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word完整版一元二次方程能力拔高题
一元二次方程培优专题复习
考点一、概念
次方程。
(1)定义:
①只.含.有.一.个.未.知.数.,并且②未.知.数.的.最.高.次.数.是.2.,这样的③整.式.方.程.就是一元
(2)一般表达式:
ax2bxc0(a0)
⑶难点:
如何理解“未知数的最高次数是2”:
①该项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定
系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论
典型例题:
1
1
2
B、2
20
C、axbxc0
x
x
)
2
A、3x122x1
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是(
22
x2xx1
针对练习:
★1、方程8x27的一次项系数是,常数项是★2、若方程m2xm10是关于x的一元一次方程,
⑴求m的值:
;⑵写出关于x的一元一次方程:
。
★★3、若方程m1x2m?
x1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是()
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念:
使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
⑵应用:
利用根的概念求代数式的值;
典型例题:
例1、已知2y2y3的值为2,则4y22y1的值为
22
例2、关于x的一元二次方程
a2x2xa240的一个根为0,则a的值为
例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb,则此方程
必有一根为
例4、已知a,b是方程x
22
24xm0的两个根,b,c是方程y28y5m0的两个根,
则m的值为
针对练习:
bc
考点三、解法
典型例题:
0”,
※方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为
2222
※方程形式:
如axmbxn,xaxbxaxc,x22axa20
典型例题:
例1、2xx35x3的根为()
5
5
2
Ax
Bx3
Cx1,x2
3
Dx
2
122
5
2
例2、若4xy2
34xy
40,则4x+y
的值为
。
变式1:
a2
222ba
b260,则a2
b2
。
变式2:
若x
y2x
y30,则x+y
的值为
。
2
变式3:
若x
xy
y14,
2y
xy
x28,
则x+y
的值为。
例3、方程x2x
6
0的解为(
)
A.x13,x2
2
B.
x1
3,x2
2
C.x13,x2
3
D.x12,x22
例4、解方程:
x2
2
31x
23
4
0得x1
x2
22xy
例5、已知2x23xy2y20,则的值为
xy
变式:
已知2x23xy2y20,且x0,y0,则xy的值为。
xy
针对练习:
22
★1、下列说法中:
①方程x2pxq0的二根为x1,x2,则x2pxq(xx1)(xx2)
222
②x26x8(x2)(x4).③a25ab6b2(a2)(a3)
④x2y2(xy)(xy)(xy)⑤方程(3x1)270可变形为
(3x17)(3x17)0正确的有()A.1个B.2个C.3个
D.4个★2、以17与17为根的一元二次方程是()
A.x2
2
2x60B.x22x60C.
y22y60
D.y2
2y60
⑴写出一个一元
⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为
★★3、
次方程,要求二次项系数不为
1,
1,且两根互为倒数:
且两根互为相反数:
★★4、若实数
x、
满足xy3xy
20,则x+y的值为(
A、
5、方程:
-1或-2
1
2
x
B、-1或2
C、1或-2
D、1或2
6、已知
x2
6x2
xy
类型三、配方法
ax2
2的解是
6y20,且x0,
bxc0a0
0,求2x6y的值。
3xy
2a
b24ac
4a2
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题:
例、已知x、
y为实数,求代数式x2
2x4y7的最小值。
针对练习:
2
1、已知x2
x140,则x
3x212x
9,则
t的最大值为
,最小值为
2、若t2
a
0,且b2
4ac
⑵公式
bb24ac
2a,a
0,且b2
4ac
典型例题:
例、选择适当方法解下列方程:
⑴31x26.⑵x3
x6
8.
2
⑶x24x1
2
⑷3x24x10
⑸3x13x1x1
2x5
类型五、“降次思想”的应用
考点四、根的判别式b24ac
典型例题:
1、当k
(1)求证:
无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。
2
例4、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式,试求m的值.
x22y26,
例5、m为何值时,方程组x2y6,mxy3.
有两个不同的实数解?
有两个相同的实数解?
针对练习:
2
时,关于x的二次三项式x2kx9是完全平方式。
2、当k取何值时,多项式
3x24x2k是一个完全平方式?
这个完全平方式是什么?
4、k为何值时,方程组
y2kx2,
(1)有两组相等的实数解,并求此解;
(2)y24x2y10.
有两组不相等的实数解;(3)没有实数解.
2m4k0的根与m均为有理数?
5、当k取何值时,方程x24mx4x3m2
2
(2012山东德州中考,15,4,)若关于x的方程ax22(a2)xa0有实数解,那么实数a的
取值范围是.
