下面对每一小题各给出一个证明
①p→(q→r) 前提引入
②P 前提引入
③q→r ①②假言推理
④q 前提引入
⑤r ③④假言推理
⑥r∨s 前提引入
(2)证明:
①┐(p∧r) 前提引入
②┐q∨┐r ①置换
③r 前提引入
④┐q ②③析取三段论
⑤p→q 前提引入
⑥┐p ④⑤拒取式
(3)证明:
①p→q 前提引入
②┐q∨q ①置换
③(┐p∨q)∧(┐p∨p)②置换
④┐p∨(q∧p ③置换
⑤p→(p∨q) ④置换
15.
(1)证明:
①S 结论否定引入
②S→P 前提引入
③P ①②假言推理
④P→(q→r) 前提引入
⑤q→r ③④假言推论
⑥q 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
(2)证明:
①p 附加前提引入
②p∨q ①附加
③(p∨q)→(r∧s) 前提引入
④r∧s ②③假言推理
⑤s ④化简
⑥s∨t ⑤附加
⑦(s∨t)→u 前提引入
⑧u ⑥⑦拒取式
16.
(1)证明:
①p 结论否定引入
②p→┐q 前提引入
③┐q①② 假言推理
④┐r∨q 前提引入
⑤┐r ③④析取三段论
⑥r∧┐s 前提引入
⑦r ⑥化简
⑧┐r∧r ⑤⑦合取
(2)证明:
①┐(r∨s) 结论否定引入
②┐r∨┐s ①置换
③┐r ②化简
④┐s ②化简
⑤p→r 前提引入
⑥┐p ③⑤拒取式
⑦q→s 前提引入
⑧┐q ④⑦拒取式
⑨┐p∧┐q ⑥⑧合取
⑩┐(p∨q) ⑨置换
口p∨q 前提引入
⑾①口┐(p∨q)∧(p∨q)⑩口合取
17.设p:
A到过受害者房间,q:
A在11点以前离开,r:
A犯谋杀罪,s:
看门人看见过A。
前提:
(p∧┐q)→r,p,q→s,┐s
结论:
r
证明:
①q→s前提引入
②┐s前提引入
③┐q①②拒取式
④p前提引入
⑤p∧┐q③④合取
⑥(p∧┐q)→r前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
18.
(1)设p:
今天是星期六,q:
我们要到颐和园玩,s:
颐和园游人太多。
前提:
p→(p∨r),s→┐q,p,s
结论:
r
证明:
①s→┐q 前提引入
②s 前提引入
③┐q ①②假言推理
④p 前提引入
⑤p→(q∨r) 前提引入
⑥q∨r ④⑤假言推理
⑦r ③⑥析取三段论
(2)设p:
小王是理科学生,q:
小王数学成绩好,r:
小王是文科学生。
前提:
p→q,┐r→p,┐q
结论:
r
证明:
①p→q 前提引入
②┐q 前提引入
③┐p ①②拒取式
④┐r→p 前提引入
⑤r ③④拒取式
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第四章(一阶)谓词逻辑基本概念
本章自测答案
4.
(1)┐x(F(x)∧┐G(x))⇔x(F(x)→G(x)),其中,F(x):
x是有理数,G(x):
x能表示成分数;
(2)┐x(F(x)→G(x))⇔x(F(x)∧┐G(x)),其中,F(x):
x在北京卖菜,G(x):
x是外地人;
(3)x(F(x)→G(x)),其中,F(x):
x是乌鸦,G(x):
x是黑色的;
(4)xF(x)∧G(x)),其中,F(x):
x是人,G(x):
x天天锻炼身体。
因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。
5.
(1)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中,F(x):
x是火车,G(y):
y是轮船,H(x,y):
x比y快;
(2)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中,F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,
H(x,y):
x比y快;
(3)┐x(F(x)∧y(G(y)→H(x,y)))⇔x(F(x)→y(G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x):
x是汽车,G(y):
y是火车,H(x,y):
x比y快;
(4)┐x(F(x)→y(G(y)→H(x,y)))⇔xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x):
x是汽车,G(y):
y是火车,H(x,y):
x比y慢。
6.各命题符号化形式如下:
(1)xy(x.y=0);
(2)xy(x.y=0);
(3)xy(y=x+1)
(4)xy(x.y=y.x)
(5)xy(x.y=x+y)
(6)xy(x+y<0)
9.
