数学专升本考试试题.docx
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数学专升本考试试题
高等数学〔二〕命题预测试卷〔二〕
一、选择题〔本大题共5个小题,每题4分,共20分。
在每个小题给出的选
项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内〕
1.以下函数中,当
时,与无穷小量
相比是高阶无穷小的是〔〕
A.
B.
C.
D.
2.曲线
在
内是〔〕
A.处处单调减小B.处处单调增加
C.具有最大值D.具有最小值
3.设
是可导函数,且
,则
为〔〕
A.1B.0
C.2D.
4.假设
,则
为〔〕
A.
B.
C.1D.
5.设
等于〔〕
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在
题中横线上。
6.设
,则
=.
7.设
,则
.
8.
,则
.
9.设二重积分的积分区域D是
,则
.
10.
=.
11.函数
的极小值点为.
12.假设
,则
.
13.曲线
在横坐标为1点处的切线方程为.
14.函数
在
处的导数值为.
15.
.
三、解答题:
本大题共13小题,共90分,解答应写出推理、演算步骤。
16.〔此题总分值6分〕
求函数
的间断点.
17.〔此题总分值6分〕
计算
.
18.〔此题总分值6分〕
计算
.
19.〔此题总分值6分〕
设函数
,求
.
20.〔此题总分值6分〕
求函数
的二阶导数.
21.〔此题总分值6分〕
求曲线
的极值点.
22.〔此题总分值6分〕
计算
.
23.〔此题总分值6分〕
假设
的一个原函数为
,求
.
24.〔此题总分值6分〕
已知
,求常数
的值.
25.〔此题总分值6分〕
求函数
的极值.
26.〔此题总分值10分〕
求
,其中D是由曲线
与
所围成的平面区域.
27.〔此题总分值10分〕
设
,且常数
,求证:
.
28.〔此题总分值10分〕
求函数
的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形.
参考答案
一、选择题
1.B2.B3.D4.D5.D
二、填空题
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.513.
14.
15.0
三、解答题
16.解这是一个分段函数,
在点
的左极限和右极限都存在.
故当
时,
的极限不存在,点
是
的第一类间断点.
17.解原式=
.
18.解设
.
由于
是初等函数
的可去间断点,
故
.
19.解首先在
时,分别求出函数各表达式的导数,即
当
时,
当
时,
.
然后分别求出在
处函数的左导数和右导数,即
从而
,函数在
处不可导.
所以
20.解
①
②
又由①解得
代入②得
21.解先出求
的一阶导数:
令
即
解得驻点为
.
再求出
的二阶导数
.
当
时,
,故
是极小值.
当
时,
,在
内,
,在
内
故
不是极值点.
总之曲线
只有极小值点
.
22.解
23.解由题设知
故
.
24.解
又
故
解得
.
25.解
解方程组
得驻点
又
对于驻点
,故
驻点
不是极值点.
对于驻点
故
,又
.
函数
在
点取得极大值
26.解由
与
得两曲线的交点为
与
的反函数为
.
27.证
于是
.
28.解〔1〕先求函数的定义域为
.
〔2〕求
和驻点:
,令
得驻点
.
〔3〕由
的符号确定函数的单调增减区间及极值.
当
时,
,所以
单调增加;
当
时,
,所以
单调减少.
由极值的第一充分条件可知
为极大值.
〔4〕求
并确定
的符号:
,令
得
.
当
时,
,曲线
为凸的;
当
时,
,曲线
为凹的.
根据拐点的充分条件可知点
为拐点.
这里的
和
的计算是此题的关键,读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷,现列表如下:
+
0
-
-
-
-
0
+
就表上所给的
和
符号,可得到:
函数
的单调增加区间为
;
函数
的单调减少区间为
;
函数
的极大值为
;
函数
的凸区间为
;
函数
的凹区间为
;
函数
的拐点为
.
〔5〕因为
,
所以曲线
有
水平渐近线
铅垂渐近线
〔6〕根据上述的函数特性作出函数图形如以下图.
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