2012湖北襄阳,12,3分)如果关于x的一元二次方程kx2-2k1x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是
111111
A.k
222222
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题:
例1、关于x的方程m1x22mx30⑴有两个实数根,则m为,⑵只有
一个根,则m为。
例2、不解方程,判断关于x的方程x22xkk23根的情况。
22
例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根,问这两方程是否有相同的根?
若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题;⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题
典型例题:
1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席?
2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人?
3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
1
市场,根据计划,第一年投入资金600万元,第二年比第一年减少,第三年比第二年减
3
1
少,该产品第一年收入资金约400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收
2
1
回,还要盈利1,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少?
(结
3
果精确到0.1,133.61)
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:
(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,
销售单价应定为多少?
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
(1)
要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。
(3)两个正方形的面积之和最小为多少?
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
达定理。
bc
⑵主要内容:
x1x2,x1x2常用变形:
aa
2x1
2x2
(x1x2)2
2x1x2
1x1x2
(x1x2)2(x1x2)24x1x2,
,
x1
x2x1x2
|x1
x2|
(x1x2)
24x1x2,
22x1x2x1x2
x1x2(x1x2),
x2
x1
22
x1x2
(x1x2)2
4x1x2等
x1
x2
x1x2
x1x2
等
⑶应用:
整体代入求值。
2x28x70的两根,则这个直角三
22
例3、已知关于x的方程k2x2
典型例题:
角形的斜边是(
)
A.3B.3
C.6
D.6
xy10,
2
x
y210,
例2、解方程组:
(1)
(2)
xy24;
x
y2.
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程
2k1x10有两个不相等的实数根x1,x2,
(1)求k
的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?
若存在,求出k的值;
若不存在,请说明理由。
例4、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。
你知道原来
的方程是什么吗?
其正确解应该是多少?
22
例5、已知ab,a22a10,b22b10,求ab
22ab
变式:
若a22a10,b22b10,则的值为。
ba
例6、已知,是方程x2x10的两个根,那么43.
针对练习1.已知a27a4,b27b4(ab),求ba的值。
2、已知x1,x2
ab
232
是方程x2x90的两实数根,求x137x223x266的值。
3.(湖北中考题)设a22a10,b42b210,且1ab20,则
225ab2b23a1
=。
a
4.(四川中考题)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两根别是已知方程两根的倒数;
(2)已知a、b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求a+b的ba值;(3)已知a、b、c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
k1x20有实数根
1.当k为何值时,关于x的方程k21x2
2.已知方程2xabxabab0是关于x的一元二次方程,求a,b的值
3设x3x100和x3b4bx80都是关于x的一元二次方程,
20122013
求:
ab.ab的值。
4解下列方程:
实根。
222
6已知三个关于x的一元二次方程ax2bxc0bx2cxa0cx2axb0222
恰有一个公共实数根,求abc的值。
bcacab
7已知a22a10b4
2b2
10试求
22
ab2b21
2012
的值。
2
8关于x的方程x2(k1)x
2
0和方程x2
2xk(k1)
0只有一个相同的实根,
求k的值及公共根。
9已知a.b.c分别是三角形
ABC
的三边长。
当
m>0时,关于x的一元二次方程
cx2m
bx2
m2max
0有两个不相等的实根,试判断三角形
ABC的形状。
10已知方程
x2
5x60与方程
2x22xm0的公共根和方程3x2
x240与
方程1x2
2
n0的公共根相同,求m,n的值。
11m,n是方程x2
2x10的两个根,且7m214ma3n26n7
12求a的值。
12甲,乙两同学分别同时解同一个一元二次方程,甲把以此项系数看错了解的两根为
-3和
5。
乙把常数项看错了得两根为26和26,求原一元二次方程。
13已知关于x的方程x22(m2)x3m210
(1)求证无论m为何值,方程总有两个不相等的实根
(2)设方程的两根为x1,x2,x1x223求m的值。
22
14要使关于x的一元二次方程x22(m2)x3m210的两根的平方和最小,求m的值。
2
15已知函数y=和y=kx+1(x≠0)
x
(1)若这两个函数都经过(1,a)求a和k的值
(2)当k取何值时,这两个函数图像总有公共点
16某商店销售一批名牌衬衫,平均每天可以销售20件,每件盈利40元,为了扩大销售,
增加利润,尽快减少库存,商场决定采取降价措施,调查发现如果每件降价1元则每天可以多销售2件,若商场平均每天盈利1200元,则每件应该降价多少元?
17为实现国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。
从
2010年起,市政府开始投资,以后逐年增长,2011年投资了3亿元人民币。
预计2012
年底三年累计共投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内投资的增长率相同,求
市政府投资的年增长率?
18某商家从厂家以每件21元价格购进一批商品,该商家可自行定价。
若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%。
商店
计划要赚400元,需要卖出多少件商品?