(1)对任意数的实数x和y,若x<y,则x≠y;
(2)对任意数的实数x和y,若x–y=0,则x<y;
(3)对任意数的实数x和y,若x<y,则x–y≠0;
(4)对任意数的实数x和y,若x–y<0,则x=y.
其中,
(1)(3)真值为1
(2)与(4)真值为0.
11.
(1)、(4)为永真式,
(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。
这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。
(3)取解释I为:
个体域为自然数集合N,F(x,y):
x≤y,在下,xyF(x,y)为真,而xyF(x,y)也为真(只需取x=0即可),于是(3)中公式为真,取解释为:
个体域仍为自然数集合N,而F(x,y):
x=y。
此时,xyF(x,y)为真(取y为x即可),可是xyF(x,y)为假,于是(3)中公式在下为假,这说明(3)中公式为可满足式。
(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xyF(x,y)为假,则
xyF(x,y)→yxF(x,y)为真,若前件xyF(x,y)为真,必存在I的个体域D1中的个体常项x0,使yF(x0,y)为真,并且对于任意y∈,F(x0,y)为真,由于有x0∈,F(x0,y)为真,所以xF(x,y)为真,又其中y是任意个体变项,所以yxF(x,y)为真,由于I的任意性,所以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。
(5)取解释为:
个体域为自然数集合,F(x,y):
x=y在下,(5)中公式为真,而将F(x,y)改为F(x,y):
x<y,(5)中公式就为假了,所以它为可满足式。
13.
(1)取解释为:
个体域为自然数集合N,F(x):
x为奇数,G(x):
x为偶数,在下,x(F(x)∨G(x))为真命题。
取解释为:
个体域为整数集合Z,F(x):
x为正整数,G(x):
x为为负整数,在下,x(F(x)∨G(x))为假命题。
(2)与(3)可类似解答。
14.提示:
对每个公式分别找个成真的解释,一个成假的解释。
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第五章谓词逻辑等值演算与推理
本章自测答案
2.
(1)(F(a)∧F(b)∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))
(2)(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))
(3)(F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c))
(4)(F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c))
5.提示:
先消去量词,后求真值,注意,本题3个小题消去量词时,量词的辖域均不能缩小,经过演算真值分别为:
1,0,1.
(1)的演算如下:
xyF(x,y)
⇔x(F(x,3)∨F(x,4))
⇔(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))
⇔1∧1⇔1
6.乙说得对,甲错了。
本题中,全称量词的指导变元为x,辖域为(F(x)→G(x,y)),其中F(x)与G(x,y)中的x都是约束变元,因而不能将量词的辖域缩小。
7.演算的第一步,应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定联结词“┐”。
演算的第二步,在原错的基础上又用错了等值式,即
(F(x)∧(G(y)→H(x,y)))≠(F(x)∧G(y)→H(x,y))
12.公式的前束范式不唯一,下面每题各给出一个答案。
(1)xy(F(x)→G(z,y));
(2)xt(x,y)→G(x,t,z));
(3)x4((F(,y)→G(,y))∧(G(,y)→F(x4,y)));
(4)((F()→G(,))→(H()→L(,)));
(5)(F(,)→(F()→┐G(,))).
13.
(1)xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y)),其中,F(x):
x是汽车,G(y):
y是火车,H(x,y):
x比y跑的快;
(2)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中,F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y跑的快;
(3)xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y)),其中,F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y跑的快;
(4)xy(F(x)∧G(y)→┐H(x,y)),其中,F(x):
x是飞机,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y慢;
14.
(1)对F(x)→xG(x)不能使用EI规则,它不是前束范式,首先化成前束范式。
F(x)→xG(x)<=>x(F(y)→G(x))
因为量词辖域(F(y)→G(x))中,除x外还有自由出现的y,所以不能使用EI规则。
(2)对xF(x)→yG(y)也应先化成前束范式才能消去量词,其前束范式为xy(F(x)→G(y)),要消去量词,既要使用UI规则,又要使用EI规则。
(3)在自然推理系统F中EG规则为
A(c)/∴x(x)
其中c为特定的个体常项,这里A(y)=F(y)→G(y)不满足要求。
(4)这里,使F(a)为真的a不一定使G(a)为真,同样地使G(b)为真的b不一定使F(b)为真,如,F(x):
x为奇数,G(x):
x为偶数,显然F(3)∧G(4)为真,但不存在使F(x)∧G(x)为真的个体。
(5)这里c为个体常项,不能对F(c)→G(c)引入全称量词。
15.
(1)证明:
①xF(x) 前提引入
②xF(x)→y((F(y)∨G(y))→R(y)) 前提引入
③y((F(y)∨G(y))→R(y) ①②假言推理
④F(c) ①EI
⑤(F(c)∨G(c))→R(c) ③UI
⑥F(c)∨G(c) ④附加
⑦R(c) ⑤⑥假言推理
⑧xR(x) ⑦EG
(2)证明①xF(x) 前提引入
②x((F(x)→G(a)∧R(x))) 前提引入
③F(c) ①EI
④F(c)→G(a)∧R(a) ②UI
⑤G(a)∧R(c) ③④假言推理
⑥R(c) ⑤化简
⑦F(c)∧R(c) ③⑥合取
⑧x(F(x)∧R(x)) ⑦EG
(3)证明:
①┐xF(x) 前提引入
②x┐F(x) ①置换
③┐F(c) ②UI
④x(F(x)∨G(x)) 前提引入
⑤F(c)∨G(c) ④UI
⑥F(c) ③⑤析取三段论
⑦xF(x) ⑥EG
(4)证明①x(F(x)∨G(x)) 前提引入
②F(y)∨G(y) ①UI
③x(┐G(x)∨┐R(x)) 前提引入
④┐G(y)┐R(y) ③UI
⑤xR(x) 前提引入
⑥R(y) ⑤UI
⑦┐G(y) ④⑥析取三段论
⑧F(y) ②⑦析取三段论
⑨xF(x) ⑧UG
17.本题不能用附加前提证明法.
20.
(1)与
(2)均可用附加前提证明法。
22.
(1)设F(x):
x为偶数,G(x):
x能被2整除。
前提:
x(F(x)→G(x)),F(6)
结论:
G(6)
(2)设F(x):
x是大学生,G(x):
x是勤奋的,a:
王晓山。
前提:
x(F(x)→G(x)),┐G(a)
结论:
┐F(a)
23.
(1)设F(x):
x是有理数,G(x):
x是实数,H(x):
x是整数。
前提:
x(F(x)→G(x)),x(F(x)∧H(x))
结论:
x(G(x)∧H(x))
证明提示:
先消存在量词。
(2)设F(x):
x是有理数,G(x):
x是无理数,H(x):
x是实数,I(x):
x是虚数。
前提:
x((F(x)∨G(x))→H(x)),x(I(x)→┐H(x))
结论:
x(I(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))
证明①x(I(x)→(┐H(x)) 前提引入
②I(y)→H(y) ①UI
③x((F(x)∨G(x))→H(x)) 前提引入
④(F(y)∨G(y))→H(y) ③UI
⑤┐H(y)→(┐F(y)∧┐G(y)) ④置换
⑥I(y)→(┐F(y)∧┐G(y)) ②⑤假言三段论
⑦x(I(x)→(┐F(x)∧┐G(x)) ⑧UG
24.设F(x):
x喜欢步行,G(x):
x喜欢骑自行车,H(x):
x喜欢乘汽车。
前提:
x(┐F(x)→┐G(x)),x(G(x)∨H(x)),x┐H(x)
结论:
x┐F(x)
证明①x┐H(x) 前提引入
②┐H(c) ①UI
③x(G(x)∨H(x)) 前提引入
④G(c)∨H(c) ③UI
⑤G(c) ②④析取三段论
⑥x(F(x)→G(x)) 前提引入
⑦F(c)→┐G(c) ⑥UI
⑧┐F(c) ⑤⑦拒取式
⑨x┐F(x) ⑧UG
25.设F(x):
x是科学工作者,G(x):
x是刻苦钻研的,H(x):
x是聪明的,I(x):
x在事业中获得成功。
前提:
x(F(x)→G(x)),x(G(x)∧H(x)→I(x)),a:
王大海,F(a),H(a)
结论:
I(a)
证明①F(a) 前提引入
②x(F(x)→G(x)) 前提引入
③F(a)→G(a) ②UI
④G(a) ①③假言推理
⑤H(a) 前提引入
⑥x(G(x)∧H(x)→I(x)) 前提引入
⑦G(a)∧H(a)→I(a) ⑥UI
⑧G(a)∧H(a
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