每件商品售价多少?
元二次方程培优训练
1.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,则a=,b=
角形的斜边长为;
211
4.当x时,代数式x2x的值为0
22
5.已知:
m12,则关于x的二次方程(m1)x2(m5)x40的解
6.方程(23)x2x的解是
7.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根为-1,
则b与a、c之间的关系为;若有一个根为零,则c=.
8、3x4y26y90则xy=9、写出以4,-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是
10、如果x22m1x4是一个完全平方公式,则m。
11、已知两个数的差等于4,积等于45,则这两个数为和。
22
12、当m时,关于x的方程m21x2m1x20为一元二次方程。
13.写出一个一元二次方程,使它的一个根为2.
14.当x=时,代数式x24x的值与代数式2x3的值相等.
15、方程2x23x0的根是。
16、用配方法解方程x2
4x6
0,
2则x
4x__
_6___,所以
x1_
__,x2。
17.要使关于
x的一元二次方程x2
2(m
2)x
3m2
10
的两根的平方和最小,
求m的值。
7、下列方程是一元二次方程的是(
13、写出以4,-5为根且二次项系数为1的一元二次方程是
14、某校去年投资2万元购买实验器材,预期今明两年的投资总额为8万元,若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x,则可列方程
15、设a,b是一个直角三角形两条直角边的长,且(a2b2)(a2b21)12,则这个直
三部分
1.方程不一定是一元二次方程的是
2
A.(a-3)x2=8(a≠0)B.ax
()
2+bx+c=0
0
C.(x+3)(x-2)=x+5
D.
3x2
3x2
57
2、若关于
x的一元二
次方程a
1x2
2xa
1
0的一个根是0,则a的值是
()
A、
1B、-1
C、
1或-1
D、
1
2
3、把方程
x28x
30化成x
2
mn的形式,则
m、
n的值是()
A、4,13
B、-4,
19C、-4,
13D、
4,19
2
4、已知直角三角形的两条边长分别是方程x214x480的两个根,则此三角形的第三
边是()
A、6或8
B、
10或27
C、
10或8
D、
27
5.关于x的方程
(a2
2
a2)xax
b
0是一元二
次方程的条件是()
Aa1
B
a2C
a
1且a
2D
a1或a2
2
6等腰三角形的两边的长是方程x2
20x
910的两个根,
则此三角形周长为
A.27
B.
33
C.
27和33
D.
以上都不对
7.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为()
A.x(x+1)=1035B.x(x-1)=1035×2C.x(x-1)=1035D.2x(x+1)=1035
8.一元二次方程
2x(x-3)=5(x
-3)的根为
(
5
)
5
5
A.x
=52B
.x=3C.
x1=3,x2=
2
D.x=-2
2
9.已知x2
5xy
2
6y20,则
y:
x等于(
)
A.1或1
B.6或1C.
1或1
D.
2或3
6
32
9.使分式
x5x6的值等于零的x是
)
x
1
A.6
B.-1
或6
C.-1
D.-6
10方程x
2-4│x
│+3=0的解是
(
)
A.x=±
1或x=
±3B.x=1
和x=3C.x=-1
或x=-3
11.关于x的方程x2-k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根,k的值是()
12、
请判别下列哪个方程是一元二
次方程(
)
3
8D、3x86x2
x
A、x2y1B、
2
x250
C、2x
13、
请检验下列各数哪个为方程
x26x8
0的解(
)
A、5B、
2
C、8
D、2
A.-7
B.-7
或4
C.-4
D.4
14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题,其中答对的是()
A、若x24,则x2;B、若3x26x,则x2;
2
C、x2xk0的一个根是1,则k2;
D、若分式2x2的值为零,则x2。
x3x2
15、如果x2
bx16
2
x42,则b的值为()
A、4
B、4
C、8
D、8
2
16、将方程x2
2x3
2
0化为xm2
n的形式,指出
m,n分别是(
)
A、1和3
B、1和3
C、1和4
D、1和4
17、已知一元二
次方程
2mxn0m
0,若方程有解,
则必须(
)
A、n0
B、mn同号
C、n是m的整数倍
D、mn异号
18、若a为方程x
x50的解,
则a2a1的值为(
)
A、12
B、6
C、9D、
16
19、某超市一月份的营业额为200万元,三月份的营业额为288万元,如果每月比上月增长的百分数相同,则平均每月的增长率为()
A、10%B、15%
C、20%
D、25%
三、解一元二次方程
(1)x(2x-7)=2x
(2)x2-2x+4=0
22
3)y223y12
2
(4)2y2
+7y-3=0
(5)3x2120
(6)(y
2
2)29
(7
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